2025年线性代数期末考试试卷（含复数域上的线性代数问题）

2025年线性代数期末考试试卷（含复数域上的线性代数问题）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。）1.设$\mathbb{C}$是复数域，$\mathbf{0}$是零向量，$\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}$是$\mathbb{C}^n$中的向量，$\alpha,\beta\in\mathbb{C}$。下列说法错误的是(A)如果$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{0}$，则$\mathbf{v}=-\mathbf{u}$。(B)$\alpha\mathbf{u}+\beta\mathbf{v}=\beta\mathbf{v}+\alpha\mathbf{u}$。(C)如果$\mathbf{u}\neq\mathbf{0}$，则对任意$\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n$，存在$\gamma\in\mathbb{C}$使得$\mathbf{v}=\gamma\mathbf{u}$。(D)$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\overline{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}$，其中$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$表示标准内积。2.设$A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}$，其中$i$是虚数单位，则$A$的行列式$\det(A)$为(A)0(B)2(C)-2i(D)2i3.设$V=\mathbb{C}^2$，向量$\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$，$\mathbf{v}=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$。下列说法正确的是(A)$\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$是$V$的一组基。(B)$\{\mathbf{u},\mathbf{v}\}$是$V$的一个生成集。(C)$V$中任意向量$\mathbf{w}=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$，若$\mathbf{w}\perp\mathbf{u}$，则$a+bi=0$。(D)子空间$\mathrm{span}(\{\mathbf{u}\})$的维数是1。4.设$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$，则$A$的特征值是(A)1,1,-1(B)1,-1,-1(C)1,1,1(D)1,-1,15.设$T:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2$是线性变换，$T\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}i\\1\end{pmatrix}$，$T\left(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$，则$T\left(\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right)$为(A)$\begin{pmatrix}2i\\2\end{pmatrix}$(B)$\begin{pmatrix}i\\2\end{pmatrix}$(C)$\begin{pmatrix}2\\i\end{pmatrix}$(D)$\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。请将答案填在答题卡相应位置。）6.设$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$，则$(AB)^T$为__________。7.设$\mathbf{u}=\begin{pmatrix}1\\i\\-1\end{pmatrix}$，$\mathbf{v}=\begin{pmatrix}i\\1\\1\end{pmatrix}$，则$\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$为__________。8.设$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}$，则$\det(A^{-1})$为__________。9.设$V=\mathbb{C}[x]_3$是次数不超过2的复系数多项式组成的向量空间，$\mathbf{p}(x)=x^2+ix+1$，则$\mathbf{p}(x)$在基$\{1,x,x^2\}$下的坐标为__________。10.设$T:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2$是线性变换，$T$在基$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下的矩阵为$A=\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}$，则$T$的特征多项式为__________。三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分。）11.计算行列式$\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\omega&\omega^2\\1&\omega^2&\omega\end{vmatrix}$，其中$\omega=e^{2\pii/3}$是单位根。12.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&0\\1&1&3\end{pmatrix}$的特征值和特征向量。13.设$V=\mathbb{C}^2$，线性变换$T:V\toV$定义为$T\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}y\\x+iy\end{pmatrix}$。(1)求$T$在基$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下的矩阵表示。(2)求$T$的特征值和特征向量。四、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分。）14.设$V$是复数域$\mathbb{C}$上的向量空间，$T:V\toV$是线性变换。证明：$T$至少有一个特征值。15.设$A$是复数域$\mathbb{C}$上的$n$阶可逆矩阵。证明：对任意复数$\lambda\neq0$，$\lambdaA$也是可逆矩阵，且$(\lambdaA)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1}$。试卷答案一、单项选择题1.(C)2.(D)3.(B)4.(A)5.(A)二、填空题6.$\begin{pmatrix}-1&2\\-4&3\end{pmatrix}$7.08.$\frac{1}{24}$9.$\begin{pmatrix}1\\i\\1\end{pmatrix}$10.$(\lambda-1)^2+1$三、计算题11.解：利用行列式性质和$\omega^3=1$，$\omega^2+\omega+1=0$。$\det(A)=\begin{vmatrix}1&1&1\\1&\omega&\omega^2\\1&\omega^2&\omega\end{vmatrix}\xlongequal[r_3-r_1]{r_2-r_1}\begin{vmatrix}1&1&1\\0&\omega-1&\omega^2-1\\0&\omega^2-1&\omega-1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\omega-1&\omega^2-1\\\omega^2-1&\omega-1\end{vmatrix}$$=(\omega-1)^2-(\omega^2-1)^2=\omega^2-2\omega+1-(\omega^4-2\omega^2+1)=\omega^2-2\omega+1-(\omega-2\omega^2+1)$$=\omega^2-2\omega+1-\omega+2\omega^2-1=3\omega^2-3\omega=3\omega(\omega-1)$$=3e^{2\pii/3}(e^{2\pii/3}-1)=3e^{2\pii/3}(e^{\pii}e^{\pii/3}-1)=3e^{2\pii/3}(-e^{\pii/3}-1)$$=3e^{2\pii/3}(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}-1)=3e^{2\pii/3}(-\frac{3}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})$$=3(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}+i\frac{3\sqrt{3}}{2}=e^{4\pii/3}$故答案为$e^{4\pii/3}$。但通常要求实数答案，考虑到$\omega=e^{2\pii/3}$是单位根，此题可能存在答案表述问题，若题目要求实数答案，则应考虑$\omega$的具体值。按行列式计算结果，答案为$e^{4\pii/3}$。12.解：计算特征多项式$\det(\lambdaI-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-2&-3\\-2&\lambda-1&0\\-1&-1&\lambda-3\end{pmatrix}$$=(\lambda-3)\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-2\\-2&\lambda-1\end{pmatrix}-(-1)\det\begin{pmatrix}\lambda-1&-3\\-2&0\end{pmatrix}$$=(\lambda-3)((\lambda-1)^2-4)+6=(\lambda-3)(\lambda^2-2\lambda-3)+6$$=(\lambda-3)(\lambda-3)(\lambda+1)+6=(\lambda-3)^2(\lambda+1)+6$$=(\lambda^2-6\lambda+9)(\lambda+1)+6=\lambda^3-5\lambda^2-3\lambda+3$特征值为$\lambda=0,3,5$。当$\lambda=0$时，$\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\-2&-1&0\\-1&-1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$得$x_1=-x_3,x_2=0$。令$x_3=1$，得特征向量$\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$。当$\lambda=3$时，$\begin{pmatrix}2&-2&-3\\-2&2&0\\-1&-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$得$x_1=-\frac{3}{2}x_3,x_2=x_3$。令$x_3=2$，得特征向量$\begin{pmatrix}-3\\2\\2\end{pmatrix}$。当$\lambda=5$时，$\begin{pmatrix}4&-2&-3\\-2&4&0\\-1&-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$得$x_1=-\frac{3}{4}x_3,x_2=\frac{1}{2}x_3$。令$x_3=4$，得特征向量$\begin{pmatrix}-3\\2\\4\end{pmatrix}$。13.解：(1)$T\left(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，$T\left(\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$所以$T$在基$\{\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\}$下的矩阵为$A=\begin{pmatrix}0&1\\1&i\end{pmatrix}$。(2)计算特征多项式$\det(\lambdaI-A)=\det\begin{pmatrix}\lambda&-1\\-1&-i\end{pmatrix}=\lambda(-i)-(-1)(-1)=-i\lambda-1$。令特征多项式为零：$-i\lambda-1=0$，解得$\lambda=-\frac{1}{i}=i$。当$\lambda=i$时，$(iI-A)\mathbf{x}=\begin{pmatrix}i&-1\\-1&-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$得$ix_1-x_2=0$，即$x_2=ix_1$。令$x_1=1$，得特征向量$\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}$。四、证明题14.证明：设$V$是复数域$\mathbb{C}$上的$n$维向量空间，$T:V\toV$是线性变换。考虑$T$的特征多项式$p(\lambda)=\det(\lambdaI-T)$，这是一个$\mathbb{C}$上的$n$次多项式。由代数基本定理，$p(\lambda)$在$\mathbb{C}$中至少有一个根，设$\lambda_0$是$p(\lambda)$的一个根。则$\det(\lambda_0I-T)=0$。这意味着线性方程组$(\lambda_0I-T)\mathbf{x}=\mathbf{0}$有非零解$\mathbf{x}$。此解$\mathbf{x}$即为$T$的属于特征值$\lambda_0$的特征向量。因此，$T$至少有一个特征值。15.证明：设$A$是复数域$\mathbb{C}$上的$n$阶可逆矩阵，$\lambda\neq0$。我们需要证明$\lambdaA$也是可逆矩阵，且$(\lambdaA)^{-1}=\frac{1}{\lambda}