第1章 解直角三角形 单元质量检测同步训练卷（含答案）浙教版2026-2027学年九年级数学下册

第1章解直角三角形单元质量检测同步训练卷浙教版2026—2027学年九年级数学下册总分：120分时间：90分钟姓名：________班级：_____________成绩：___________考卷信息:本卷试题共20题，单选10题，填空4题，解答6题，满分120分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度!一．单项选择题（每小题4分，满分40分）1．cos45°的值是（）A．12 B．32 C．22．如图，在△ABC中，若∠B=90°,A．45 B．35 C．433．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=3AC，则sinAA．22 B．24 C．334．在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则下列三角函数值不正确的是（）A．sinA=513 B．cosA=12135．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BACA．43 B．34 C．356．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF=15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（）A．15sin32° B．15tan64° C．7．已知河堤的横断面如图所示，堤高BC为5m，迎水坡AB的长为13m，则迎水坡AB的坡比是()A．1：3 B．1：2.6 C．1：2.4 D．1：28．计算−1+tanA．2 B．2 C．1 D．39．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，AC是矩形ABCD的对角线，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使点E在线段AC上，EF交CD于点G，AF交CD于点H，则tan∠FGH的值为（）．A．23 B．43 C．3410．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M为AB边的中点，AE⊥MD于点E，AF⊥BE，交BE的延长线于点F，则sin∠AOF的值为（）A．12 B．1010 C．13二．填空题（每小题5分，满分20分）11．沿一斜坡向上走3米，高度上升1米，那么这个斜坡的坡度i=．12．如图，一条笔直的公路l经过某水厂A和宝塔B，某镇准备开发樱桃基地C，经测量，C位于A的北偏东60°方向，B的北偏东30°方向上，且AB=20km.为了方便游客到樱桃基地C采摘樱桃，镇里决定由C向公路l修建一条距离最短的公路(不考虑其他因素)，则这条最短公路的长为km.13．如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cos∠BAC的值为.14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）15．计算.（1）2（2）cos16．如图，5G时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信号通畅，某通信公司在某山上建设5G基站.已知斜坡CB的坡度为i=1:3(即BE:CE=1:（1）填空：∠ACE=（2）点D处到水平地面CQ的距离为米；（3）求通讯塔AB的高度(结果保留根号).(参考数据：sin17．如图，点E在▱ABCD的对角线DB的延长线上，AE=AD，AF⊥BD于点F，EG∥BC交AF的延长线于点G，连接DG．（1）求证：四边形AEGD是菱形；（2）若AF=BF，tan∠AEF=118．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB=AC，过点C作CD⊥AC交过点A的切线于点D.（1）求证：2A（2）连接BD交AC于点P.若APCP19．【实践探究】（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC，E是AB边上一动点，连接CE，将CE绕着点C逆时针旋转90°至CF，连接EF交BC边于点G，连接FB，证明：AE=BF．（2）如图2，在（1）的条件下，连接AF交BC于点O，当E在AB的中点时，求tan∠AFE的值．【拓展应用】（3）如图3，△ABC是等边三角形，E是AB边上一动点，连接CE，将CE绕着点C逆时针旋转60°至CF，连接EF交BC边于点G，连接AF交BC于点O，连接FB，当E在AB的中点时，求tan∠AFE的值．20．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中顶点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是△ABC（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中顶点”．（2）△ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=2（3）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中顶点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r=54BD参考答案1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】B11．【答案】212．【答案】1013．【答案】214．【答案】215．【答案】（1）解：2sin30°－3tan45°＋cos60°＝2×12－3×1＋＝1－3＋1＝－3（2）解：cos245°－tan30°•sin60°＝（22）2－33＝12－＝016．【答案】（1）45（2）13解：作DF⊥CE于点F，作DG⊥BE于点G，∵BE:CE=1:即DF：CF=1：3则DF=EG=13米，∴CF=133米，设EF=x，则DG=x,CE=133+x,∴AG=DG⋅∵∠ACE=45°，∠AEC=90°，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE=AE，∴133∴CE=AE=52∴BE=3∴AB=AE−BE=65答：通讯塔AB的高度65317．【答案】（1）证明：∵AE=AD，AF⊥BD，∴EF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵EG∥BC，∴AD∥EG，∴∠GEF=∠ADF，在△GEF和△ADF中，∠GEF=∠ADFEF=DF∴△GEF≌△ADF(ASA)，∴GF=AF，∵EF=DF，∴四边形AEGD是平行四边形，∵AE=AD，∴四边形AEGD是菱形；（2）解：∵AF⊥BD，AF=BF，∴△AFB是等腰直角三角形，∵AB=4，∴由勾股定理得，AF=BF=2∵tan∴AF即22∴EF=42∵四边形AEGD是菱形，∴AG=2AF=42，ED=2EF=8∴菱形AEGD的面积4218．【答案】（1）证明：如图，连接AO并延长交BC于点E，则AE⟂AD，在△ABO与△ACO中AB=ACOB=OC∴△AOB≅△AOC(SSS)，∴∠BAE=∠CAE∴AE⊥BC,CE=1∴AD‖BC，∴∠DAC=∠ACE，∵CD⟂AC，∴∠DCA=∠AEC=90∴△DAC∽△ACE，∴CE∴AC∵CE=12（2）解：如上图，连接OC由(1)知AD‖BC，

∴△ADP∽△CBP∴AP设AD=3，BC=2，OA=OC=r，∵2AC∴AC=3∴AB=3∴AE=A∴OE=2∵BE=CE=1，∴r解得r=3219．【答案】(1)证明：由旋转知，∠ECF=90°，EC=FC

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=90°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△ACE≌△BCFSAS，

∴AE=BF

(2)设BC=2

∵∠ACB=90°，AC=BC

∴∠ABC=∠BAC=45°

∵△ACE≌△BCF

∴∠FBC=∠BAC=45°

∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=90°

当E在AB的中点时，CE⊥AB

∴∠CEB=90°，∠ACE=∠BCE=45°∴∠BCF=∠BCE=45°

∴∠CEB=∠ECF=∠EBF=90°

∴四边形CEBF是矩形

∵EC=FC

∴矩形CEBF是正方形

∴BC⊥EF，BC=EF=2

∴GC=GF=1

∵CF∥AB

∴△AOB∽△FOC

∴BOCO=ABCF=2

∴BO=2CO

∴BC=BO+CO=3CO

∴CO=13BC=23

∴OG=CG−CO=13

∴tan∠AFE=OGFG=13

(3)∵△ABC是等边三角形

∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

设等边三角形△ABC的边长为2

由旋转知，∠ECF=60°，EC=FC

∴△EFC是等边三角形

∴∠CFE=60°

∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=60°

∴∠ACE=∠BCF

∴△ACE≌△BCFSAS，

∴AE=BF，∠ACE=∠BCF，∠CBF=∠CAE=60°

当E在AB的中点时，AE=BE=12AB=1，∠ACE=∠BCE=12∠ACB=30°，CE⊥AB

∴∠CEA=∠CEB=90°，

∴∠BCF=∠ACE=30°，∠CFB=∠CEA=90°，BF=AE=1

∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=90°

∴AC∥BF

∴△AOC∽△FOB

∴COBO=ACBF=2

∴CO=2BO

∴20．【答案】（1）解：取格点K，连接CK交AB于M，如图：

则点M即为AB边上的一个“中顶点”，理由如下：

由图可知，∠ACK=∠CBA，

∴∠ACK+∠CAM=∠CBA+∠CAM=90°，

∴∠AMC=∠CMB=90°，

∴∠CBA+∠BCM=90°，

∵∠CBA+∠CAM=90°，

∴∠CAM=∠BCM，

∴△ACM∽△CBM，

∴CMBM=AMCM，

即CM2=AM·BM，（2）解：过A作AT⊥BC于T，如图：

∵tanB=43，tanC=23，

∴ATBT=43，ATCT=23，

设AT=4m，则BT=3m，CT=6m，

∵BC=9，

∴BT+CT=3m+6m=9，

∴m=1，

∴BT=3，AT=4，CT=6，

设DT=x，则BD=3+x，CD=6−x，

∵DT2+AT2=A（3）①证明：由圆周角定理得，∠ACH=∠DBH，∠CAH=∠