广东省揭阳一中2014届高三上学期开学摸底联考数学理

1、20132014学年度高三摸底考联考数学（理）试题本试卷共4页，三大题，满分150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（本卷共计70分）一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1已知集合，若,则实数的所有可能取值的集合为（ ）A. B. C. D. 2. 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（ ）A. 8 B. 6 C. 4

2、D. 23如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是4.“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件k=0,S=1k3开始结束是否k=k+1输出SS=S （第6题图）5已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）A B C2 D26执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A2B4 C8D16 7已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 此函数的图象关于直线对称 B. 此函数在区间上是增函数C. 此函数的最大值为1 D. 此函数的最小正周期为 8若不等式在t(0,2上恒成立

3、，则a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分本大题分为必做题和选做题两部分)（一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)9函数的定义域是_.10已知满足约束条件，则的最小值是_.11. 若展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为 .12若双曲线=1的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为 13. 已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 （二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分)14. (几何证明选讲选做题)已知 AB是圆的一条弦，点P为

4、AB上一点，,PC交圆于点C，若,则PC的长为 .第14题15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，则ABC（其中O为极点）的面积为 .第II卷（本卷共计80分）三、解答题：（本大题6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16.（本题满分12分）已知向量,函数 (),且.(1)求函数的表达式;(2)设, ;求的值17（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分

5、钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.()确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;()若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)18（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC8，PO4，AO3，OD2（）证明：APBC；（）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.19（本题满分14分）已知数列的

6、前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）设记证明：Tn1.20（本题满分14分）已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆：有一个公共点(3,1)，分别是椭圆的左、右焦点（1）求圆的标准方程；（2）若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程;若不能，请说明理由21（本题满分14分）已知函数（1）若为的极值点，求实数的值；（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；（3）当时，方程有实根，求实数的最大值。20132014学年度高三摸底考联考数学科答题卷登分栏:第一题第二题第三题总分第16题第17题第18题第19题第20题第21题一、选择题：（8小题，共40分）题

7、号12345678答案二、填空题：（共6小题，共30分） 9、 ； 10、 ； 11、 12、 ； 13、 ； （ ） .三、解答题：（注意：必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题指定区域内相应位置.）16、（本题满分12分）17、（本题满分12分）18、（本题满分14分）19、（本题满分14分）20、（本题满分14分）21、（本题满分14分）20132014学年度高三摸底考联考数学科参考答案一、选择题：题号12345678答案DCCDACBB二、填空题：9. ； 10.； 11.24；12.2； 13. ； 14. ； 15.2三、解答题：16.解:(1)依题意得2分又得,即 ,3

8、分4分 (2)由得,即5分 ,6分又,7分 由得,即 8分,9分又, 10分12分17. 解：(1)由已知,得所以 2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 4分 的分布为 X11.522.53PX的数学期望为 . 6分()记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,为该顾客前面第位顾客的结算时间,则 . 8分由于顾客的结算相互独立,且的分布列都与X的分布列相同,所以 . 11分故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为.12分18. 方法一:（）证明：如图，以O为原点，以射线OP为

9、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0），P（0,0,4）1分2分由此可得所以，即APBC.4分（）解：设5分6分 7分设平面BMC的法向量平面APC的法向量 8分由得即可取10分由即得可取12分由，得，解得，13分综上所述，存在点M符合题意，AM=3.14分方法二：（）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得ADBC,1分 又PO平面ABC,得POBC.2分 因为POAD=0，所以BC平面PAD3分故BCPA.4分（）解：如下图，在平面PAB内作BMPA于M,连CM. 5分由（）中知APBC,得AP平面BMC. 6

10、分又AP平面APC,所以平面BMC平面APC。7分在RtADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=8分在RtPOD中, PB2=PO2+OD2,在RtPDB中, PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.9分在RtPOA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=510分又11分从而所以13分综上所述，存在点M符合题意，AM=3.14分19. 解（1）当时，由得，2分当时，上面两式相减，得4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，5分求得7分（2）9分11分1.14分20. 解：（1）由已知可设圆C的方程为 1分将点A的坐标代入圆C的方程，得 ，即，解得3分，圆C的方程为 5分（2）依题意，可得直线的方程为，即.6分若直线与圆C相切，则7分，解得.8分当时，直线与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去；9分当时，直线与x轴的交点横坐标为，10分，11分由椭圆的定义得，即， ，13分直线能与圆C相切，直线的方程为，椭圆E的方程为 14分21. 解：（1）1分因为为的极值点，所以2分即，解得3分又当时，从而为的极值点成立4分（2）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立5分当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意6分当时，由函数的定义域可知，