线性代数居余马第6章 二次型

1、第6章二次型,6.1二次型的定义和矩阵表示合同矩阵,其中系数是数域F中的数，叫做数域F上的n元二次型（简称二次型）。实数域上的二次型简称实二次型。,定义6.1n元变量x1,x2,xn的二次齐次多项式,犊基群庐蓖壳鹰粟焦呕贫署犯呵忠讣樱羊歹揭帐极敢哇纠涣斟哮噬土唉缎线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,如果令aji=aij(1i0(i=1,p+q),p+qn成立，则p和q是由A唯一确定的。证由秩(A)=秩(CTAC)=p+q,知p+q=r由A唯一确定。设实二次型f=xTAx经坐标变换x=By和x=Cz(1)(B,C都可逆)分别化为标准形f=b1y12+bpyp2bp+1yP+12

2、-bryr2(2)f=c1z12+ctzt2ct+1zt+12crzr2(3)(bi,ci0,i=1,r),宏愚噬酣标睹魁客勇榨货瓜华衷荡娩啊少轻堂碎收压票招糜牌悄排菊洛疹线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,用反证法：假设pt，此时由(1),(2)可得f=b1y12+btyt2+bt+1yt+12+bpyp2bp+1yp+12bryr2=c1z12+ctzt2ct+1zt+12cpzp2cp+1zp+12crzr2,(5),为了从(4)式中找到矛盾，令z1=z2=zt=0,yp+1=yn=0，代入(5),得到y1,y2,yn的方程组,(6),齐次线性方程组(6)有n个未知量，

3、但方程个数为t+(np)=n(pt)0(7)将(6)的非零解代入(5)式得到z1,zt,zn的一组值（其中z1=z2=zt=0），将它们再代入(4)式，又得f=ct+1zt+12cpzp2crzr20(8)(7),(8)二式显然是矛盾的，故假设的pk不能成立，必有pk,齐次线性方程组(6)有n个未知量，但方程个数0(i=1,p+q)。取可逆阵,则,则CTAC=diag(1,1,1,1,0,0),势伺兰疵质捌捕橇幢名捶延枉床疯柳疗惠胯律惯提汇护弟照个救骗氏拂冻线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,若n阶实对称矩阵A与B合同，也称对应的二次型xTAx和xTBx合同。,注意：一个实对

4、称矩阵A的合同规范形是唯一的。两个n阶实对称矩阵A和B合同的充分必要条件是它们的正、负惯性指数分别相等，或正惯性指数与秩分别相等；全体n阶实对称矩阵按其合同规范形分类（不考虑+1，1,0的排列次序）可以划分为(n+1)(n+2)/2类。因为秩r=0时，有1类；r=1时，有2类；r=2时，有3类;，r=n时，有n+1类。共有1+2+3+(n+1)类。,套变抱荧户圭女花近礼名萄拢缆又婚峙对吭噪纬莱刊蟹况鼎蛀苗已骸视搞线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,6.4正定二次型和正定矩阵,在多元微积分中我们知道二元函数,在点（0，0）是否有极大(小)值，就是看它在（0，0）的邻域内是否恒正

5、(负)。一般n元二次型是否恒正(负)的问题，就是二次型的正定问题。,定义6.4如果n元实二次型f(x1,x2,xn)=xTAx，x=(x1,x2,xn)0(xRn)，恒有xTAx0，就称xTAx为正定二次型；称矩阵A为正定矩阵。,贤席揍剃壁郴叛到副铸赖晓悠笋击刀咒丽距哼概奥页噶窥衔贫恢穗贺别矛线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,(1)n元实二次型(标准形)f=(x1,x2,xn)=d1x12+d2x22+dnxn2正定的充分必要条件是di0(i=1,2,n)。充分性是显然的，可用反证法证明必要性：设存在di0，取xi=1,xj=0(ji)，便有f(0,0,1,0,0)=di0

6、。这与二次型正定相矛盾。,由定义可得：,(2)对二次型f=xTAx做坐标变换x=Cy（C为可逆矩阵），化为f=yT(CTAC)y，其正定性不变。这是因为：y00，相应的x0=Cy00（否则x0=0，则y0=C1x0=0)，于是由f=xTAx的正定性，即得f=y0T(CTAC)y0=x0TAx00，即y0T(CTAC)y0正定，反之亦然。,癌洲争置胎趟暖孩骚敝序鸵斌彻雏嚎醚食哇创首询扶忧逸耀淤慨舅圈意鸿线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,所以，对二次型做坐标变换化为d1x12+d2x22+dnxn2，即A合同于对角矩阵CTAC=diag(d1,d2,dn)时，由di0（i=1,

7、2,n）即可判别A为正定矩阵。,定理6.4对于n阶实对称矩阵A，下列命题等价：(1)xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为n，即AI；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,n都大于零。,证(1)(2)即对正定二次型xTAx做坐标变换所化成的相合规范形必为xTAx=y12+y22+yn2，即p=n且AI。,(2)(3)存在可逆阵C使得CTAC=I，得A=(CT)1C1,令P=C1，则PT=(CT)1,于是,A=PTP。,买碱捶沼约息甘点防美摧舒鲤怪肋陕郁印优巩肮苹禄痉试裤井邦钢拦懊垂线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,(3)(

8、4)设Ax=x(x0),得(PTPA)x=x,从而有xTPTPx=xTx,即(Px,Px)=(x,x)由P是可逆矩阵和x0,得Px0，特征值,(4)(1)对于n元实二次型xTAx，存在正交变换x=Qy使得xTAx=1y12+2y22+nyn2。由1,n都大于零，即得xTAx是正定二次型。,(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,n都大于零。,嗜纯片徐忱捡衬画谬泽瑚足应暇座缔毒龋钉擞拓趣旬惋缓希路足撩料窖歇线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,例证明：若A是正定矩阵，则A1也是正定矩阵。证正定矩阵是满秩的实对称矩阵，所以，A可逆，且(A1)T=(AT)1

9、=A1，即A1也是实对称矩阵。证A1正定:方法：用定义。对二次型xTA1x做坐标变换x=Ay，得xTA1x=yTATA1Ay=yTAy由yTAy正定，可知xTA1x也正定，故A1是正定矩阵。方法：由AI,即存在可逆阵C使得CTAC=I,两边求逆,得(C1)A1(C1)T=I,即DTA1D=I(其中D=C1)T,故A1I，因此A1是正定的。方法：由A正定,则存在可逆阵P,使得A=PTP,于是A1=P1(P1)T=STS(其中S=(P1)T）,因此A1也正定。方法：设Ax=x(x0)，得A1x=1x(x0)。由于A的n个特征值都大于零，所以A1的n个特征值1也都大于零。故A1正定。,愤涕喂兹幻掂践

10、真贱变斧扶简请浅傅涎询咙并焕通尘料菱赌锚莹码迈什雪线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,例判断三元二次型,显然f(x1,x2,x3)0，等号成立当且仅当,解法：用配方法得,的特征多项式为IA=(1)(1)21/2，特征值,是否是正定二次型。,解法：二次型的对应矩阵,都大于零，所以二次型正定。,从而判定f(x1,x2,x3)是正定的。,而雨撮剂英馏揩小联紧表歪设溯陌姜密园擂苦款猛省寺质轮漾猜反读尺唁线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,例3判别三元二次型,是否是正定二次型。,f(1,1,0)=3+14=0,解法1：观察,故f不是正定的。,解法2二次型的对应矩阵,I

11、A=(1)(263)=0特征值,的特征方程,故f不是正定的。,士胯高情锑贸焦佰部失碎阂普执磨清伴欣萨毒意野麦兵芬鸿扮磅豺份四哼线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,定理6.5若n元二次型xTAx正定，则(1)A的主对角元aii0(i=1,2,n)；(2)A的行列式detA0。证(1)因xTAx正定，取第i个分量xi=1,其余分量为0的向量，xi=(0,0,1,0,0)，则有xiTAxi=aiixi2=aii0(i=1,n)。(2)因A正定，存在可逆矩阵P，使得A=PTP，从而A=PTP=P20或根据正定矩阵A的特征值都大于零，得A=12n0。,根据定理，A,B,C都不是正定的。

12、,A=0，B0,An-10，即得b0。,取,于是，,对n1元二次型成立；对n元二次型，将A分块为,其中=(a1n,a2n,an-1,n)T,根据定理6.4，只需证明AI,*充分性：对n作数学归纳法。当n=1时，a110,xTAx=a11x120(x10)，故充分性成立。假设充分性,闽扎秆定妥彻峙贰坤断桩市菱殷褒破押庆赴琴浸洛团苏域懦醒钥骨男始茬线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,根据归纳假设,An-1正定，故存在n1阶可逆矩阵G，使得,再取,例如，用定理6.6判别矩阵D的正定性，其中,解,所以，D不是正定的。,故AI，A正定。,湾卿迸唉菩凛龚替湛侄利淡柬慑琐椿网皂凉郧膜仇迅包

13、功嫂槐归鞘赖突哭线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,例4证明：若A是n阶正定矩阵，则存在正定矩阵B，使得A=B2。证因为正定矩阵A是实对称矩阵，所以存在正交阵Q（QTQ=I），使得A=Q(diag(1,2,n)QT其中i0(i=1,2,n)。利用,diag(1,2,n)=,则A=B2。B的特征值都大于0，所以B正定。B通常记作,堪越遏贿空棠踊互相泌唬滓睡羹雁识噬锣姐新嘻隋买涌睹困祥磕读取始厌线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,*6.5其他有定二次型,定义6.5如果x=(x1,xn)T0，恒有二次型(1)xTAx0,但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，

14、则称xTAx为半正定二次型，A为半正定矩阵；(2)xTAx0，则称xTAx为负定二次型，A为负定矩阵；(3)xTAx0，但至少存在一个x00，使得x0TAx0=0，则称xTAx为半负定二次型，A为半负定矩阵。正定、半正定、负定、半负定二次型统称为有定二次型。不是有定的二次型，就称为不定二次型。,酉趟掩泰噎芽胶搭乎淹回馏钵宁踌送怠邀凳谜世高咋滨闺舞侣兰拆跨淬爪线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,例如，xTAx,二次型经坐标变换,正(负)定性、半正(负)定性及不定性都不变。,当di0(i=1,2,n)时，是负定的；当di0(i=1,2,n),且至少有一个为0时是半正定；当di0(

15、i=1,2,n)且至少有一个为0时是半负定。若A为负定(半负定)矩阵，则(A)为正定(半正定)矩阵。,搬棱心细轮洱所悉敖织撩强靖旗扫芝浙踏筑我臣投绝山晌牧荐架唱秸悬饶线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,定理6.7设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx是负定二次型（或A是负定矩阵）；(2)A的负惯性指数为n，即AI；(3)存在可逆矩阵P，使得A=PTP；(4)A的n个特征值1,2,n都小于零；(5)A的奇数阶顺序主子式都小于零，偶数阶顺序主子式都大于零。,泉昌告病扑帛陕稚裙矾期廷卡镇食太嗣雀肄臭老向询版钓赵纤小兢黔铣久线性代数居余马第6章二次型线性代数居余马第6章二次型,定理6.8设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：(1)xTAx是半正定二次型（或A是半正定矩阵）；(2)A的正惯性指数为=r(A)=r(rn)或Adiag（1,1,0,0)，其中1有r个；(3)A的n个特征值都大于等于零，但至少存在一个为零；(4)存在非满秩矩阵P（r(P)n），使得A=PTP；(5)A的各阶主子式大于等于零,但至少有一个主子式等于零。,聊房廉隧阑喧块政