213 方案选择与最优决策（七）

D06-07·最优分配与运输｜第1页专项练习D06-07·方案选择与最优决策（七）苏科版（2024）数学七年级上册第4章一元一次方程·方案选择与最优决策专项（最优分配与运输）姓名：____________班级：____________日期：____________得分：__________答题说明本卷共10题，全部为解答题，满分100分，建议用时90分钟。难度按「中档3题+较难4题+压轴3题」编排，题号后为题头分，各小问分值标在问末括号内。解答须写出总量关系式、自变量取值范围、费用函数（分段计价须分段写）与比较过程，并明确回答最省方案与最低费用；只写答案不给分。示意图按题干真实数据绘制，只标已知量，不标待求数值。1．（8分·中档）某车间有甲、乙两条生产线，都可独立生产同一种零件。甲线日产最多180台，每天固定成本1200元，每生产1台另需变动成本8元；乙线日产最多200台，每天固定成本2000元，每生产1台另需变动成本5元。某日两条线合计要生产300台（产量取整数台），设甲线生产x台。图中数字为题设的产能、固定成本与单台变动成本，不是答案。（1）写出当日总成本C（元）关于x的表达式，并求x的取值范围；（3分）（2）求使当日总成本最低的分配方案，以及最低总成本；（3分）（3）若当日只需生产180台，有人主张「只用一条线最省事」。请分别算出只用甲线、只用乙线、两线同时开工三种做法的最小费用，并指出哪种最省。（2分）2．（8分·中档）甲仓库有存货160吨，运到客户的运费为18元／吨；乙仓库有存货120吨，运费为12元／吨。客户共需200吨，两仓可同时发货，设甲仓发给客户x吨。图中数字为题设的存货量与每吨运费。（1）写出总运费W（元）关于x的表达式，并求x的取值范围；（3分）（2）求总运费最低的发货方案与最低总运费；（3分）（3）若乙仓因故只剩90吨可以调出，其余条件不变，重新求最低总运费及此时的发货方案。（2分）3．（8分·中档）某货运站要把240吨货物一次运走，可租用大、小两种车，每辆车都必须装满。大车每辆装15吨、运费480元，最多只能租到10辆；小车每辆装10吨、运费350元，数量不限。设租用大车y辆。图中数字为题设的载重量、单车运费与待运总量。（1）写出总运费T（元）关于y的表达式，并求出y所有可能的取值；（3分）（2）求总运费最低的租车方案与最低总运费；（3分）（3）若大车每辆运费涨到560元、小车运费不变，最低总运费是多少？此时大车还用不用？（2分）4．（10分·较难）某工地需水泥90吨，由甲、乙两厂供货。甲厂每吨2448元，最多可供40吨；乙厂每吨2724元，最多可供70吨。运输用车每车装10吨（吨数只能是10的整数倍），每车另付过路费200元。设甲厂供x吨。图中数字为题设的供货上限、每吨价与每车过路费。（1）写出总费用F（元）关于x的表达式（含过路费），并求x的取值范围；（4分）（2）求总费用最低的供货方案与最低总费用；（4分）（3）若每车过路费涨到300元、其余条件不变，最省方案是否改变？此时总费用为多少？（2分）5．（10分·较难）某公司需原料100吨，由甲、乙两车间供货。甲车间最多供60吨，单价760元／吨，价格不随数量变化。乙车间最多供80吨，单价分段计算：不超过50吨的部分按800元／吨，超过50吨的部分按700元／吨。设甲车间供x吨。图中数字为题设的供货上限与分段单价。（1）写出总货款P（元）关于x的表达式，并求x的取值范围；（4分）（2）求总货款最低的供货方案与最低总货款；（4分）（3）如果把「乙车间超过50吨的部分只要700元／吨」理解为「乙越多越便宜」，从而让乙车间供满80吨，总货款是多少？比最省方案多花多少元？（2分）6．（10分·较难）某食堂需采购蔬菜50吨，有两个货源地。甲处最多供45吨，单价15元／吨；乙处最多供40吨，单价9元／吨，但因乙处须凑够一整车的量才发车，一次调运不足25吨就不发车（可以一吨也不调）。设从乙处调b吨。图中数字为题设的供货上限、单价与发车门槛25吨。（1）写出总费用S（元）关于b的表达式，并求出b所有可能的取值；（3分）（2）求总费用最低的采购方案与最低总费用；（4分）（3）若食堂只需30吨，其余条件不变，最低总费用是多少？此时还要不要用乙处的货？（3分）7．（10分·较难）某商店要向两个车间订购600件同款商品。甲车间最多可供400件，单价45元／件，无批量优惠。乙车间单件50元，但一次订货达到300件及以上时，这批货整体按47元／件结算（不足300件仍按50元／件）。设向甲车间订x件。图中数字为题设的供货上限、单价与乙车间的批量门槛。（1）写出总货款Q（元）关于x的表达式（按乙车间是否达到300件分两种情况），并求x的取值范围；（3分）（2）求总货款最低的订购方案与最低总货款；（4分）（3）若乙车间的批量门槛提高到350件，其余条件不变，最低总货款是多少？此时向甲、乙各订多少件？（3分）8．（12分·压轴）甲仓库有货45吨，乙仓库有货35吨；A店需50吨，B店需30吨，两仓的货要全部运出。各线路运距为：甲→A20千米，甲→B30千米，乙→A40千米，乙→B10千米；运费一律0.5元／（吨·千米）。设甲仓运往A店x吨。方框内数字为该线路的运距（千米），运量需自行安排。（1）用含x的式子分别表示甲→B、乙→A、乙→B三条线路的运量，并求x的取值范围；（4分）（2）写出总运费W（元）关于x的表达式，求总运费最低的调运方案与最低总运费；（4分）（3）若计费规则改为「每吨每千米0.5元，但单条线路运距超过25千米的部分按0.4元／（吨·千米）」，其余条件不变，重新求最低总运费与调运方案。（4分）9．（12分·压轴）甲仓库有货50吨，乙仓库有货30吨；A店需35吨，B店需45吨，两仓的货要全部运出。各线路每吨运费为：甲→A6元，甲→B7.5元，乙→A8元，乙→B4.8元。设甲仓运往A店x吨。方框内数字为该线路每吨运费（元），运量需自行安排。（1）用含x的式子分别表示甲→B、乙→A、乙→B三条线路的运量，并求x的取值范围；（4分）（2）写出总运费W（元）关于x的表达式，求总运费最低的调运方案与最低总运费；（4分）（3）若甲→A这条线路的运价由6元涨到12元、其余线路运价不变，重新求最低总运费与调运方案，并说明为什么调运方向会反过来。（4分）10．（12分·压轴）甲仓库有货40吨，乙仓库有货60吨；A店、B店各需50吨，两仓的货要全部运出。各线路每吨运费为：甲→A6元，甲→B12元，乙→A5元，乙→B9元。设甲仓运往A店x吨。方框内数字为该线路每吨运费（元），运量需自行安排。（1）用含x的式子分别表示甲→B、乙→A、乙→B三条线路的运量，并求x的取值范围；（4分）（2）写出总运费W（元）关于x的表达式，求总运费最低的调运方案与最低总运费；（4分）（3）有人主张「就近调入」：乙仓把50吨全部给A店，甲仓40吨全部给B店，乙仓剩下的再补给B店。请算出这一方案的总运费，与②中的最低总运费比较并说明差额的来源；若甲仓只有25吨、乙仓有75吨，重新求最低总运费与调运方案。（4分）—题目到此结束·参考答案与速解技巧见下页—参考答案与速解技巧D06-07·最优分配与运输｜苏科版（2024）七年级上册·第4章一元一次方程第1题（8分·中档）【标准解答】（1）甲线产x台，乙线产300−x台。C=1200+8x+2000+5(300−x)=4700+3x。由0≤x≤180且0≤300−x≤200，得100≤x≤180。（2）C=4700+3x中x的系数3>0，故x越小总成本越低。x取最小值100时，C=4700+300=5000（元）。方案：甲线生产100台，乙线生产200台，最低总成本5000元。（3）只用甲线：1200+8×180=2640（元）；只用乙线：2000+5×180=2900（元）；两线同时开工时x只能取180，C=4700+540=5240（元）。三种做法中只用甲线的2640元最省。【速解技巧】把两条线的费用先合并成一条关于x的一次函数，再看x的系数符号定增减：系数为正就压到下限，为负就顶到上限。本题下限100不是0，是由「乙线最多200台」倒推出来的，这是最容易漏的一步。第2题（8分·中档）【标准解答】（1）W=18x+12(200−x)=2400+6x。由0≤x≤160且0≤200−x≤120，得80≤x≤160。（2）W=2400+6x中x的系数6>0，故x取最小值80时W最小：2400+480=2880（元）。方案：甲仓发80吨，乙仓发120吨，最低总运费2880元。（3）乙仓只剩90吨，则200−x≤90，即x≥110，仍有x≤160，故110≤x≤160。x取110时W=2400+660=3060（元）。方案：甲仓发110吨，乙仓发90吨。【速解技巧】谁便宜就让谁多供，但「多供」的天花板是它的存量。先算「便宜一方供满后的缺口」，缺口就是贵的一方的下限——本题200−120=80，一步到位。第3题（8分·中档）【标准解答】（1）T=480y+350(240−15y)÷10。因每辆车都装满，240−15y必须是10的倍数，即15y的个位为0，所以y只能取偶数：y=0,2,4,6,8,10（同时满足y≤10与15y≤240）。tidy后T=8400−45y。（2）T=8400−45y中y的系数−45<0，y越大越省。y取最大值10时，用车10辆、小车(240−150)÷10=9辆，T=4800+3150=7950（元），为最低总运费。（3）大车560元时T=560y+350(240−15y)÷10=8400+35y，y的系数35>0，y越小越省，取y=0：全部用小车24辆，T=8400（元）。此时大车一辆也不用。【速解技巧】先判断「装满」带来的整数约束：y必须是偶数，可行点直接砍掉一半。再比单车单价——大车480÷15=32元／吨，小车35元／吨，大车便宜，所以要尽量用满10辆；一旦大车涨到560元（约37.3元／吨）就比小车贵，结论立刻反转。第4题（10分·较难）【标准解答】（1）甲供x吨，乙供90−x吨。吨数须为10的倍数，故x是10的倍数；又0≤x≤40、0≤90−x≤70，得20≤x≤40，即x=20,30,40。F=2448x+2724(90−x)+200×[(x+90−x)÷10]=245160−276x+1800=246960−276x。（2）共运90吨、每车10吨，总车数恒为9辆，过路费总额恒为1800元，与怎么分配无关。F=246960−276x中x的系数−276<0，x越大越省，取x=40：F=97920+136200+1800=235920（元）。方案：甲厂供40吨（4车），乙厂供50吨（5车），最低总费用235920元。（3）过路费涨到每车300元，总额变为9×300=2700元，仍是固定数，只整体抬高，不改变x的系数，故最省方案不变，仍为甲40吨、乙50吨；F=97920+136200+2700=236820（元）。【速解技巧】与运量无关的固定费用（过路费、起步费）先摘出来单独算，别混进每吨单价里比。本题276元／吨的价差×10吨=2760元，远大于每车200元的过路费差，所以永远是「多用便宜的那一家」。第5题（10分·较难）【标准解答】（1）甲供x吨，乙供100−x吨。由0≤x≤60、0≤100−x≤80，得20≤x≤60。乙的货款分段：当20≤x≤50时乙供≥50，P=760x+800×50+700(50−x)=75000+60x；当50≤x≤60时乙供≤50，P=760x+800(100−x)=80000−40x。（2）前一段P=75000+60x递增，最小值在x=20，P=76200；后一段P=80000−40x递减，最小值在x=60，P=77600。两段比较，最低总货款76200元。方案：甲供20吨，乙供80吨（其中50吨按800元、30吨按700元）。（3）乙供满80吨即x=20，正是（2）的最省方案，P=76200元，并没有多花。真正的陷阱在另一端：若让甲只供50吨、乙供50吨，P=78000元；让甲供60吨、乙供40吨，P=77600元，都比76200元贵。原因是乙的「低价」只作用于超过50吨的那30吨，为多拿这30吨的低价，必须把原来760元／吨的份额让给乙800元／吨的部分，一升一降并不划算。【速解技巧】分段计价必须先分段、再在每段内单独求最小，最后跨段比较——不能用一个式子从头算到尾。判断「低价段是否值得争取」的方法是：算边际价，本题乙的边际价在50吨以内是800元，高于甲的760元，所以乙的份额不该扩大。第6题（10分·较难）【标准解答】（1）S=15(50−b)+9b=750−6b。约束：0≤50−b≤45得b≥5；0≤b≤40；且b≠0时必须b≥25。故b的取值为b=0或25≤b≤40。（2）S=750−6b中b的系数−6<0，b越大越省，b取40：S=15×10+9×40=510（元）。方案：乙处调40吨，甲处调10吨，最低总费用510元。（3）需30吨时S=450−6b，b的取值为b=0或25≤b≤30。b=0时S=450元；b=30时S=0+270=270（元）。最低270元，此时甲处一吨也不用。【速解技巧】「不满25吨不发车」是一条离散门槛，把可行区间劈成两段：一段是0，一段是[25,上限]。分别算两个端点、取小的即可，不要以为b可以随便取1、2、3。乙的单价9元低于甲15元，只要跨过门槛就值得用满。第7题（10分·较难）【标准解答】（1）向甲订x件，向乙订600−x件。由0≤x≤400、0≤600−x≤400，得200≤x≤400。当200≤x≤300（乙≥300件）时Q=45x+47(600−x)=28200−2x；当300≤x≤400（乙不足300件）时Q=45x+50(600−x)=30000−5x。（2）前一段Q=28200−2x递减，x=300时Q=27600；后一段Q=30000−5x递减，x=400时Q=29000。两段比较，最低总货款27600元。方案：甲300件、乙300件（乙恰好达到300件的门槛）。（3）门槛提高到350件后，乙达标的区间变为200≤x≤250：Q=28200−2x，最小在x=250，Q=27700（元）；乙不达标的区间250≤x≤400：Q=30000−5x，最小在x=400，Q=29000（元）。故最低总货款27700元，方案为甲250件、乙350件。【速解技巧】批量的「门槛」是分段的刀口，最优解几乎总落在刀口上——因为刀口左侧能拿到低单价，右侧又少付了贵的一方的量。算出刀口对应的x（本题600−300=300、600−350=250），直接代进去比，比穷举快得多。第8题（12分·压轴）【标准解答】（1）甲→A为x吨，则甲→B为45−x吨；A店还缺50−x吨，由乙仓补，即乙→A为50−x吨；B店还缺30−(45−x)=x−15吨，由乙仓补，即乙→B为x−15吨。约束：0≤x≤45、x−15≥0、50−x≥0、x−15≤35，得15≤x≤45。（2）每吨运费：甲→A20×0.5=10，甲→B30×0.5=15，乙→A40×0.5=20，乙→B10×0.5=5。W=10x+15(45−x)+20(50−x)+5(x−15)=1600−20x。x的系数−20<0，取x=45：W=1600−900=700（元）。方案：甲→A45吨、甲→B0吨、乙→A5吨、乙→B30吨，最低总运费700元。（3）超过25千米的部分按0.4元计：甲→A20千米不超标，每吨10元；甲→B30千米，每吨0.5×25+0.4×5=14.5元；乙→A40千米，每吨0.5×25+0.4×15=18.5元；乙→B10千米，每吨5元。W=10x+14.5(45−x)+18.5(50−x)+5(x−15)=1502.5−18x。取x=45：W=1502.5−810=692.5（元）。方案不变，仍为甲→A45吨、乙→A5吨、乙→B30吨。【速解技巧】四线调运只要设一个未知数，其余三条线由「存量守恒、需求守恒」自动写出：某仓总量减去已分配的就是剩的，某店总量减去已到的就是缺的。再把每条线的「量×每吨运费」加起来，必然化成一元一次函数，看斜率定方向即可。第9题（12分·压轴）【标准解答】（1）甲→A为x吨，则甲→B为50−x吨；A店还缺35−x吨，即乙→A为35−x吨；B店还缺45−(50−x)=x−5吨，即乙→B为x−5吨。约束：0≤x≤50、35−x≥0、x−5≥0、x−5≤30，得5≤x≤35。（2）W=6x+7.5(50−x)+8(35−x)+4.8(x−5)=631−4.7x。x的系数−4.7<0，取x=35：W=631−164.5=466.5（元）。方案：甲→A35吨、甲→B15吨、乙→A0吨、乙→B30吨，最低总运费466.5元。（3）甲→A涨到12元后，W=12x+7.5(50−x)+8(35−x)+4.8(x−5)=631+1.3x。x的系数+1.3>0，取x=5：W=631+6.5=637.5（元）。方案变为甲→A5吨、甲→B45吨、乙→A30吨、乙→B0吨。方向反转的原因：涨价前甲→A的6元与乙→B的4.8元是一对「对角低价」，把甲尽量塞给A可以同时省下乙→A的8元；涨价后甲→A变成12元，成为四条线里最贵的一条，原来越多越省的方向就翻成了越多越贵。【速解技巧】调运题的最优解由「两条对角线的价差」决定：把量分给价差有利的那条对角线。涨价、换价之后先重算斜率符号，符号一变方向就反，不要沿用上一问的结论。第10题（12分·压轴）【标准解答】（1）甲→A为x吨，则甲→B为40−x吨；A店还缺50−x吨，即乙→A为50−x吨；B店还缺50−(40−x)=x+10吨，即乙→B为x+10吨。约束：0≤x≤40、50−x≥0、x+10≤60，得0≤x≤40。（2）W=6x+12(40−x)+5(50−x)+9(x+10)=820−2x。x的系数−2<0，取x=40：W=820−80=740（元）。方案：甲→A40吨、甲→B0吨、乙→A10吨、乙→B50吨，最低总运费740元。（3）「就近调入」方案为乙→A50吨、甲→B40吨、乙→B10吨，运费=5×50+12×40+9×10=250+480+90=820（元），比最低的740元多80元。差额来自甲→B的12元：这条线是四线中最贵的一条，就近方案恰恰让它承担了40吨；把它换成0吨、改由乙→B（9元）多运40