湖北武汉市2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案

湖北省武汉市2026-2027学年高一上学期11月期中数学试题高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.3.下列四组函数表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与4.函数的定义域为（）A. B.C. D.5.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.6.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则7.一家商店使用一架左臂长为acm，右臂长为bcm（）的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，取出黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客购得的黄金（）A.大于10g B.等于10g C.小于10g D.无法确定8.已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.集合，，若，则实数的值为1B.已知集合，则满足条件的集合有4个C.的最小值是2D.函数的定义域为，则函数的定义域为10.若实数，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为11.对任意实数，表示不超过的最大整数，称为高斯函数．例如，，令，则下列选项中正确的是（）A.不等式的解集为B.函数的值域为C.D.方程有3个不相等的解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为_____________________．13.高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团．已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人．则三项社团全都参加的人数为__________________．14.“杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______；若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．16.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）若函数，记函数的最小值，求的解析式；17.某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？18.已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，．（1）求和的值．（2）判断在上的单调性并证明．（3）求不等式的解集．19.已知二次函数（且）为偶函数，且对任意都有，在上的最小值为1．（1）求的解析式；（2）若时，使不等式成立，求实数的取值范围；（3）存在实数，使对任意恒成立，求实数的最小值．高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】因为集合，集合，所以.2.命题“”的否定为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保持变量取值范围不变、否定结论即可得.【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，其否定规则为：将存在量词改为全称量词，保持原命题中变量的取值范围不变，同时否定原命题的结论.所以原命题为“”的否定为“”.3.下列四组函数表示同一个函数的是（）A.与 B.与C.与 D.与【答案】C【解析】【详解】选项A：函数的定义域为；函数的定义域为，两函数定义域不同，不满足同一函数的判定条件，A错误；选项B：函数的定义域为，化简得；两函数对应法则不同，不满足同一函数的判定条件，B错误；选项C：函数的定义域为；函数的分母需满足，即，定义域为，化简得两函数定义域、对应法则均相同，满足同一函数的判定条件，C正确；选项D：函数的定义域为；函数的定义域为，两函数定义域不同，不满足同一函数的判定条件，D错误.4.函数的定义域为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求解该函数定义域需同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束，联立不等式组求解后匹配对应选项.【详解】由题意得，解该不等式得；对于分式，解该不等式得，取上述两个约束条件的交集，可得函数的定义域为.5.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】原命题为真，即，等价于，即，其中最大值在时取到.对于A，，，为充分不必要条件.对于B，，，为必要不充分条件.对于C，，，为必要不充分条件.对于D，，，为必要不充分条件.6.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据不等式的基本性质及特殊值法判断A，根据作差法判断BCD.【详解】对于A：当时，，此时，不满足，因此A为假命题.对于B：

.当且时，差为负值，即.如取，，，此时，，不满足题设不等式，因此B为假命题.对于C：，因为，所以，，所以，即，因此C为真命题.对于D：，因为，所以，故，即.同理可得，即，所以，因此D为假命题.7.一家商店使用一架左臂长为acm，右臂长为bcm（）的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，取出黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客购得的黄金（）A.大于10g B.等于10g C.小于10g D.无法确定【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由题意知，天平的左臂长为，右臂长为，其中，第一次称的黄金为，可得，解得第二次称的黄金为，可得，解得，则，当且仅当，即时，等号成立，因为，所以等号不成立，所以，所以顾客购得的黄金大于.8.已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据给定条件判断函数在上的单调性，结合偶函数的对称性将抽象函数不等式转化为绝对值不等式，进而求解的取值范围.【详解】对任意，，都有，则与异号，即当时，，故在上单调递减.因为关于轴对称，且定义域为，故是偶函数，所以对任意，有，即.所以可化为，又在上单调递减，所以，则，整理得，即，解得或，故实数的取值范围为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.集合，，若，则实数的值为1B.已知集合，则满足条件的集合有4个C.的最小值是2D.函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】ABD【解析】【分析】分别依据集合相等、子集个数、基本不等式的取等条件和复合函数定义域的求法判断.【详解】对于A，由及，得，所以，解得，回代得，A正确.对于B，集合的子集为，，，，共4个，B正确.对于C，由基本不等式得，取等须，即，无实数解，故函数值恒大于2，C错误.对于D，由，解得，所以定义域为，D正确.10.若实数，满足，，，则下列结论中正确的是（）A. B.C.的最小值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【详解】选项A：对正实数，有，即，所以，当且仅当（即）时等号成立，故A正确；选项B：因为，，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；选项C：，当且仅当时等号成立，故C错误；选项D：因为，同理，所以

，

由基本不等式，，当且仅当即时等号成立，因此，故原式，即最小值为，D正确.11.对任意实数，表示不超过的最大整数，称为高斯函数．例如，，令，则下列选项中正确的是（）A.不等式的解集为B.函数的值域为C.D.方程有3个不相等的解【答案】BCD【解析】【分析】解不等式求得解集判断A；计算可得判断C；进而计算可得函数的值域判断B；解方程求得方程的根判断D.【详解】对于A，由，得，解得，所以，所以不等式的解集为，故A错误；对于C，因为，故C正确；对于B，因为，所以为周期函数，且周期为1，不妨设.当时，；当时，，此时值域为；当时，；综上所述：当时，.所以函数的值域为，故B正确；对于D，因为函数的值域为，又，所以，解得，若时，由，可得，所以，解得或（舍去）；若时，由，可得，所以，解得或（舍去）；若时，由，可得，所以，解得或（舍去）；若时，由，可得，所以，又，所以方程无解；综上所述：方程有3个不相等的解，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.不等式的解集为_____________________．【答案】【解析】【分析】通过分式不等式的等价转化规则，将原不等式转化为一元二次不等式，结合二次函数的图像性质求解解集.【详解】不等式变换为.所以该不等式的解集为，即.13.高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团．已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人．则三项社团全都参加的人数为__________________．【答案】8【解析】【分析】结合三集合容斥原理，根据班级总人数、未参加社团的人数建立方程，求解三项都参加的人数即可.【详解】设参加漫画社的同学构成集合，参加围棋社的同学构成集合，参加航模社的同学构成集合，设三项社团全都参加的人数为，即，由题意，班级总人数为48，三项都未参加的有10人，因此至少参加一项社团的人数为，即，根据三集合容斥原理，将已知条件，，，，，代入公式，可得：

，即，解得，经检验，韦恩图各区域对应的人数均为非负整数，符合实际意义，因此三项社团全都参加的人数为8.14.“杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______；若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______．【答案】①.②.【解析】【分析】空1：根据“杰卡德相似度”的定义，求出集合，的元素个数即可求得；空2：利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最小值.【详解】因为，，所以，，所以；由，得，由，得，因此（时取等号），，（时取等号）则，所以的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）分别求，；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）首先求出集合，再利用集合的交、并、补运算即可求解.（2）讨论或，根据集合的包含关系即可求解.【详解】（1），，所以，，（2）①当时，，此时；②当时，，则；综合①②，可得的取值范围是．【点睛】本题考查了集合的基本运算、由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.16.已知是定义在上的奇函数，且当时，．（1）求函数在上的解析式；（2）若函数，记函数的最小值，求的解析式；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式；（2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式.【小问1详解】已知是定义在上的奇函数，则，若，则，则，又因为为奇函数，则，综上可得，．【小问2详解】当时，，则函数开口向上，且对称轴的方程为，①当时，函数在区间单调递增，故当时，函数取得最小值，最小值是，②当时，函数在单调递减，在单调递增，故当时，函数取最小值，最小值是，③当时，函数在区间单调递减，故当时，函数取得最小值，最小值是，所以函数的最小值．17.某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）（1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640.【解析】【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可；（2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可.【小问1详解】由题意可知：；【小问2详解】根据（1）可知：当时，，即在上单调递减，在上单调递增，易知，当时，，当且仅当，即时取得等号，综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640.18.已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，．（1）求和的值．（2）判断在上的单调性并证明．（3）求不等式的解集．【答案】（1）；；（2）在上单调递减，证明如下：任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，故在上单调递减；（3）.【解析】【分析】（1）令，求出；令，计算可得；（2）利用定义法结合题意判断单调性；（3）令可得，化简不等式利用单调性结合一元二次解法计算求解即可.【小问1详