应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第三章部分习题解答

1、应用多元统计分析,第三章习题解答,2,第三章多元正态总体参数的假设检验,3-1设XNn(,2In),A为对称幂等阵,且rk(A)=r(rn),证明,证明因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵(其列向量ri为相应特征向量)，使,3,第三章多元正态总体参数的检验,4,其中非中心参数为,第三章多元正态总体参数的检验,5,3-2设XNn(,2In),A，B为n阶对称阵.若AB0,证明XAX与XBX相互独立.,证明的思路：记rk(A)=r.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得A=diag(1,r0,.,0)令YX，则YNn(,2In),第三章多元正态总体参数的检

2、验,且,6,又因为XBX=YBY=YHY其中H=B。如果能够证明XBX可表示为Yr+1，,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。则XAX与XBX相互独立。,第三章多元正态总体参数的检验,7,证明记rk(A)=r.若r=n,由ABO,知BOnn,于是XAX与XBX独立；若r=0时,则A0,则两个二次型也是独立的.以下设0rn.因A为n阶对称阵,存在正交阵,使得,第三章多元正态总体参数的检验,8,其中i0为A的特征值(i=1,r).于是,令,r,第三章多元正态总体参数的检验,由ABO可得DrH11O，DrH12O.因Dr为满秩阵,故有H11Orr，H12Or(n-r).由于H为对称阵，所以H2

3、1O(n-r)r.于是,9,由于Y1，,Yr,Yr+1,Yn相互独立，故XAX与XBX相互独立.,第三章多元正态总体参数的检验,令YX，则YNn(,2In),且,10,设XNp(,),0,A和B为p阶对称阵,试证明(X-)A(X-)与(X-)B(X-)相互独立AB0pp.,第三章多元正态总体参数的检验,3-3,11,由“1.结论6”知与相互独立,第三章多元正态总体参数的检验,12,性质4分块Wishart矩阵的分布:设X()Np(0,)(1,n)相互独立，其中,又已知随机矩阵,则,第三章多元正态总体参数的检验,试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5).,3-4,13,第三章多

4、元正态总体参数的检验,证明:设,记,则,即,14,第三章多元正态总体参数的检验,当12=O时,对1,2,n,相互独立.故有W11与W22相互独立.,由定义3.1.4可知,15,性质5在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变.证明:设X()(1,n)是来自p元总体Np(,)的随机样本,X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有,第三章多元正态总体参数的检验,令,其中C是pp非退化常数矩阵，d是p1常向量。则,16,第三章多元正态总体参数的检验,所以,17,第三章多元正态总体参数的检验,3-5,对单个p维正态总体Np(,)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:=0(=

5、0已知)的似然比统计量及分布.,解:总体XNp(,0)(00),设X()(=1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为,P66当=0已知的检验,18,第三章多元正态总体参数的检验,19,第三章多元正态总体参数的检验,20,第三章多元正态总体参数的检验,因,所以由3“一2.的结论1”可知,21,第三章多元正态总体参数的检验,3-6(均值向量各分量间结构关系的检验)设总体XNp(,)(0),X()(1,n)(np)为来自p维正态总体X的样本，记(1,p).C为kp常数(k0.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.,45,第三章多元正态总体参数的检验,或者利用定理3.2.1,当n充分大时，=-2ln2(f)，其中f=p+p(p+1)/2-(p+p)=3,V=0.7253,=0.1240,=-2ln=-nlnV=4.1750,因p=0.24320.05.故H0相容，即随机向量的三个分量(三种化学成分)相互独立.,46,第三章多元正态总体参数的检