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文档简介

1、,二、函数的间断点,一、函数连续性的定义,第八节,函数的连续性与间断点,第一章,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,设函数,在,内有定义,如果当自变量,的增量,趋向于零时,对应的函数的增量,也趋向于,零,即,或,那末,就称函数,在点,连续,称为,的连续点.,.,可见,函数,在点,定义2:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2)极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在;,且,有定义,存在;,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间

2、上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,例3.证明函数,在,内连续.,证:,即,这说明,在,内连续.,同样可证:函数,在,内连续.,在,在,二、函数的间断点,(1)函数,(2)函数,不存在;,(3)函数,存在,但,不连续:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数f(x)在点,虽有定义,但,虽有定义,且,称为间断点.,在,无定义;,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为可去间断点.,为跳跃间断点.,为无穷间断点.,为振荡间断点.,为其无穷间断点.,为其振荡间断点.,为可去间断点.,例如:,显然,为其可去间断点.,(4),(5),为其跳跃间断点.,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,仅在x=0处连续,其余各点处处间断.,注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,判断下列间断点类型:,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,思考与练习,1.讨论函数,x=2是第二类无穷间断点.,间断点的类型

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