6.7 定积分的几何应用

一、定积分的元素法二、平面图形的面积第七节定积分的几何应用三、旋转体的体积四、平行截面面积已知的立体的体积六、小结五、平面曲线的弧长回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo面积表示为定积分的步骤如下:（3）求和，得A的近似值（4）取极限，得A的精确值abxyo提示面积元素元素法的一般步骤：这个方法通常叫做定积分的元素法．应用方向：平面图形的面积，体积.经济应用,其他应用.二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？第二步：写出面积表达式。二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积如何用元素法分析？二、平面图形的面积第二步：写出面积表达式。如何用元素法分析？例1

计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解

由得交点解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量求其面积：考虑选择x为积分变量，如何分析面积表达式？xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：考虑选择y为积分变量，如何分析面积表达式？解两曲线的交点为选为积分变量选为积分变量由以上例题可知,计算平面图形面积,一般可分为以下步骤:

(1)画边界曲线草图,并求出曲线的交点坐标;

(2)选择适当的积分变量并确定积分区间;

(3)代入相应计算公式,应尽量避免分块运算.解这个椭圆关于两坐标轴都对称.设椭圆在第一象限的面积为A1,则椭圆的面积为4A1,利用面积公式,得应用定积分换元法,可得另由椭圆的参数方程一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积例5求由摆线的一拱与x

轴所围平面图形的面积.解极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为例6计算心形线所围图形的面积.解(利用对称性)

旋转体是由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体,这直线叫做旋转轴．圆柱三、旋转体的体积(volumeofbody)（1）圆锥圆台三、旋转体的体积(volumeofbody)（3）（2）xyo旋转体的体积为解直线方程为例8解由于该平面图形分别关于x轴及y轴对称,所以只需分别求出半个椭圆绕x轴及y轴旋转所得的旋转体的体积即可.由已知,在x轴上方的半个椭圆的方程为此时体积为而在y轴右方的半个椭圆的方程为此时体积为特别地,当a=b时,旋转体为球体,其体积为

如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积五、平面曲线的弧长定义:

若在弧

AB

上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB

的弧长

,即并称此曲线弧为可求长的.定理:

任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出弧长元素(弧微分)因此所求弧长为(2)曲线弧由参数方程给出弧长元素(弧微分)因此所求弧长为(3)曲线弧由极坐标方程给出因此所求弧长则得弧长元素(弧微分)(自己验证)例10求曲线上相应于x从0到8的一段弧的长度.解