2026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷一（全国Ⅰ卷地区适用 ）

2026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷一（全国Ⅰ卷地区适用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=xx3=x，B=sinA．−1,0 B．0,1 C．−1,0,1 D．−1,12．若复数z满足z+1z=1−i，则z=A．i B．−i C．1 D．3．已知圆x2+y−2a2=b2与双曲线C:y2A．2 B．3 C．2 D．54．已知向量a，b均为单位向量，则a+2b的取值范围是（A．1,3 B．3,3 C．1,5 5．已知m>0，则“圆C:x2+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数fx=sinωx+π6ω>0，且满足fπ2A．−π B．0 C．3π47．若函数fx的最小正周期为3，且f2x在3,4上有5个零点，且当x∈Z时，fx≠0，则A．9 B．10 C．11 D．128．已知函数fx=3xlnx+2,x>0−bx2−2x−2,x≤0，若存在正实数x1，A．−∞,3eC．0,e D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列ann=1,2,⋯,7，则下列说法正确的是（A．aB．设bn=log2C．从数列anD．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种10．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A．直线BC与AD所成的角为90°B．直线AB与AD所成的角为60°C．直线CA1与平面BD．直线CD与平面AA111．已知点F是抛物线Γ∶y2=4x的焦点，AB、CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k>0，C，A两点在x轴上方，则（A．抛物线Γ的焦点到准线的距离为2B．OAC．1ABD．若AF⋅BF=16，则直线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某无人机的研发费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：研发费用x44.555.56销售量y1518.51919.523已知一个经验回归方程为y=9513．若数列an满足1an+1−1an=d（n∈N∗，d为常数），则称数列14．当前AI数据分析技术已在职业体育赛事中广泛应用，可用于选手状态评估､战术效果预测､赛事胜负关联分析等，极大提升了赛训决策的科学性.某电竞俱乐部用AI分析季后赛胜率关联，记事件A：我方战队选出核心英雄，事件B：我方战队拿下本局比赛胜利.已知PA=0.3,PB=0.4,P四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，AC=2．点O为AC(1)证明：AC⊥平面BOD；(2)若异面直线AB与CD所成的角为60°，求四面体ABCD的体积．16．（15分）著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为m1，m2（单位：千克）的物体间的距离为r（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力F（单位：牛），且F=Gm1m(1)从六个小球中任选两个．（i）求这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率；（ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为X，求X的分布列与期望．(2)从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为Y，比较Y的期望与（ii）中X的期望的大小．E(X)=17．（15分）在△ABC中，A=2π3，D为BC(1)若AB=3，AC=2，求BD;(2)若AD=3，求△ABC面积的最小值.18．（17分）已知双曲线C:x2a2−(1)求曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的动直线l与曲线C交于P，Q两点，且QF=λFP(λ≥1)，直线PO与曲线C（i）当λ=2时，求直线l的方程；（ii）求四边形QROF的面积的取值范围．19．（17分）已知函数fx=116(x−a)(1)求a的值；(2)已知Pn为y=fx图像上的点，过Pn作y轴的垂线交直线y=x于点Qn，再过Qn作x轴的垂线与y=fx图像交于点Pn+1（i）求an（ii）若Tn=a1−4a22026-2027学年高三数学上学期期中考试模拟卷一（全国Ⅰ卷地区适用）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A=xx3=x，B=sinA．−1,0 B．0,1 C．−1,0,1 D．−1,1【答案】D【详解】A=x因为sin270°=sin180°+90°所以B=−1,1,所以A∩B=−1,12．若复数z满足z+1z=1−i，则z=A．i B．−i C．1 D．【答案】A【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果.【详解】由z+1z=1−i可得z+1=z1−i则z=−3．已知圆x2+y−2a2=b2与双曲线C:y2A．2 B．3 C．2 D．5【答案】C【分析】先确定圆的圆心与半径，写出焦点在y轴的双曲线的渐近线方程，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径建立等式，求出a,b的关系，再结合双曲线c2【详解】圆的标准方程为x2+(y−2a)2=焦点在y轴上的双曲线y2a2整理为一般式为ax±by=0．直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，由点到直线距离公式，圆心(0,2a)到渐近线ax±by=0的距离：d=|a⋅0±b⋅2a|a2+b因为b>0，等式两边同时除以b，得2aa两边平方：4a2a2+由双曲线关系式c2=a2+故c=2a，离心率e=c4．已知向量a，b均为单位向量，则a+2b的取值范围是（A．1,3 B．3,3 C．1,5 【答案】A【分析】利用向量的数量积的运算律将目标向量的模展开，结合向量数量积的定义求出夹角余弦值的范围，继而求出模的范围.【详解】因a+2而a⋅故a+25．已知m>0，则“圆C:x2+y2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合圆C不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出m的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为圆C:x所以圆C:(x−3)2+(y−4)2因为半径r>0，所以36−m2>0解得−6<m<6，又因为m>0，所以0<m<6，若圆C不经过第四象限，则圆心到x轴的距离4要大于等于半径r，即36−m2≤4，移项可得：m2≥36−16=20又因为0<m<6，可得25≤m<6，所以可推出所以25≤m<6是当3<m<6时，不满足25≤m<6，所以25综上，圆C不经过第四象限是3<m<6的充分不必要条件.6．已知函数fx=sinωx+π6ω>0，且满足fπ2A．−π B．0 C．3π4【答案】D【分析】根据条件，利用正弦函数的性质，求出ω，从而得到fx【详解】因为fπ2+x=fπ所以π2ω+π又fx在区间0,π2上具有单调性，且ω>0，则π所以ω=23，fx=sin23x+π若fx≥0，则fx=1解得x=3kπ,k∈Z或x=π+3kπ,k∈故方程fx+fx=17．若函数fx的最小正周期为3，且f2x在3,4上有5个零点，且当x∈Z时，fx≠0，则A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由题意可得fx在8,16上有5个零点，再结合函数周期性可得fx在8,11,11,14,14,16上的零点个数分别为【详解】当x∈3,4时，2x∈8,16，则fx又函数fx的最小正周期为3，则fx在且fx在14,16上的零点个数小于或等于fx在故fx在8,11,11,14当x∈4,5时，2fx在17,20,20,23,23,26,26,29即fx在16,32上共有11个零点，故f2x在4,58．已知函数fx=3xlnx+2,x>0−bx2−2x−2,x≤0，若存在正实数x1，A．−∞,3eC．0,e D．【答案】D【分析】直接将原问题转化为函数gt=3lnt+2【详解】设正实数t>0，由题意ft当t>0时，−t<0，因此：ft得：3tlnt+2−bt2+2t−2=0所以原问题等价于：方程b=3即函数gt=3对函数gt=3令g′t=0，得ln当0<t<e13时，g当t>e13时，g所以t=e13是函数g当t→0+时，lnt→−当t→+∞时，lnt的增长远慢于t，所以要使函数gt=3lnt+2因此实数b的取值范围为0,3e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列ann=1,2,⋯,7，则下列说法正确的是（A．aB．设bn=log2C．从数列anD．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种【答案】ABD【详解】由题意得，an是等比数列，公比q=2，项数n=7，前7项和S等比数列求和公式：S7解得a1bn=logT7=7b1即T7an是等比递增数列，公比q>1假设存在三项ai，aj，aki<j<k2⋅3⋅2j−1=3⋅右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾，故C错误；求两层灯数乘积>1000的组合，数列；an若两项中有一个为192：192×96=18432>1000，192×48=9216>1000，192×24=4608>1000，192×12=2304>1000，192×6=1152>1000，192×3=576<1000，有5种；两项中有一个为96：：96×48=4608>1000，96×24=2304>1000，96×12=1152>1000，96×6=576<1000，有3种；两项中有一个为48：：48×24=1152>1000，有1种；合计9种，故D正确.10．在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A．直线BC与AD所成的角为90°B．直线AB与AD所成的角为60°C．直线CA1与平面BD．直线CD与平面AA1【答案】AC【分析】通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线所成角、线面角，逐项判断选项正误.【详解】取BC中点O，连接OD，OA，因为D为B1由题可得OD⊥平面ABC，且BC,OA⊂平面ABC，所以OD⊥BC，OD⊥OA.因为△ABC是等边三角形，O为BC中点，所以BC⊥OA.以OC为x轴正方向，OA为y轴正方向，OD为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系O−xyz，则A0620，B−22,0,0，C对于A，BC=200，所以BC⊥AD，故直线BC与直线AD所成的角为90°对于B，设直线AB与直线AD所成的角为θ，AB=−22,−6AB=−2所以cosθ=AB⋅ADABAD=对于C，平面BB1C1C线面角α满足sinα=CA对于D，设平面AA1C由题可得CC1=00联立CC得y=令x=1，则m=线面角β满足sinβ=CD⋅11．已知点F是抛物线Γ∶y2=4x的焦点，AB、CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k>0，C，A两点在x轴上方，则（A．抛物线Γ的焦点到准线的距离为2B．OAC．1ABD．若AF⋅BF=16，则直线【答案】ACD【分析】设点A，点B的坐标分别为Ax1,y1，B【详解】由抛物线Γ的方程为y2=4x，⇒p=2，⇒抛物线Γ的焦点到准线的距离为如图所示；由题知点F的坐标为Fp2,0，⇒点F的坐标为F1,0，⇒直线设点A，点B的坐标分别为Ax1,y1⇒k2x2−2∵y1OA⋅由过焦点的弦长公式得AB=∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为−1k，同理推出⇒1AB∵AF=x1+p2=⇒1+2k2+4k2+1=16，⇒k2=13，由k>0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．某无人机的研发费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：研发费用x44.555.56销售量y1518.51919.523已知一个经验回归方程为y=95【答案】2.2/11【分析】先计算样本中心点，代入经验回归方程求得参数a，再计算第5个样本点的预测值，结合残差定义求解即可【详解】由已知，得x=所以a=y−当x=6时，y=因此，第5个样本点对应的残差为e=13．若数列an满足1an+1−1an=d（n∈N∗，d为常数），则称数列【答案】9【详解】因为数列1xn2为调和数列，所以x由x12+所以x22+所以x2x2025≤405由于x2当且仅当x2=x2025=14．当前AI数据分析技术已在职业体育赛事中广泛应用，可用于选手状态评估､战术效果预测､赛事胜负关联分析等，极大提升了赛训决策的科学性.某电竞俱乐部用AI分析季后赛胜率关联，记事件A：我方战队选出核心英雄，事件B：我方战队拿下本局比赛胜利.已知PA=0.3,PB=0.4,P【答案】0.65/13【分析】先利用全概率公式P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣A)P(A)【详解】由全概率公式得P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣A∴0.4=P(B∣A)×0.3+0.2×(1−0.3)∴0.4=0.3PB∣A+0.14，解得∴P四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，AC=2．点O为AC(1)证明：AC⊥平面BOD；(2)若异面直线AB与CD所成的角为60°，求四面体ABCD的体积．【答案】(1)连接DO,BO.在等腰三角形ABC中，O为底边AC的中点，故BO⊥AC．同理DO⊥AC．因BO，DO是平面BOD内两条相交直线，故AC⊥平面BOD．(2)1【分析】（1）由等腰三角形的性质及线面垂直的判定定理可得；（2）建立空间直角坐标系，根据题意求得D的坐标，结合（1）的结论由VABCD=1【详解】（1）略（2）由（1）得OA⊥OB，OA⊥OD，且OB=OD=1．以O为原点，OA，OB所在直线分别为x，y轴，过O且垂直平面AOB的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因OA⊥OD，故D在yOz平面内，设D0,u,v，其中u又A1,0,0，B0,1,0，C−1,0,0，于是AB（OA，OB与垂直平面AOB的方向依次为x，y，z轴）由AB，CD所成角为60°，得AB⋅即u−1=1，故u=0（u=2舍去），v=±1．于是D落在z轴上，OB⊥OD，S四面体由以△BOD为公共底面的两个三棱锥组成，故VABCD=116．（15分）著名物理学家牛顿提出万有引力定律：两个质量分别为m1，m2（单位：千克）的物体间的距离为r（单位：米），则这两个物体之间存在相互吸引的万有引力F（单位：牛），且F=Gm1m(1)从六个小球中任选两个．（i）求这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率；（ii）记这两个小球之间的万有引力的大小为X，求X的分布列与期望．(2)从这六个小球中随机地去掉一个，其余五个小球的位置不变，并从这五个小球中任选两个，记这两个小球之间的万有引力的大小为Y，比较Y的期望与（ii）中X的期望的大小．【答案】(1)（i）2（ii）XGGGP221E(X)=(2)E(X)=E(Y)【分析】（1）正六边形6顶点，先枚举全部两点弦长，分类算出引力取值、对应对数，求分布列与期望；（2）利用对称性，固定去掉其中一个小球，枚举剩下5个点全部10组点对，按距离分成三类，算出对应引力的概率,代入期望公式算出Y期望，再和X期望对比大小.【详解】（1）（ⅰ）因为m1=m2=1从六个小球中任选两个，共有C6其中这两个小球之间的距离为1米的选法有6种，故这两个小球之间的万有引力的大小为G的概率为615（ⅱ）由题可知，任意两个小球之间的距离可能为1，3，2，则X的可能取值为G,G3,G4，且P(X=G)=25，X的分布列为XGGGP221E(X)=2G（2）六个小球在半径为1的圆周上构成正六边形顶点，由对称性，去掉任意一个小球结果相同，不妨去掉点A，剩余B,C,D,E,F五个小球,总选法：C5枚举剩余5点两两距离：距离r=1（引力G）：(B,C),(C,D),(D,E),(E,F)，共4对,距离r=3（引力G3）：距离r=2（引力G4）：(B,E),(C,F)得到概率：P(Y=G)=Y的分布列为YGGGP221E(Y)=2G5+17．（15分）在△ABC中，A=2π3，D为BC(1)若AB=3，AC=2，求BD;(2)若AD=3，求△ABC面积的最小值.【答案】(1)BD=(2)6【分析】（1）先根据余弦定理得到BC，再根据等面积法求出AD，最后由勾股定理即可求出；（2）先根据等面积法建立边长关系式，再根据均值不等式求出两边乘积的下界，即可得到面积的最小值.【详解】（1）因为在△ABC中，A=2π3，AD⊥AB因为AB=3，AC=2，由余弦定理：BC所以BC=19，又因为S△ABC=所以12×3×2×3所以在Rt△ABD中，BD=（2）由S△ABC=S△ABD+S△DAC令u=bc>0，则3u2≥6当且仅当6c=3b3bc=6c+3b，即所以S△ABC=12bc18．（17分）已知双曲线C:x2a2−(1)求曲线C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的动直线l与曲线C交于P，Q两点，且QF=λFP(λ≥1)，直线PO与曲线C（i）当λ=2时，求直线l的方程；（ii）求