4.3 函数的单调性、极值与最值(1-34)

1、4.3函数的单调性、极值与最值,1函数在区间上为常数的条件,证明,设有x1,x2a，b,x1x2使,定理,采用反证法,这与定理条件矛盾,说明:,存在(x1，x2)使,证明:,设,又f(x)在上连续,根据上面的定理知,令x=0,2单调性,设f(x)在a,b上严格单调增,证明:,仅对严格单调增的情形给出证明,即结论（1）成立,为证(2),采用反证法,设条件(1)、(2)成立.,对任意,据拉格朗日中值定理,f(x)在a,b单调增,故知(2)成立,由于,为证严格单调增，假设f(x1)=f(x2)=c,即f(x)在(x1，x2)内恒等于一个常数,这与条件（2）矛盾f(x1)0时,xsinx,再证:当x0

2、时,解,由于f(0)=0当x0时,f(x)f(0)=0,据定理知f(x)在(0,+)上严格单调增,构造辅助函数,则g(0)=0,下证:当x0时,g(x)g(0),注意到,当x0时,g(x)g(0)=0,g(x)在(0,+)上严格单调增,当x0时,g(x)g(0)=0,即当x0时,由,3局部极小与极大,我们已经知道:f(x)的极值点必为临界点,但临,如何判断一临界点是不是极值点?,定理(一阶充分条件),设y=f(x)在N(x0,)内可导(在x0处可以不可导,(1)如果当x(x0-,x0)时,f(x)0,界点不一定是极值点,若是极值点,则是极小还是极大值点?,问题:,但要求连续),则,(2)如果当

3、x(x0-,x0)时,f(x)0,当x(x0,x0+)时,f(x)0,(3)当xN(x0,)时,f(x)不变号,则x0不是极值点,仅对(1)加以证明,取01,则(x0,x0+1)(x0,x0+),由于x(x0-1,x0),f(x)0,f(x)在x0,x0+1上严格单调增,即,综上所述有,即x0是f(x)的局部极小值点,利用定理知,例求下列函数的极值,(1)由于f(x)在R上可微,所以驻点:,当x0时,f(x)0f(x),当时,f(x)0f(x),x=0不是极值点,是极大值点,当时,f(x)0f(x),当x(1,+)时,f(x)0f(x),x=1是极小值点,所以极小值:,极大值:,我们注意到:研

4、究x0是否为f(x)的局部极值点,即,只需研究f(x)-f(x0)在x0附近是否局部保号,f(x)-f(x0)0(或f(x)-f(x0)0),定理(二阶充分条件),由于f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),泰勒公式为我们研究f(x)-f(x0)的保号性提供方便,证明:,任取,其中介于x0与x之间,即x0是局部极小值点,我们仅证明(1),存在0,利用泰勒公式,有,此时N(x0,),即,是f(x)的极大值点,因为f(x)是可微函数,故是f(x)的驻点,当a=2时,极大值:,解,即,由f(x)是可微函数,并在x0处取得极值,当x00时,所以,x0是f(x)的极小值点,在方程中令x=x0,则有,f

5、(x0)=0.,解,4最大值、最小值(简称最值)的计算,最值的计算方法：,（1）f(x)在（a,b）上的临界点；,计算f(x)在a,b上的最值点，只需计算,（3）比较这些点处函数值的大小，求出最值,（2）端点x=a或x=b;,比较,f(x)在-2,3上连续且可导,先求可能的最值点,可能的最值点为:,f(x)在(-2,3)内有驻点:,最大值为,最小值为,解,x=1是f(x)在(0,2)中的唯一极值点且为极小值点,原不等式,令,则由,又,x=1是最小值点,f(x)f(1)=0,x(0,2),解,得f(x)在(0,2)中的唯一驻点:x=1,5最大值、最小值的问题,（1）建立h与t的函数关系,设经过时

6、间t，水深为h,时刻t的液量=原有液量+流入液量,原有液量=b,流入液量=at2,时刻t的液量,分析:,解,则,所以,（2）建立问题的数学模型,液面上升的速度:,所以问题为求v(t)在t0上的最大值,(1),(3)求解最值问题(1),即求解,当时,当时,是v(t)的极大值点,所以,当时,水深上升的速度为最快,故知为v(t)在t0上的最大值点,求解实际应用最值问题的步骤：,（2）用微分学方法求函数的最值,建立造价F与半径r之间的函数关系,设盖的单位面积造价为a元/m2，则,侧面的单位面积造价：2a元/m2,底面的单位面积造价：4a元/m2,解,F=盖的造价+侧面的造价+底面的造价,由于,驻点:,由于此驻点是F在r0上的唯一可能,所以当时，油桶的造价最省,的最值点,而且问题在r0上确有最小值点存在,说明:,o,建立坐标如图所示,设公路长为l，转运站设,在M处