2026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷二（北京市人教A版适用 ）

2026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷二（北京市人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l的一个方向向量为1,−3，则它的倾斜角为（

A．30∘ B．150∘ C．120∘2．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AAA．a+12C．−a+13．已知F1，F2分别是椭圆E：x24+y23=1A．4 B．23 C．2 D．4．已知a=3,1,0，b=−2,0,0A．30° B．60°C．150° D．120°5．过点P(2,−1)且与点A(1,2)、B(4,3)距离相等的直线方程为（

）A．x−3y−5=0或7x−y−15=0 B．x−3y−5=0C．7x−y−15=0 D．x−3y−5=0或x+7y+5=06．若方程x25−m+y2m−1=1A．3,5 B．1,5 C．1,3 D．3,57．已知O为坐标原点，Q(0,23)，A，B两点在单位圆x2+y2=1上，满足∠AOB=π3，以线段OAA．23 B．15 C．1+23 8．已知三棱锥A−BCD的所有棱长均为2，E为BD的中点，空间中的动点P满足PA⊥PE，PC⊥AB，则动点P的轨迹长度为（

）A．11π4 B．11π2 C．9．下列说法错误的是（

）.A．直线xsinα+y+2=0的倾斜角θB．若圆M:x−42+y−42=C．“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”是“D．过点P1,2且在x轴，y轴上的截距互为相反数的直线方程是x−y+1=0或10．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆A．0,17 B．0,67 C．第二部分（非选择题共110分）填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．以下四个命题中，说法正确的有__________．（填入所有正确序号）①若任意向量a，b共线，则必存在唯一实数λ使得②若向量组{a,b③所有的平行向量都相等；④△ABC是直角三角形的充要条件是AB⋅12．过点0,2且与直线y=x平行的直线的方程为______．13．直线l1：2x−2y+3=0与直线l2：x−y−314．若实数x，y满足x2+y2=1，则x2+2y15．椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是__________；若△ABF2的内切圆的面积为解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）（已知点A1,1，B−1,3，直线(1)若直线l2经过点B，且l2∥(2)若直线l3是线段AB的垂直平分线，求直线l(3)若圆C经过A，B两点，且圆心C在x轴上，求圆C的方程.17．（13分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点(1)求证：AA(2)求线段AO的长度.18．（14分）已知椭圆C:x24+y(1)若F2为右焦点，求△AB(2)若直线AB的倾斜角为π4，求线段AB19．（15分）已知圆C:x2+(1)如果圆C与圆x2+y(2)如果直线x+y−3=0与圆C相交所得的弦长为27，求m20．（15分）（已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率(1)求椭圆E的标准方程；(2)当k为何值时，OM221．（15分）（如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，BC=B

(1)求证：AB⊥平面AA(2)求直线BC1与直线(3)求平面A1BB2026-2027学年高二数学上学期期中考试仿真模拟卷二（北京市人教A版适用）范围：高中数学人教A版选择性必修一前两章+椭圆（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项:答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若直线l的一个方向向量为1,−3，则它的倾斜角为（

A．30∘ B．150∘ C．120∘【答案】C【分析】求出该直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系可得出直线l的倾斜角.【详解】设直线l的倾斜角为α，则0∘因为直线l的一个方向向量为1,−3，则该直线的斜率为tanα=−3故选：C.2．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若AAA．a+12C．−a+1【答案】C【详解】由题意可知，在平行六面体ABCD−A1B1C1D根据向量加法的三角形法则，可得：D1因为D1又因为M是平行四边形ABCD对角线AC与BD的交点，所以M为BD的中点，则DM→在△ABD中，DB→=综上所述，D13．已知F1，F2分别是椭圆E：x24+y23=1A．4 B．23 C．2 D．【答案】A【分析】利用椭圆的定义可求答案.【详解】因为椭圆E：x24+y23=1所以PF故选：A4．已知a=3,1,0，b=−2,0,0A．30° B．60°C．150° D．120°【答案】C【分析】利用空间向量的夹角公式求出cosa,b【详解】由题意可得cosa因为0∘≤a5．过点P(2,−1)且与点A(1,2)、B(4,3)距离相等的直线方程为（

）A．x−3y−5=0或7x−y−15=0 B．x−3y−5=0C．7x−y−15=0 D．x−3y−5=0或x+7y+5=0【答案】A【详解】直线AB的斜率为3−24−1则过点P且与直线AB平行的直线方程为y+1=13x−2线段AB的中点为Q5则直线PQ的斜率为52+152−2即7x−y−15=0，故符合题意的方程为x−3y−5=0或7x−y−15=06．若方程x25−m+y2m−1=1A．3,5 B．1,5 C．1,3 D．3,5【答案】D【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可【详解】m−1>5−m>0，解得3<m<5，所以m的取值范围是3,5.故选：D.7．已知O为坐标原点，Q(0,23)，A，B两点在单位圆x2+y2=1上，满足∠AOB=π3，以线段OAA．23 B．15 C．1+23 【答案】D【分析】由题意求出OP得到点P在以O为圆心、半径为3的圆上即可计算求解.【详解】由题可知以线段OA，OB为邻边所作的平行四边形AOBP是边长为1的菱形，∠AOB=π所以OP=2所以点P在以O为圆心，半径为3的圆上，所以|PQ|的最大值为OQ+故选：D

8．已知三棱锥A−BCD的所有棱长均为2，E为BD的中点，空间中的动点P满足PA⊥PE，PC⊥AB，则动点P的轨迹长度为（

）A．11π4 B．11π2 C．【答案】C【分析】根据题意建系，求出相关点的坐标，由PA⊥PE，PC⊥AB推得动点P的轨迹为球H被平面x−y=0截得的圆，利用点到平面的距离公式与垂径定理计算即得.【详解】如图建立空间直角坐标系O−xyz，取A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),D(1,1,1)，则三棱锥A−BCD的棱长均为2，符合题意.因点E为BD的中点，则E(12,1,因PA⊥PE，则点P在以AE为直径的球H的球面上，故球心为H(34,又因PC⊥AB，则PC⃗即点P又在平面x−y=0上，故点P的轨迹为球H被平面x−y=0截得的圆.因球心H(34,12则截面圆的半径为r=R故动点P的轨迹为截面圆的周长，即2π9．下列说法错误的是（

）.A．直线xsinα+y+2=0的倾斜角θB．若圆M:x−42+y−42=C．“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”是“D．过点P1,2且在x轴，y轴上的截距互为相反数的直线方程是x−y+1=0或【答案】C【分析】根据直线倾斜角的范围、两圆的位置关系、两直线垂直的条件以及截距的定义逐项判断即可.【详解】A：因为直线xsinα+y+2=0的斜率为所以倾斜角满足tanθ∈−1,1且直线倾斜角的范围为0,πB：由题意，圆M是以M4,4为圆心，半径为r的圆，圆N是以N两圆圆心距为d=4−1由于圆M上恰有两点到N的距离为1，即两圆有且仅有两个公共点，所以r−1<5<r+1，解得4<r<6C：当a=0时，直线y=1与直线x=2互相垂直，当a≠0时，直线a2x−y+1=0的斜率为a2，直线x−ay−2=0要使得两直线互相垂直，则a2·1所以直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直是D：当直线与x,y轴的截距不为0时，设直线方程为xa将点P1,2代入得1a−2a当直线与x,y轴的截距为0时，也满足题意，此时斜率为2−01−0所以此时直线方程为y−2=2x−1，即2x−y=0故选：C.10．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为x2+y2=a2+b2.已知椭圆A．0,17 B．0,67 C．【答案】D【分析】分析可知，直线x−3y−8=0与圆x2+y【详解】由题意可知m>2，圆x2+y因为A、B为椭圆E上任意两点，动点P满足∠APB恒为锐角，则点P在圆x2又因为动点P在直线x−3y−8=0上，则直线x−3

所以，−812+则e2=c因此，椭圆E的离心率的取值范围是0,42故选：D.第二部分（非选择题共110分）填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11．以下四个命题中，说法正确的有__________．（填入所有正确序号）①若任意向量a，b共线，则必存在唯一实数λ使得②若向量组{a,b③所有的平行向量都相等；④△ABC是直角三角形的充要条件是AB⋅【答案】②【分析】对于①，利用向量共线的充要条件即可求解；对于②，利用空间向量的基本定理即可求解；对于③，利用向量平行的定义即可求解；对于④，利用向量垂直的条件及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】对于①，根据共线的充要条件知，应该强调b≠对于②，因为向量组{a,b,c}是空间的一个基底，所以a,b,c三个向量不共面，假设存在实数对于③，0与任意向量平行，故③错误；对于④，当AB⋅AC=0时，∠A=90∘，故△ABC是直角三角形，反之△ABC是直角三角形，则∠A,∠B,∠C中有一个角为直角，即AB⋅AC=0，故答案为：②.12．过点0,2且与直线y=x平行的直线的方程为______．【答案】x−y+2=0【分析】由题意可得所求直线的斜率为1，进而结合点斜式求解即可.【详解】因为直线y=x的斜率为1，则所求直线的斜率为1，所以所求直线的方程为y−2=x，即x−y+2=0.故答案为：x−y+2=0.13．直线l1：2x−2y+3=0与直线l2：x−y−3【答案】3【分析】利用平行直线之间的距离公式可得答案.【详解】直线l1：2x−2y+3=0，则直线l1：则直线l1与直线l2之间的距离14．若实数x，y满足x2+y2=1，则x2+2y【答案】−22+2/【分析】由题意知x2+2y=−y【详解】由x2+y则x2是关于y的一元二次函数，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为y=1，所以(x由x2+y2=1，知点A(x,y)x−y+22的几何意义是动点A（即圆上一点）到直线x−y+2则动点A到直线x−y+2距离的最大值d1为圆心(0,0)到直线x−y+2再加半径r，即d1因此x−y+22的最大值为2+1，故x−y+2的最大值为故答案为：−2；2+15．椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长是__________；若△ABF2的内切圆的面积为【答案】168【分析】根据椭圆的定义求出△ABF2的周长，再由△ABF2内切圆的面积求出内切圆的半径，从而求出【详解】解：因为椭圆方程为x216+y29=1，所以a=4根据椭圆的定义AF1+∵AF∴△ABF2的周长为因为△ABF2的内切圆的面积为π，所以△ABF所以S△AB又S△AB∴y2故答案为：16；87解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（13分）（已知点A1,1，B−1,3，直线(1)若直线l2经过点B，且l2∥(2)若直线l3是线段AB的垂直平分线，求直线l(3)若圆C经过A，B两点，且圆心C在x轴上，求圆C的方程.【答案】(1)2x+y−1=0(2)x−y+2=0(3)x+2【分析】（1）根据两直线平行设出所求直线方程，代入点的坐标即可求解；（2）求出两点中点坐标及过两点直线的斜率，可得所求直线斜率及所过点，即可得解；（3）由题意设出所求圆的方程，代入点的坐标求解即可.【详解】（1）因为l2∥l1，所以设直线又直线过点B−1,3所以2×−1+3+c=0，解得所以直线l2的方程为（2）因为点A1,1，B−1,3的中点为kAB所以直线l3的方程为y−2=x，即x−y+2=0（3）设所求圆的方程为x−a2则1−a2+1所以圆C的方程为x+2217．（13分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1与B1C相交于点(1)求证：AA(2)求线段AO的长度.【答案】(1)证明：在三棱柱ABC−A1B1C1中，由得AA则AA1⋅所以AA(2)292【分析】（1）利用空间向量数量积计算得证.（2）利用空间向量基本定理，得到AO=【详解】（1）略（2）三棱柱ABC−A1B1C1中，由BC1∩BO=则AO=|=1所以线段AO的长度为29218．（14分）已知椭圆C:x24+y(1)若F2为右焦点，求△AB(2)若直线AB的倾斜角为π4，求线段AB【答案】(1)8(2)24【分析】（1）直接画出图形结合椭圆的定义即可求解.（2）由题意结合左焦点F1的坐标以及直线AB的倾斜角为π4，可得直线【详解】（1）由题意a=2，由椭圆定义有AF所以△ABF2的周长为（2）设Ax由题意直线AB的斜率为k=tanπ4=1，所以直线AB的方程为y=x+1，将它与椭圆方程x24+消去y并化简整理得7x显然Δ>0，由韦达定理得x所以线段AB的长为AB=

19．（15分）已知圆C:x2+(1)如果圆C与圆x2+y(2)如果直线x+y−3=0与圆C相交所得的弦长为27，求m【答案】(1)9(2)10【分析】（1）根据圆的标准方程和圆的一般方程，再利用两圆相外切的条件即可求解；（2）根据圆的一般方程及点到直线的距离公式，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系即可求解.【详解】（1）将圆C的方程配方，得(x−3)2所以圆C的圆心为(3,4)，半径r=25−m因为圆C与圆x2+y2=1相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即所以m的值为9.（2）由（1）知，圆C的圆心为(3,4)，半径r=25−m圆C的圆心到直线x+y−3=0的距离d=|3+4−3|因为直线x+y−3=0与圆C相交所得的弦长为27由垂径定理，可得r2=25−m=(22所以m的值为10.20．（15分）（已知椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率(1)求椭圆E的