湘教版八年级上册数学4.1 第3课时 三角形内角和与外角 教学课件（25秋新教材）

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件湘教版八年级上册数学（25秋新教材）4.1三角形第4章三角形第3课时

三角形内角和与外角1.通过操作活动，发现三角形的内角和是180°；2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数；（重点、难点）3.了解三角形的外角及其性质.学习目标思考：

任意三角形的内角和都是180°

吗？为什么？折叠锐角三角形测量40°68°72°40°＋68°＋72°＝180°（请同学们运用学科工具——量角器测量演示）还有其他的方法吗？三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.

观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接方法吗？探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起.三角形的内角和定理的证明1三角形内角的和等于

180°.求证：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.证法1：过点

A作

l∥BC，则∠B=∠1，∠C=∠2(两直线平行，内错角相等).

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12验证结论证法2：延长

BC到

D，过点

C作

CE∥BA，则∠A=∠1(两直线平行，内错角相等)，∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12CBAEDF证法3：过

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(两直线平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(两直线平行，同旁内角相补).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.想一想：同学们还有其他的证法吗？思考：多种方法证明三角形内角和等于180°

的核心是什么？借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在△ABC

中，∠A

的度数是∠B

的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解：设∠B为

x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x+

15)°，从而3x+

x+(x+

15)＝180，解得x＝33.所以3x＝99，x+15＝48.答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.几何问题借助方程来解，

这是一个重要的数学思想.典例精析解：已知

DE⊥AB，则∠FEA＝90°．因为

在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∠CFD＝∠AFE，所以∠CFD＝60°.则在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.1.如图，△ABC中，D在

BC的延长线上，过

D作

DE⊥AB于

E，交

AC于

F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.练一练一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？

因为三角形的内角和等于180°，因此最多有一个直角或一个钝角.说一说1.三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；锐角三角形3.有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形.钝角三角形2.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，直角三角形直角边直角边斜边ABC直角三角形

ABC

可以写成

Rt△ABC；两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形.定义如图，把△ABC的一边

BC延长，可得到∠ACD.像这样，把三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫作三角形的外角.∠ACD是△ABC的一个外角CBAD三角形的外角的概念2ABC画一画

画出△ABC的所有外角，共有几个呢?每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.三角形的外角应具备的条件：①

角的顶点是三角形的顶点；②

角的一边是三角形的一边；③

另一边是三角形中一边的延长线.∠ACD是△ABC的一个外角，CBAD每一个三角形都有6个外角．归纳总结FABCDE2.如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？∠BEC是△AEC的外角；∠AEC是△BEC和△BEF

的外角；∠EFD是△BEF和△DCF的外角.练一练三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角问题1

如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？∠BCD与∠ACB互补.三角形的外角的性质3问题2

如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？三角形的外角ACBD相邻的内角不相邻的内角∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，∴∠BCD=∠A+∠B.你能用作平行线的方法证明此结论吗？三角形内角和定理的推论ABCD(((三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.应用格式：因为∠ACD是△ABC的一个外角，所以∠ACD=∠A+∠B.知识要点例2

如图，已知

AD

是∠ABC

的角平分线，∠ADB=98°，∠C=70°，求∠B

的度数.解

因为∠ADB=∠C+∠CAD，所以∠CAD=∠ADB－∠C=98°－70°=28°.又∠BAD=∠CAD，所以∠BAD=28°.因此，∠B=180°－∠ADB－∠BAD=54°.3.(一题多解)

如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.练一练解法一：连接

AD并延长到点

E.在△ABD中，∠1+∠B=∠3，在△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你发现了什么结论？解法二：延长

BD交

AC于点

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：连接

CD并延长交

AB于

F(方法同解法二).)2F

解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.总结如图①，试比较∠2、∠1的大小；如图②，试比较∠3、∠2、∠1的大小.图①图②解：因为∠2=∠1+∠B，所以∠2＞∠1.解：因为∠2=∠1+∠B，∠3=∠2+∠D，所以∠3＞∠2＞∠1.拓展探究三角形的外角大于与它不相邻的内角.ABCD((123ABCD(((12E由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.归纳总结ABCD由三角形的外角和定理易得∠BDC=∠A+∠B+∠C.“8”字形“燕尾蝶”形1.求出下列各图中的

x值.x=70x=60x=30x=502.(1)如图，∠BDC是_______的

外角，也是

的外角；(2)若∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE=20°，求∠AEC的度数.ABCDE△ADE△ADC解：根据三角形外角的性质有

∠ADC=∠B+∠BCE，

∠AEC=∠ADC+∠BAE，

所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE

=45°

+20°

+36°=101°.解：因为∠ADC是△ABD的外角，3.

如图，D

是△ABC

的

BC

边上一点，∠B

=

∠BAD，∠ADC

=

80°，∠BAC

=

70°，求：（1）∠B的度数；