北邮考研概率论与数理统计2.4连续型随机变量及其分布(易)(1)

1、二、概率密度的概念与性质,一、连续型随机变量,2.4连续型随机变量及其分布,一、连续型随机变量,例r.v.X为“灯泡的寿命”,定性定义随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.,则X取值范围为,连续型随机变量特点：,例：设X为在0，1任意取点的坐标，则X为连续型随机变量,其分布函数为,显然，,二、概率密度的概念与性质,1.定义,1,probabilitydensity,p.d.,f(x)几何意义：曲线y=f(x)与x轴之间的面积等于1,证明,2性质,证明,可得计算公式：,满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x

2、)是否为概率密度。,几何意义：X落在区间(x1，x2的概率Px10.1。,解:(1)由于,于是X的概率密度为,，解得k=3.,(2)从而,例2:连续型随机变量X的分布函数,（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P-10,有,则称随机变量X具有无记忆性。,某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.,应用与背景,解：分析：t0时,PTt=0.t0时,因为N(t)=k表示设备在长度为t的时间段内发生k次故障。Tt表示相继出现的两次故障之间的时间间隔大于t，即从前一次故障开始计时直到t时为止没有发生故障（在0,t时间内未发生故障）。亦即Tt=

3、N(t)=0,服从参数为的指数分布。,例4假定设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N(t)(t)的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。,（2）设备在已经无故障运行8小时的情况下，继续无故障运行8小时的概率。,由指数分布的“无记忆性”可知，所求概率为,补充一问：,3.正态分布(或高斯分布)(NormalDistribution),定义,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.第五章将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,验证f(x)是一个合理的概率密度函数:显然，f(x)0；下面验证,对于积分,作代换,

4、则,棣莫弗,棣莫弗最早发现了二项概率的一个近似公式，该公式被认为是正态分布的首次露面.,高尔顿钉板试验,这条曲线就近似我们将要介绍的正态分布的密度曲线。,决定图形的中心位置，决定图形中峰的陡峭程度.,正态分布的图形特点,思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,容易看到，f(x)0,即整个概率密度曲线都在x轴的上方;,思考：能不能根据密度函数的表达式，得出正态分布的图形特点呢？,令x=+c,x=-c(c0),分别代入f(x),可得,f(+c)=f(-c),且f(+c)f(),f(-c)f(),故f(x)以为对称轴，在x=达到最大值:,说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近

5、x轴。即f(x)以x轴为渐近线。,当x时，f(x)0,用求导的方法可以证明，,x=,为f(x)的两个拐点的横坐标。,根据对密度函数的分析，可初步画出正态分布的概率密度曲线图。,服从正态分布的随机变量X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？,正态分布由参数和唯一确定，当和不同，是不同正态分布。,正态分布的应用与背景例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布,正态分布下的概率计算,原函数不是初等函数,方法一:利用统计软件包计算,方法二:转化为标准正态分布查表计算,下面我们介绍一种最重要的正态分布:,标准正态分布,的正态分布称为标准正态

6、分布.,其密度函数和分布函数常用和表示：,标准正态分布的概率密度为,标准正态分布,标准正态分布的分布函数为,证明,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,根据引理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,正态分布表书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,当-xc=2PXc。,解:,查表得：(3-c)/20.43,即c=2.14,例7假设测量的随机误差XN(0,102),试求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并利用possion分布求的近似

7、值。,解：设p为每次测量误差绝对值大于19.6(记为A事件）的概率,p=P|X|19.6=,=P|X|/101.96=1-P|X|/101.96,=1-(1.96)+(-1.96),=1-(1.96)+1-(1.96),=2-2(1.96),=0.05,P|X|/1019.6/10,设Y表示100次独立测量中事件A出现的次数,则：,Yb(100,0.05),由标准正态分布的查表计算可以求得，,说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.这也是N(0,1)表只作(0,3)的概率的原因。,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|

8、X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3准则（三倍标准差原则）,推广到一般的正态分布,时,X在概率为0.9974,称为“3规则”,附录,1介绍棣莫弗（DeMoivre,Abraham）2介绍高斯（Gauss,GarlFriedrich）,名人名言“棣莫弗在概率论方面贡献很大.”伊夫斯,生平简介棣莫弗是法国英国数学家.1667年5月26日生于法国维特里勒弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦.棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最先在当地一所天主教堂学校念书，随后他离开农村到色拉的一所清教徒学校求学.棣莫弗是法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监

9、禁，由于南兹敕令释放后1685年移居英国，曾任家庭教师和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读了,生平简介牛顿的自然哲学的数学原理深深地被这部著作吸引了.不久便把这部书读完了，从而打下了坚实的基础.1695年写出颇有见地的有关流数术学的论文，并成为牛顿的好友.两年后当选为皇家学会会员，1735年、1754年又分别被接纳为柏林科学院和巴黎科学院院士.由于棣莫弗是从欧洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积分发明权之争的委员会.,对数学的主要贡献棣莫弗1711年撰写了抽签的计量的论文，1718年扩充为机会的学说一书，这是概率论的最早著作之一，书中首次定

10、义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布公式，讨论了掷骰和其它赌博的许多问题.他的另一本名著是1730年的关于级数和求积的综合分析，讨论了排列和组合理论，书中最早使用了概率积分，,对数学的主要贡献棣莫弗1707年在研究三角学时实质上已经得到了“棣莫弗公式”(cos+isin)n=cosn+isinn，只不过在1722年发表时没有明显的表达出来（明显表达出来是欧拉给出的，欧拉还把此公式推广到任意实数n，而棣莫弗只讨论了n是自然数的情形）.,对数学的主要贡献棣莫弗还将概率论应用于保险事业.1725年，他出版了年金论，在这本书中他不仅改进了以往众所周知的关于人口统计的方法，而且在假定死亡率所遵循的规律

11、以及银行利息不变的情况下，推导出了计算年金的公式，从而为保险事业提供了合理处理有关问题的依据，这些内容被后人奉为经典.,对数学的主要贡献棣莫弗还用复数证明了求解方程xn-1=0相当于把圆周分成n等分的结论，因此产生了所谓棣莫弗圆的性质的研究，这个问题在解方程发展史上也有一定的影响.,趣闻轶事关于棣莫弗的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现，他每天要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术级数，当此算术级数达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了.,名人名言“他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘.他推动了数学的进展直到下个世纪.”摘慕尼黑博物馆高斯画像下的诗句“数学

12、是科学的皇后.”高斯,生平简介高斯是德国数学家、物理学家、天文学家.1777年4月30日生于不伦瑞克；1855年2月23日卒于哥廷根.高斯幼年就显露出数学方面的非凡才华：他10岁时，发现了1+2+3+4+97+98+99+100的一个巧妙的求和方法；11岁时，发现了二项式定理.高斯的才华受到了布伦瑞克公爵卡尔威廉（KarlWilhelm）的赏识，亲自承担起对他的培养教育，先把他送到布伦瑞克的卡罗林学院学习（17921795年），嗣后又推荐他去哥廷根大学深造（17951798年）.,生平简介高斯22岁获黑尔姆斯泰特大学博士学位，30岁被聘为哥廷根大学数学和天文教授，并担任该校天文台的台长.,对数

13、学的主要贡献高斯在卡罗林学院认真研读了牛顿、欧拉、拉格朗日的著作.在这时期他发现了素数定理（但未能给出证明）；发现了数据拟合中最为有用的最小二乘法；提出了概率论中的正态分布公式并用高斯曲线形象地予以说明.进入哥廷根大学第二年，他证明了正17边形能用尺规作图.高斯的博士论文可以说是数学史上的一块里程碑.他在这篇文章中严格的证明了代数基本定理，从而开创了“存在性”证明的新时代.,对数学的主要贡献高斯在数学世界“处处留芳”：他对数论、复变函数、椭圆函数、超几何级数、统计数学等各个领域都有卓越的贡献.他是第一个成功地运用复数和复平面几何的数学家：他的算术探究一书奠定了近代数论的基础；他的一般曲面论是近代微分几何的开端；他是第一个领悟到存在非欧几何的数学家；是现代数学分析学的一位大师，1812年发表的论文无穷级数的一般研究，引入了高斯级数的概念，对级数的收敛性作了第一次系统的研究，从而开创了关于级数收敛性研究的新时代.,对数学的主要贡献这项工作开辟了通往19世纪中叶分析学的严密化道路.在高等数学及工程数学中以他的姓氏命名的有：高斯公式、高斯曲率、高斯分布、高斯方程、高斯曲线、高斯平面、高斯记号