云南省长水教育集团2026-2027学年第一学期教学质量监测数学+答案

2026-2027学年第一学期教学质量监测(11月)

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围:高考范围。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的.

1.设集合A={-1,0,2,3},B={x∈N|x-6<0},则A∩B=

A.{0,2,3}B.{2,3}

C.{x∈N|x<6}D.{-1,0,1,2,3,4,5}

2.“x<4”是“(x+2)(3-x)≥0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知复数,则z=

1−i

10

A.z=1+i−iB.C.D.

31311313

555555

4.若将函−数i+的i图象向右平移个单5+位5，i再把所得图象上每−个点i的横坐标扩大

��

为原来的f2(x倍)=，�纵��坐2标x不−变3，得到函数g(x)6的图象，则g(x)的解析式为

A.g(x)=-cosxB.g(x)=sinx

C.D.

2�2�

5.有一g(座x)=n层𝑠�的塔4x共−挂3了63盏灯笼,相邻两层中的下g一(x层)=灯�笼��数是x−上一3层灯笼数的2倍,顶层有1

盏灯笼，则这座塔的层数是

A.5层B.6层C.7层D.8层

6.若，则

𝑐�2��

A.𝑐�-�+3𝑠��=𝑠�(�−�)B.3𝑡��−4=C.D.

11

−33

高三数学第1页(共4页)

7.现代科技前沿的五大热门研究领域是:人工智能、量子计算、脑机接口、可控核聚变、深空探测.

甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取其中一个不同的领域作为课外科研研读主题，若甲没有选人

工智能，乙没有选人工智能和深空探测，则5名同学所有可能的选择有

A.18种B.36种C.54种D.72种

8.抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l:x=my+2过点F且与抛物线E交于A，B两

点，点A在第一象限，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则

sin∠PMN的最小值为

A.B.C.D.

1351

2263

二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.记圆M:(x-1)2+y2=a2,圆N:x2+y2-4x-2y=4a2-5,则

A.圆N的圆心为N(2,1)

B.若圆M经过坐标原点,则点(1,1)在圆N上

C.若圆M与圆N内切，则

D.当a=1时，圆M与圆Na的=相±交弦2所在直线方程为2x+2y-1=0

10.已知函数,其定义域记为集合D,则

��(x+1)

A.f(x)=且��xB.当x>1时，f(x)>1

D={x∣x>0x≠1}

C.f(x)有零点D.f(x)在(1,+∞)上单调递增

11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，F为棱A1D1的中点，则

A.直线AD1与平面BEF垂直

B.直线DE与直线EF的夹角的余弦值为

30

C.三棱锥E-BCF的体积为10

2

3

D.四面体E-BCD的外接球的表面积为9π

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.

12.若双曲线经过点(2,0)和(,1)，则C的渐近线方程为______

22

xy

22

C:a−b=1(a>0,b>0)5

13.在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，则b的取值范围为__________

�

14.已知函数有且a,只b,有c,一A=个零3,a点=，2则k的值为________

��x

f(x)=x+(e−k)x(x>1)

高三数学第2页(共4页)

四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)设公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+1-2.

(1)求{an}的通项公式；

2

(2)记bn=log2an，数列的前n项和为Tn，求Tn。

1

bnbn+1

16.（15分）在如图(1)所示的平面图形中，四边形BCEF是直角梯形，CE∥BF,CE⊥EF,CE=EF=

1,BF=2,△ABF和△CDE是两个正三角形，分别沿BF,CE将两个正三角形折起，使得平面

ABF和平面CDE都与平面BCEF垂直，连接AD,AC,AE，得到如图(2)所示的几何体.

(1)证明:平面ABF//平面CDE.

(2)求直线AC与平面AEF所成角的余弦值.

>D

A

'BB

图(1)图(2)

17.（15分)某中学拟举办校园非遗主题趣味知识竞赛，为调研男女学生参与意愿的差异，随机抽取

男生、女生各100人进行调查.设事件A=“学生愿意报名参加本次知识竞赛”，B=“学生为男

生”，据统计.

32

(1)根据已知条件P(,A完)成=下5,列P(B2|A×)=23列联表,并依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否推断

该校学生报名知识竞赛的意愿与性别有关？

性别男生女生合计

不愿报名参加

愿意报名参加

合计200

(2)竞赛答题环节规则:假设甲每道题回答是否正确相互独立,且每次答对的概率均为.若答

题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续2答题，

3

直到4道题答完.已知甲同学报名参加本次知识竞赛,用X表示在本次答题的题目数量,求

X的分布列和期望..

参考公式与数据:,其中n=a+b+c+d.

2

n(ad−bc)

2α0.100.050.010.0050.001

�=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

xa2.7063.8416.6357.87910.828

高三数学第3页(共4页)

18.（17分）已知函数，曲线在点(0,f(0))处的切线为l.

21

x2y

(1)求切线l的方程；f(x)=��(+1)+x=f(x)

(2)若当x2>x1≥a时，f(x2)-f(x1)<x2-x1，求a的最小值.

19.(17分)已知椭圆,交椭圆

22A,B分别是椭圆C的左、右顶点，直线lC

xy

22

于M,N两点(异于C:aA+,Bb)=，1当(a四>边b形>0A)MBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积

为4.45

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l恒过定点(1,0)，直线MA,NB交于点P，直线NA,MB交于点

Q，求|PQ|的最小值.

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•高三数学•参考答案、提示及评分细则

参考答案、提示及评分细则

2026-2027学年第一学期教学质量监测（11月）·高三数学参考答案

一、选择题

1.A【详解】因为，所以。

B={x∈�∣x−6<0}={0,1,2,3,4,5}A∩B=−1,0,2,3∩0,1,2,3,4,5=0,2,3

2.B【详解】由得，即-2≤x≤3，又是(-∞,4)的真子集，

x+23−x≥0x+2x−3≤0−2,3

则“x<4”是“(x+2)(3-x)≥0”的必要不充分条件.

3.D【详解】.

1−i1−i(1−i)(2−i)13

10

z=1+i−i=1+i+1=(2+i)(2−i)=5−5i

4.D【详解】函数的图象向右平移个单位，得的

����2�

f(x)=𝑠�2x−36y=𝑠�2x−6−3=𝑠�2x−3

图象，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.

2�

g(x)=𝑠�x−3

*

5.B【详解】设从上至下，第n(n∈N)层的灯笼数为an盏，由题意可知，数列{an}是首项为，公比为2的

n

等比数列，设该数列的前项和为n，则，即，解得。故这座塔的层数

nSn2=64n=6

1−2n

Sn=1−2=2−1=63

是6层.

【详解】

6.C22

𝑐�2�𝑐��−𝑠��

𝑐��+𝑠��=𝑠�(�−�)⇒𝑐��+𝑠��=𝑠��

1

⇒𝑐��−𝑠��=𝑠��⇒𝑐��=2𝑠��⇒𝑡��=.

2

�1

�𝑡��−𝑡�−11

𝑡��−=4=2=−.

�1

41+𝑡��𝑡�1+×13

42

7.C【详解】第一步：安排乙，由题意乙不能选人工智能、深空探测，故可从剩余3个领域中任选1个，

4

共C3=3种选法；第二步：安排甲，甲不能选人工智能，且不能与乙选择的领域重复，此时剩余可选领域共

4

5-2=3种选择，即C3=3种选法；第三步：安排剩余3名同学，剩余3个不同领域进行全排列，即

3

A3=3×2×1=6种排法，根据分步乘法计数原理，总选择种数为3×3×6=54。

第1页共7页

8.A【详解】由直线：x=my+2与x轴的交点为(2,0)，得焦点F(2,0)，准线方程为x=-2，因此抛物线

E的焦点F到准线的距离p=4，则y2=8x，由，得y2-8my-16=0，Δ=64m2+64>0，所以

x=my+2

y2=8x

2

y1+y2=8m，则x1+x2=m(y1+y2)+4=8m+4，，P到y轴的距离为

2

AB=x1+x2+4=8(m+1)

x1+x22

d==4m+2,

2

，当且仅当m=0时取得等号.

2

d4m+2111

122

∴二�、��多∠P选MN题=2|AB|=4m+4=1−2(m+1)≥1−2=2

9.ACD【详解】A选项，由题意得圆N：(x-2)2+(y-1)2=4a2，则圆N的圆心为N(2,1)，A正确；

B选项，若坐标原点在圆M上，则，故a2=1，故圆N的方程为，

22222

0−1+0=ax−2+y−1=4

将代入可得，故点不在圆N上，B错误；C选项，圆M的圆心为M(1,0)，

22

1,11−2+1−1=1≠41,1

半径为|a|，圆N的圆心为N(2,1)，半径为2|a|，则，若圆M与圆N内切，则

22

MN=2−1+1−0=2

，解得，C正确；D选项，a=1时，圆M：(x-1)2+y2=1，圆N：

2|a|−|a|=2a=±2

两圆相2减得2-，正确.

x−2+y−21x+=24y,1=0D

10.AB【详解】选项A：函数，则，解得x>0且x≠1，所以D={x>0且x≠1}，

��(x+1)x>0

��x

故A正确；选项B：当xf(>x)1=时，lnx>0，x+1>0等价于ln(x+1)>lnx，因为x+1>x>1，则

��x≠0��(x+1)

ln(x+1)>lnx成立，所以f(x)>1，故B正确f(；x)选=项�C�x：若>1f(x)=0，则ln(x+1)=0，即x+1=1，得x=0

，但x=0不在定义域D内，所以f(x)无零点，故C错误；选项D:

令

��x��(x+1)

−x��x−(x+1)��(x+1)

f'(x)=x+12x=则2,g(x)当

(��x)x(x+1)(��x)

x

=x��x−(x+1)��(x+1),g'(x)=��,x>1

x+1

时，g'(x)<0，可知g(x)在(1,+∞)内单调递减，所以当x>1时g(x)<g(1)=-2ln2<0，即f'(x)<0，可知

函数f(x)在(1,+∞)上单调递减，故D错误.

11.BCD【详解】以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

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则

，

C0,0,0,A2,2,0,B0,2,0,C10,0,2,D12,0,2,A12,2,2,B10,2,2,D2,0,0

则

E

(

0

,

0

,

1

),

F

(

2

,

1

,

2

)

，

对

于

A

，

AD1=

(，0,−

2,2)

BF=

，(2,−

1,2)

BE=

，(0,−

2,1)

设

平

面

B

E

F

的

法

向

量

为

，n=

则(x,y,z)

，

n·BF=0

所n·BE=0

以

，

2x−y+2z=0

取

−2y+z=0

n，=3

−2,1,2

因

为

与AD1

不n

平

行

，

故

直

线

A

D

1

与

平

面

B

E

F

不

垂

直

，

故

A

错

误

；

对

于

B

，

DE=

(−

，2,0,1),EF=

(2,1,1)

设

直

线

D

E

与

直

线

E

F

的

夹

角

为

θ

，

�−�2�×�2+=0×1+1×1

，304+1×4+1+1=

故10

B

正

确

；

对

于

C

，

因

为

F

到

平

面

B

C

E

的

距

离

即

为

棱

长

2

，

故

VE−BCF=

V1F−BCE=

3×

2×

S1△BCE=

3×

2×

1

2×

1×

2，=

故3

C

正

确

；

对

于

D

，

设

四

面

体

E

-

B

C

D

的

外

接

球

的

球

心

为

(

a

,

b

,

c

)

，

半

径

为

R

，

则

a

2

+

b

2

+

(

c

-

1

)

2

=

(

a

-

2

)

2

+

b

2

+

c

2

=

a

2

+

(

b

-

2

)

2

+

c

2

=

a

2

+

b

2

+

c

2

=

R

2，

故

，−2c+1=0

即−4a+4=0

−4b+4=0

a=

b，=

1,c=

故2

2

R=

1+

1，+

故94=

4

外

接

球

的

表

面

积

为

4

π

R

2

=

9

π

，

故

D

正

确

.

于是，...............................................................................11分

111111

bnbn+1=2n·2(n+1)=4n(n+1)=4n−n+1

所以。...................................................13分

11111111n

Tn=41−2+2−3++n−n+1=4(1−n+1)=4(n+1)

16.(1)证明：设BF，CE的中点分别为M，N，连接AM，DN，

因为平面ABF⊥平面BCEF，平面CDE⊥平面BCEF，

所以AM⊥平面BCEF，DN⊥平面BCEF，所以DN∥AM。·······························3分

又CE//BF，且BF，AM是平面ABF内的两条相交直线，

CE，DN是平面CDE内的两条相交直线，所以平面ABF//平面CDE。·················6分

（2）解：如图，以M为原点，分别以MB，MC，MA所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则M(0,0,0)，，C(0,1,0)，E(-1,1,0)，F(-1,0,0)，

ZA(0,0,3)

D

'F⇒E

γN

'M

C

所!以x，，，.............................................................9分

设平面ACA=EF0,1的,−法向3量为AE=−1,1,，−3EF=(0,−1,0)

则，即n=(a,b,c，)可得b=0，可取，c=1，

EF·n=0−b=0

所以。·······························a··=··−·····3·············································11分

AE·n=0−a+b−3c=0

设直线nA=C−与平3面,0,1AEF所成角为θ，则，......................................................13分

|AC·n|33

所以直线AC与平面AEF所成角的余弦值为𝑠𝑜=。|.A..C.|.|.n..|..=....2.×..2...=.....4...........................................................15分

13

17.解：（1）因为，所以愿意报名参加4知识竞赛的人数为，

33

P(A)=5200×5=120

又因为，所以愿意报名参加知识竞赛的男生人数为，愿意报名参加知识竞赛的女生

22

人数为12P0(-B8A0)=≠430，则可得到2×2列联表为：120×3=80

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性别男生女生合计

不愿报名参加206080

愿意报名参加8040120

合计100100200

..................................................3分

零假设为H0：该校学生报名知识竞赛的意愿与性别无关，

则，

2

2200×(20×40−80×60)100

�=100×100×80×120=3>10.828=x0.001

依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立。

即认为该校学生报名知识竞赛的意愿与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001...............7分

(2)X的所有可能取值为:1,2,3,4,

分

23

212212211

P(X=1)=,P(X=2)=×=,P(X=3)=×=,P(X=4)==,11

33393327327

所以X的分布列为:

X1234

2221

P

/3/9/27/27

............................................................................................................................................................................13分

故...............................................................................................15分

222140

E(X)=1×3+2×9+3×27+4×27=27

18.解：（1）由题意得，所以。·····························································2分

2x11

2

f'(x)=x+1+2f'(0)=2

又切线过点，所以曲线y=f(x)在点处的切线方程为x-2y=0。······························5分

0,00,f(0)

（2）当x2>x1≥a时，f(x2)-f(x1)<x2-x1，则f(x2)-x2<f(x1)-x1。

设g(x)=f(x)-x，则原条件等价于当x2>x1≥a时，g(x2)<g(x1)，

即函数g(x)在区间上单调递减........................................................................................................9分

a,+∞

由，得，.....................................................分

212

12x1x−4x+1

222

令g'((x)≤=0，��得(xx+2-14)x−+12x≥0，解g得'(x)=x+1−或2=−2(x+1)。···········································15分

所以g(x)在，x≤2−上单3调递x减≥.2+3

−∞,2−32+3,+∞

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因为g(x)在区间上单调递减，所以a的最小值为。·············································17分

a,+∞2+3

19.解：（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形，

由，2ab=4，得a=2，b=1，.............................................................................................3分

22

所以4椭a圆+bC=的4方5程为...........................................................................................5分

2

x2

4+y=1

(2)依题意，直线MN的斜率不为零，设直线MN的方程为x=my+1，M(x1,y1),N(x2,y2)，

由消去x整理得(m2+4)y2+2my-3=0，.............................................................7分

x2=my+1

x

4+y2=1

则Δ=16(m2+3)>0，，

2m3