2017_18学年高中数学第三章3.2.2导数的运算法则课件.pptx

1、第2课时导数的运算法则,主题导数的运算法则1.试根据导数的定义,写出下列函数的导数.(1)若F(x)=x+x2,则F(x)=_.(2)若F(x)=x-x2,则F(x)=_.(3)若F(x)=x3,则F(x)=_.,提示:(1)F(x)=答案:1+2x,(2)F(x)=(1-2x-x)=1-2x.答案:1-2x(3)F(x)=3xx+3x2+(x)2=3x2.答案:3x2,2.问题1中,若令f(x)=x,g(x)=x2,则F(x)的导数与f(x),g(x)的导数各有什么关系?提示:因为f(x)=1,g(x)=2x,故(1)中F(x)=f(x)+g(x),(2)中F(x)=f(x)-g(x),(3

2、)中F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x).,结论:(1)f(x)g(x)=_.(2)f(x)g(x)=_.(3)=_.(4)cf(x)=_.,f(x)g(x),f(x)g(x)+f(x)g(x),cf(x),【微思考】1.在导数运算法则中,函数f(x),g(x)一定有导函数吗?提示:一定有导函数,否则法则不成立.,2.根据两个函数和差的导数运算法则,试着推广到任意有限个可导函数的和差.提示:f1(x)f2(x)fn(x)=f1(x)f2(x)fn(x).af(x)bg(x)=af(x)bg(x)(a,b为常数).,3.根据乘法的导数法则,试着推广f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(

3、x)g(x)到有限个函数的积的情形:提示:若y=f1(x)f2(x)fn(x),则有y=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn(x).,【预习自测】1.函数y=xlnx的导数是()A.xB.C.lnx+1D.lnx+x【解析】选C.y=xlnx+x(lnx)=lnx+x=lnx+1.,2.已知函数f(x)=ax2+c,且f(1)=2,则a的值为()A.1B.C.-1D.0【解析】选A.因为f(x)=ax2+c,所以f(x)=2ax,又因为f(1)=2a,所以2a=2,所以a=1.,3.曲线y=x3+x在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(),

4、【解析】选A.对函数y=x3+x求导得y=x2+1,将x=1代入得曲线y=x3+x在点处的切线斜率为k=2,故切线方程是y-=2(x-1),该切线与坐标轴的交点是故围成的三角形面积为.,4.函数y=的导数是()【解析】选A.y=,5.求函数y=(2x2+3)(3x-2)的导数y=_.【解析】y=(2x2+3)(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)=4x(3x-2)+(2x2+3)3=18x2-8x+9.答案:18x2-8x+9,【一题多解】因为y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6,所以y=18x2-8x+9.答案:18x2-8x+9,6.求函数y=x5-x3+x-5的导数

5、.(仿照教材P84例2的解析过程)【解析】因为y=(x5)-(x3)+(x)-(5)=5x4-3x2+1,所以函数y=x5-x3+x-5的导数是y=5x4-3x2+1.,类型一导数的运算法则【典例1】求下列函数的导数:(1)y=(x+1)2(x-1).(2)y=x2sinx.(3)y=,【解析】(1)方法一:y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1.方法二:y=(x2+2x+1)(x-1)=x3+x2-x-1,y=(x3+x2-x-1)=3x2+2x-1.(2)y=(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsin

6、x+x2cosx.,【方法总结】应用导数运算法则求函数的导数的技巧(1)对三角式求导要先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少出错.(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.,【巩固训练】求下列函数的导数:(1)y=2xcosx.(2)y=2x+lnx.,【解析】(1)y=(2x)cosx+2x(cosx)=2cosx-2xsinx.(2)y=(2x)+(lnx)=2+.,(3)方法一:方法二:因为所以(4),【补偿训练】求下列函数的导数(1)y=excosx.(2)y=x2+tan

7、x.(3)y=2x3+cosx.,【解析】(1)y=excosx,所以y=(ex)cosx+ex(cosx)=excosx-exsinx.(2)因为y=x2+,所以y=(x2)+,(3)y=(2x3)+()+(cosx)=6x2+-sinx.,类型二导数运算法则的应用【典例2】(1)已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1)处的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)=,则g(1)=(),(2)(2017烟台高二检测)已知函数f(x)=x3+x-16.求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程.直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标.,【解题指南】(1)由g(

8、x)=联想商的导数运算法则,利用条件“在点(1,f(1)处的切线方程为x-2y+1=0”求出f(1),f(1).(2)先求出函数f(x)的导数,由于点在曲线上,可将点的坐标代入求切线的斜率,进而得出切线方程.由于原点不在曲线上,可先设切点坐标,列方程解出切点坐标,再求切线方程.,【解析】(1)选A.由切线方程得1-2f(1)+1=0,所以f(1)=1,由导数的几何意义得f(1)=,(2)因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1.由已知f(x)=x3+x-16,且f(2)=23+2-16=-6,所以点(2,-6)在曲线y=f(x)上,所以在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f(2)

9、=322+1=13,所以切线方程为:y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.,方法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f(x0)=3x02+1,所以直线l的方程为:y-y0=(3x02+1)(x-x0),即:y-x03-x0+16=(3x02+1)(x-x0),又因为切线l过原点,所以0-x03-x0+16=(3x02+1)(-x0),整理得:x03=-8,所以x0=-2.所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,方法二:设直线l的方程为y=kx,

10、切点为(x0,y0),则又因为k=f(x0)=3x02+1,所以=3x02+1,解得x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,斜率k=3(-2)2+1=13,所以切线的方程为y+26=13(x+2),化简得:13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).,【延伸探究】1.若本例(2)条件不变,试判定函数图象上哪一点处的切线斜率最小.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+11,即当x=0时,切线的斜率最小,此时点的纵坐标y=-16.因此,当切线的斜率最小时,切点的坐标为(0,-16).,2.若过本例(2)曲线上某点处的切线平行于直线4x-y+1=0,求切点的坐

11、标.【解析】因为f(x)=x3+x-16,所以f(x)=3x2+1,设切点为(x0,y0),则过切点处的切线的斜率为k=3x02+1,又此切线平行于直线4x-y+1=0,所以3x02+1=4,所以x0=1,当x0=1时,y0=-14,当x0=-1时,y0=-18.所以切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).,【方法总结】求曲线在某一点处切线方程的一般步骤(1)先判断给出的点(x0,y0)是否在曲线上,如果在曲线上,则它是切点,否则不是,此时设切点坐标为(x1,y1).(2)求切线的斜率.如果点(x0,y0)是切点,则切线斜率为f(x0),若(x0,y0)不是切点,则切线斜率k=f(x1)=

12、,(3)利用点斜式方程,求出切线方程.,【补偿训练】若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是_.,【解析】由题意得y=lnx+x=1+lnx,直线2x-y+1=0的斜率为2.设P(m,n),则1+lnm=2,解得m=e,所以n=elne=e,即点P的坐标为(e,e).答案:(e,e),类型三导数公式及运算法则的综合应用【典例3】(1)如图是函数y=f(x)的图象,直线l:y=kx+2是图象在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4,(2)(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数

13、,则f(0)的值为_.,【解题指南】(1)先利用导数的几何意义求出y=f(x)在x=3处的导数,再利用导数公式求出g(3).(2)求出f(x),代入x=0即可.,【解析】(1)选B.由题意直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,由图象可知其切点为(3,1),代入直线方程得k=-,所以f(3)=-,故g(x)=(xf(x)=xf(x)+xf(x)=f(x)+xf(x),所以g(3)=f(3)+3f(3)=1+3=0.,(2)因为f(x)=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:3,【延伸探究】若本例(2)中的条件不变,则f(2)的值是多少?【解析】由(2)的解析可知f(2)=(

14、4+3)e2=7e2.,【方法总结】利用导数几何意义及运算法则解决综合问题的策略(1)求某点处的导数值,分清该点是否为切点,若为切点利用导数的几何意义求值.(2)求范围:注意导数就是切线斜率,切线斜率与倾斜角的关系,求倾斜角的范围可先求导数的范围.,【巩固训练】已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(xR),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是()A.(-,-1)(-1,0)B.(-,-1)(0,+)C.(-1,0)(0,+)D.aR且a0,a-1,【解析】选B.f(x)=2sinxcosx+2a=sin2x+2a,直线l的斜率为-1,由题知关

15、于x的方程sin2x+2a=-1无解,所以|2a+1|1,所以a0.,【补偿训练】已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是(),【解析】选D.函数导数y=因为ex+2,所以y-1，0),所以.,拓展类型:曲线的公切线【典例】已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b(a0),设两曲线f(x),g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同.(1)若a=1,求b的值.(2)试写出b关于a的函数关系式.,【解题指南】注意转化先设公共点的坐标,利用切点处的导数相等建立关系式.,【解析】(1)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y

16、0)处的切线相同,且f(x)=x+2,g(x)=由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),所以由x0+2=,得x0=1或x0=-3(舍去),即有b=.,(2)因为y=f(x)与y=g(x)(x0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,且f(x)=x+2a,g(x)=由题意知f(x0)=g(x0),f(x0)=g(x0),即,解得x0=a或x0=-3a(舍去),所以b=a2-3a2lna(a0).,【方法总结】曲线公切线问题解决思路1.切点处的导数值:公切点处的导数值相等.2.切点处的函数值:公切点处对应函数值相等.,【巩固训练】若曲线f(x)=x2与曲线g(x)=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=()A.-2B.C.1D.2,【解析】选C.根