2017届高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略不等式选讲课件理.pptx

1、不等式选讲,1.绝对值不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|_|a|+|b|.当且仅当_时,等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|_,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,ab0,|a-b|+|b-c|,2.|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法(1)|ax+b|c(c0)_.(2)|ax+b|c(c0)_.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,3.|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一:利用绝对值不等式的_求解,体现数形结合思想.方法二:利用“_”求解,体现分类讨论思想.方法

2、三:通过构建函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程思想.,几何意义,零点分段法,【易错提醒】1.忽略条件致误:应用绝对值不等式的性质求函数的最值时,一定要注意等号成立的条件,特别是多次使用不等式时,必须使等号同时成立.2.不能准确去掉绝对值号致误:在去掉绝对值号时,不能正确分类,导致解题失误.,3.忽略对分母符号的判断致误:在使用作商比较法时,易忽视对分母的符号进行判断而致误.,热点考向一绝对值不等式的解法命题解读:主要考查绝对值不等式的解法以及分类讨论和转化与化归的数学思想.,【典例1】(2015全国卷)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1

3、的解集.(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.,【解题导引】(1)利用零点分段法将不等式f(x)1化为一元一次不等式组来解.(2)将f(x)化为分段函数,求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标,即可求出三角形的面积,根据题意列出关于a的不等式,即可解出a的取值范围.,【规范解答】(1)当a=1时,不等式f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-10,解得0,解得1x1的解集为x|2.所以a的取值范围为(2,+).,【规律方法】1.用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点.(2)划区间、去绝对值号.(3)分别解去掉绝

4、对值的不等式(组).(4)取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.,2.图象法求解不等式用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.,【变式训练】(2016全国卷)已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集.(2)设函数g(x)=|2x-1|,当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围.,【解析】(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2,解不等式|2x-2|+26得-1x3.因此f(x)6的解集为x|-1x3.,(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x

5、|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,所以当xR时,f(x)+g(x)3等价于|1-a|+a3,当a1时，等价于1-a+a3，无解.当a1时，等价于a-1+a3，解得a2.所以a的取值范围是2，+).,【加固训练】已知函数f(x)=|x-3|-5,g(x)=|x+2|-2.(1)求不等式f(x)2的解集.(2)若不等式f(x)-g(x)m-3有解,求实数m的取值范围.,【解析】(1)由f(x)2,得|x-3|7,所以-7x-37,所以-4x10,所以不等式f(x)2的解集为-4,10.,(2)因为f(x)-g(x)m-3有解,所以|x-3|-|x+2|m有解.因为|x-3|-|x+2|(

6、x-3)-(x+2)|=5,所以-5|x-3|-|x+2|5,所以m5,即m的取值范围是(-,5.,热点考向二绝对值不等式的恒成立问题命题解读:主要考查绝对值不等式的性质,常和绝对值不等式的解法交汇命题.,【典例2】(2016哈尔滨二模)设函数f(x)=|x-1|+|2x-1|.(1)求不等式f(x)2的解集.(2)若xR,不等式f(x)a|x|恒成立,求实数a的取值范围.,【题目拆解】解答本题第(2)问,可拆解成三个小题:讨论当x=0时,不等式成立的情况;当x0时,分离变量a,把所求问题转化为求最值问题;利用绝对值不等式的性质求最值.,【规范解答】(1)由f(x)2得或或解得x0或x所以原不

7、等式的解集为x|x0或x.,(2)当x=0时,f(x)=2,a|x|=0,原不等式恒成立;当x0时,原式等价转换为a恒成立,即a因为当且仅当0,即x1时取等号,所以a1.,【母题变式】1.若本例题的条件不变,当不等式f(x)a恒成立时,试求a的取值范围.【解析】f(x)=|x-1|+|2x-1|=则f(x)f()=,从而a.,2.若本例题条件变为“已知函数f(x)=|x-a|+2|x+b|(a0,b0)的最小值为1”.试求:(1)a+b的值.(2)的最小值.,【解析】(1)f(x)=其图象如图所示,因此,f(x)的最小值是f(-b)=a+b,依题意,有a+b=1.,(2)a0,b0,且a+b=

8、1,当且仅当时,上式取等号,又a+b=1,故当且仅当a=-1,b=2-时,有最小值3+2.,【规律方法】求含绝对值号函数的最值的两种方法(1)利用|a|-|b|ab|a|+|b|求解.(2)将函数化为分段函数,数形结合求解.,【变式训练】(2016揭阳二模)设aR,f(x)=|x-a|+(1-a)x.(1)解关于a的不等式f(2),此时不等式解集为2a+b.(2)因为所以h3=8,所以h2.,【规律方法】证明不等式的基本方法证明不等式的传统方法有:比较法、综合法、分析法.(1)比较法有作差比较法和作商比较法两种.(2)用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,一方面要注意基本不等式成立的

9、条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.,(3)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显,可考虑用分析法.(4)综合法往往是分析法的相反过程,其表述简单,条理清楚,当问题比较复杂时,通常把分析法和综合法结合起来使用,以分析法寻找证明的思路,而用综合法叙述、表达整个证明过程.,【变式训练】(2016石家庄一模)已知函数f(x)=|x|+|x-1|.(1)若f(x)|m-1|恒成立,求实数m的最大值M.(2)在(1)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=M,证明:a+b2ab.,【解析】(1)由已知可得,f(x)=所以f(x)min=1,所以只需|m-1|1,解得-1m-11,所以0m2,所以实数m的最大值M=2.,(2)方法一:综合法因为a2+b22ab,所以ab1,所以1,当且仅当a=b时取等号,又因为,所以,所以当且仅当a=b时取等号,由得,所以所以a+b2ab.,方法二:分析法因为a0,b0,所以要证a+b2ab,只需证(a+b)24a2b2,即证a2+b2+2ab4a2b2,因为a2+b2=M,所以只要证2+2ab4a2b2,即证2(ab)2-ab-10,即证(2ab+1)(ab-1)0,因为2ab+10,所以只需证ab1,下证ab1,因为2=a2+b22ab,所以ab1成立,所以a+b2ab.,【加固训练