北京市海淀区育英学校航天校区2026-2027学年高二上学期期中数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市海淀区育英学校航天校区2026-2027学年高二上学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.在平面直角坐标系中，点，，如果直线的倾斜角为45°，那么实数等于（

）A.3 B.2 C.1 D.02.已知空间向量，，若三点共线，则（

）A. B.4 C. D.3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为32的正方形，则该圆柱的表面积为（

）A. B. C. D.4.若，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A.若，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，则且5.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则（

）A.4 B.3 C.2 D.6.已知在正方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与的夹角是（

）A. B. C. D.7.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥P-ABC，，底面△ABC是等腰直角三角形，AB＝BC，顶点P到底面ABC的距离为3，则点B到平面PAC的距离为

（

）

A. B. C. D.8.在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（

）

A.为 B.为的中点

C.的轨迹长度为 D.为的中点9.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边，若直线上一动点，直线上一动点，则线段长度的最小值为（）

A. B. C. D.10.如图，在棱长为1的正方体中，点为的中点，点是侧面上（包括边界）的动点，点是线段上的动点，给出以下结论，其中正确结论的序号为（

）①存在点，使得对任意点，都有；②存在无数组点和点，使得；③存在唯一的点，使得平面；④存在点，使得其到直线的距离为．

A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是

．12.已知，为直线，为平面，给出下列三个论断：①②③．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：

．13.在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为

．14.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共顶点的棱的中点）．如图，若正四面体棱长为1，则该组合体的表面积为

；该组合体的外接球体积为

．

15.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别在棱，上，且，点为的中点，给出下面四个结论：①；②存在，使得是钝角；③当时，的面积取得最小值；④当时，平面截该正方体的表面所得的截面为六边形.其中正确结论的序号为

.

三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)已知空间向量，．(1)若，求z的值；(2)若，求与的夹角．17.(本小题12分)

如图，在四边形ABCD中，，．

（Ⅰ）求∠CAD的正弦值；

（Ⅱ）若∠BAC=2∠CAD，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长．18.(本小题12分)如图，在三棱柱中，平面，，，点在棱上，点，分别为棱，的中点，平面；(1)求证：点为的中点；(2)求证：平面平面；(3)求三棱锥的体积．19.(本小题12分)如图，在四棱锥中，，点在上，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)已知，．若为的中点，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定，求直线与平面所成角的正弦值．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题14分)四棱锥中，，，，，平面平面，是棱的中点．(1)求证：；(2)若为上的点，，，，（i）求二面角的余弦值；（ii）设平面平面，求直线与平面所成的角的正弦值．21.(本小题15分)已知集合，对于，，定义与之间的距离为．(1)已知，写出所有的，使得；(2)已知，若，并且，求的最大值；(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】A

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】①②④

16.【答案】解：（1）因为，，所以．因为，所以，即，解得，此时为非零向量，所以．（2）若，则，，所以.又，，所以.因为，所以与的夹角为．

17.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，设AD=x（x＞0），

由余弦定理得，

整理得7x2=7，

解得x=1，

所以AD=1，CD=2，

由正弦定理得，

解得．

（Ⅱ）由已知得S△ABC=4S△ACD，

所以，

化简得AB•sin∠BAC=4AD•sin∠CAD，

所以AB•2sin∠CAD•cos∠CAD=4AD•sin∠CAD，

于是AB•cos∠CAD=2AD，

因为，且∠CAD为锐角，

所以．

因此．

18.【答案】解：(1)因为平面，平面，平面平面，所以，又因为点，为棱的中点，所以点为的中点.(2)在三棱柱中，平面，平面，平面所以，，又，，平面，所以平面，平面，所以，又因为，，所以侧面为正方形，故，而分别为的中点，连结，所以，所以，又，平面,所以平面，又平面，所以平面平面.（3）

19.【答案】解：(1)取的中点，连接、，因为是的中点，所以，且，且，所以，即且，因此，四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.（2）选条件①，因为，，为中点，所以，因为，，所以是矩形，所以，因为，，平面，所以平面，因平面，所以，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线作为轴，则轴在平面内，因为，所以，由，，得，则，因为，，所以，因为，所以恒成立，则条件①不能确定，故不唯一，则条件①不符合“唯一确定”的要求，从而得到条件①不符合要求.选条件②：因为为中点，，，所以，因为，所以，所以，解得，因为，所以，解得，有一个高度，几何体唯一，故条件②符合要求，则，故以为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，，，设平面的法向量为，则，即，则令，得，设直线与平面所成角为，则：，，，.

选条件③：因为，所以，因为，，所以，因为，所以，，则，因为，所以，解得，有一个高度，几何体唯一，故条件③符合要求，则，故为轴建立空间直角坐标系，因为，所以，，，设平面的法向量为，则，即，则令，得，设直线与平面所成角为，则：，，，.

20.【答案】解：(1)证明：四棱锥中，由，，得.因为平面平面，平面平面，又平面，所以平面.因为平面，所以.（2）（i）由（1）得平面，所以，.又，则直线两两垂直.以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，，，得：，则，设，则，故.由，得，解得，即.设平面的一个法向量为，已知，，由，得，即，令，则法向量.设平面的一个法向量为，已知，，由，得，即，令，则法向量.故，而二面角为钝二面角，故其余弦值.（ii）因为为的中点，故，因此.设平面的一个法向量为，由，得，即，令，则设平面的一个法向量为，已知，，由，得，即，令，则.因为平面平面，所以直线的方向向量同时垂直于和.设直线的方向向量为，由，得，即，令，则.由（i）知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，，则，所以直线与平面所成的角的