2025年西安交通大学概率论与数理统计秋季学期期末考试试卷（含答案）

2025年西安交通大学概率论与数理统计秋季学期期末考试试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每空4分，共20分）1.设事件A，B满足P(A|B)=P(A)，且P(A)>0，则事件A与事件B).2.设随机变量X的分布律为P(X=k)=c(1/2)^k,k=1,2,3,...，则常数c=。3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且E(X^(2))=18，则λ=。4.设随机变量X和Y的方差分别为DX=4，DY=9，且协方差COV(X,Y)=1，则X与Y的相关系数ρXY=。5.从总体X中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本均值为X̄，样本方差为S²，若总体X的方差DX=σ²，则样本均值X̄的方差DX̄=。二、选择题（每题5分，共20分）1.设事件A与B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论中正确的是（）。(A)P(A|B)=0(B)P(A|B)=P(A)(C)P(A∪B)=P(A)+P(B)(D)P(A∩B)=P(A)P(B)2.设随机变量X的密度函数为f(x)={1/3,-1≤x≤2}，则P(X≤0)等于（）。(A)1/3(B)2/3(C)1/2(D)13.设随机变量X和Y相互独立，且X～N(μ1,σ1²)，Y～N(μ2,σ2²)，则随机变量Z=X+Y服从的分布是（）。(A)N(μ1+μ2,σ1²+σ2²)(B)N(μ1+μ2,σ1σ2)(C)N(μ1-μ2,σ1²+σ2²)(D)N(μ1,σ1²/2)4.设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，X~N(μ,σ²)，则下列统计量中不是统计量的是（）。(A)X̄=(1/n)∑Xi(B)∑(Xi-μ)²/σ²(C)max{X1,...,Xn}(D)(1/(n-1))∑(Xi-X̄)²三、计算题（每题10分，共40分）1.一盒中有10个灯泡，其中3个是坏的，7个是好的。现从中随机、不放回地抽取3个灯泡，求抽到的3个灯泡中至少有1个是坏灯泡的概率。2.设随机变量X的密度函数为f(x)={2x,0≤x≤1}，{0,其他}。求随机变量X的分布函数F(x)。3.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下表所示（部分）：||Y=0|Y=1||-------|-----|-----||X=0|a|0.1||X=1|0.2|b|已知E(X)=0.6，求a,b的值。4.从正态总体X～N(10,4)中随机抽取容量为n=16的样本，样本均值为X̄。求样本均值X̄落在区间(9.5,10.5)内的概率。四、证明题（10分）设X1,X2,...,Xn是来自总体X的样本，X的期望为EX=μ，方差为DX=σ²（σ>0）。令Y=a1X1+a2X2+...+anXn，其中a1,a2,...,an为常数，且∑ai=1。证明：E(Y)=μ，DY=σ²(∑ai²)。五、综合应用题（20分）设总体X的密度函数为f(x;θ)={θx^(θ-1),0<x<1}，{0,其他}，其中θ>0为未知参数。从总体X中抽取样本X1,X2,...,Xn，样本量为n。1.求参数θ的矩估计量。2.求参数θ的极大似然估计量。试卷答案一、填空题1.独立2.23.34.1/65.σ²/n二、选择题1.A2.B3.A4.B三、计算题1.解：设A=抽到的3个灯泡中至少有1个是坏灯泡。P(A)=1-P(抽到的3个灯泡全是好灯泡)=1-C(7,3)/C(10,3)=1-(7*6*5)/(10*9*8)=1-35/120=1-7/24=17/242.解：当x<0时，F(x)=0。当0≤x≤1时，F(x)=P(X≤x)=∫0^x2tdt=t²|0^x=x²。当x>1时，F(x)=P(X≤x)=∫0^12tdt=1。所以，F(x)={0,x<0}，{x²,0≤x≤1}，{1,x>1}。3.解：由联合分布律性质，a+0.1+0.2+b=1，得a+b=0.7。由边缘分布P(X=0)=a+0.1，P(X=1)=0.2+b。E(X)=P(X=1)*1=(0.2+b)*1=0.6，得b=0.4。代入a+b=0.7，得a=0.3。所以，a=0.3，b=0.4。4.解：X̄~N(μ,σ²/n)=N(10,4/16)=N(10,1/4)。P(9.5<X̄<10.5)=P((9.5-10)/(1/2)<Z<(10.5-10)/(1/2))=P((-0.5)/(1/2)<Z<(0.5)/(1/2))=P(-1<Z<1)=Φ(1)-Φ(-1)（其中Φ是标准正态分布函数）=2Φ(1)-1≈2*0.8413-1=0.6826。四、证明题证明：E(Y)=E(a1X1+a2X2+...+anXn)=a1E(X1)+a2E(X2)+...+anE(Xn)（线性性质）=a1μ+a2μ+...+anμ（E(Xi)=μ）=(a1+a2+...+an)μ=1*μ（∑ai=1）=μ。DY=D(a1X1+a2X2+...+anXn)=a1²DX1+a2²DX2+...+an²DXn（独立时，协方差项为0）=a1²σ²+a2²σ²+...+an²σ²（DXi=σ²）=(a1²+a2²+...+an²)σ²=(∑ai²)σ²。五、综合应用题1.解：E(X)=∫0^1x*θx^(θ-1)dx=θ∫0^1x^θdx=θ*[x^(θ+1)/(θ+1)]|0^1=θ/(θ+1)。令E(X)=μ，即θ/(θ+1)=μ。解得θ=μ/(1-μ)。所以，θ的矩估计量为θ̂=X̄/(1-X̄)。2.解：样本的似然函数为L(θ)=∏[θ*x^(θ-1)]fromi=1ton=θ^n*(∏[x^(θ-1)]fromi=1ton)=θ^n*[∏xi^(θ-1)]fromi=1ton。取对数似然函数为lnL(θ)=nlnθ+(∑lnxfromi=1ton)*(θ-1)。对θ