四川大学数值分析期末总复习（课堂PPT）

1、,数值分析,程复习,课,1,Gauss消元法,解线性代数方程组的直接法,列主元素消去法,全主元素消去法,矩阵三角分解法,范数、条件数,平方根法,LU分解法,追赶法,列主元素三角分解法,2,第四章解线性代数方程组的直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组）,范数、条件数,Gauss消去法,LU分解法,平方根法,3,了解几个基本概念：,顺序主子式Di：方阵前i行、前i列元素矩阵的行列式；非奇异矩阵：对方阵A而言，即可证明A非奇异，涉及特征值时，全部特征值均不等于0可证明A非奇异.对称正定矩阵：充要条件：A的全部特征值大于0；顺序主子式全大于0；性质：行列式为正；严格对角占优矩阵：详见书P173.,4

2、,Gauss消去法,线性代数方程组：,用矩阵及向量形式表示：AX=b（PS:A为非奇异矩阵，即）,5,消元过程：,实质上是用,去乘以第一个方程，得到一个新的方程，然后用,第二个方程减去这个新的方程，使其第一项为0，最终变成：,同样取,乘以第一个方程，得到一个新的方程，然后用第三个,方程减去这个新的方程，使其第一项为0，最终变成：,上标(2)实际上表示经过消去法一步，以此类推(3)表示经过消去法两,步。,6,重复此步骤n-1次最终得到等价方程组：,经过消元法n-1步后，可以得到一个等价的上三角形方程组：（PS：经过初等变换得到的矩阵与原矩阵等价）,即：,已为0,0,7,经过回代可得到方程组的解：

3、,此时必须满足条件：,n阶线性方程组消元过程所需要的总运算量为：,消元乘法运算量：,消元除法运算量：,回代乘除法运算量：,8,消元公式（4.1.1）,回代公式（4.1.2）,9,消元法能够运用的充要条件为：,定理1.1：,矩阵A的顺序主子式,推论：,若矩阵A的顺序主子式则有：,10,因此可以采用全主元素消去法或列主元素消去法。,全主元素消去法：实质上是在消元法进行了k（k=0,1,2,.,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1行到第n行中绝对值最大的元作为主元，并利用初等行变换和列变换交换其位置，使其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。,列主元素消去法：实质上是在消元法进行了k（k=0,1,

4、2,.,n-1）步之后，选取系数矩阵A第k+1列中绝对值最大的元作为主元，并利用初等行变换使主元其置于对角线上，成为对角元，以减小误差。,11,典型题目1、概念题、消元及回代公式；2、用全主元素消去法或列主元素消去法解方程组；3、相关定理、定义或变形证明题(详见书本证明过程).,例1：分别用全主元素消去法和列主元素消去法解方程组，并由此计算系数行列式的值.,第一步：消元法进行了0步后，选出前三行的主元素4，经交换得：,全主元素消去法：,经Gauss消元得,12,第二步：消元法进行了1步后，选出前两行的主元素2，经交换得：,经Gauss消元得,回代求解得：,13,列主元素消去法：,第一步：选出第

5、一列的主元素2，经交换得：,经Gauss消元得,14,第二步：选出第二列的主元素3，经交换得：,经Gauss消元得,回代求解得：,结果相同！,15,例2：矩阵A的元素，经过Gauss消去法1步后，A变为,证明若A对称，A2也对称.,证明：,Guass消元法第一步,16,即故A2也是对称矩阵.,已知A为对称矩阵,故,因此：,其中：,得证.,17,矩阵三角分解法,原理：对矩阵进行一次初等变换，相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。从这个观点来考察Gauss消去法，用矩阵乘法表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。,矩阵分解：ALU,18,第一步为：,LU分解法,19,第k步为

6、：,相当于左乘矩阵Lk,20,总体有：,易证：,21,其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。,所以有：,22,注：分解理论由Gauss消去法得出，因此能够进行分解的条件与Gauss消去法结果一样。*（实际使用时也需要选主元，即列主元素三角分解法）,由此，解线性方程组Ax=b等价于解两个三角形方程组：,关键在于能否对矩阵A直接进行LU分解,23,定理3.1：A的所有顺序主子式均不为零，则A存在唯一的分解式A=LU.,元素求解公式,定理3.2：对非奇异矩阵A，存在排列阵P，以及元素值全不大于1的单位下三角阵L和上三角阵U，使,24,平方根法,定理3.3：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解其中L为单位

7、下三角阵，D为对角阵且对角元全大于0.,定理3.4：n阶矩阵A对称正定时，则有如下分解：则A存在唯一分解(即平方根分解)：其中G为下三角阵，规定G的对角元全为正时，分解式是唯一的.,25,元素求解公式,定理3.5：若线性代数方程组的系数矩阵A对称正定，则用平方根法进行求解是稳定的.（证明过程详见P172）,PS：平方根法约需次乘法，大约为直接LU分解计算量的一半.,26,三对角方程组的追赶法,27,如果A存在LU分解，则有：,其中,28,则：求解Ax=f,29,再由,解得,以上称为解三对角方程组的追赶法。,30,典型题目1、利用LU方法、平方根法或追赶法对矩阵进行求解；2、判断LU分解是否存在

8、且唯一.,例1：判断下述矩阵的LU分解是否存在？若存在，是否唯一？,已知,A有唯一的LU分解（LU存在且唯一）,可从这两方面对问题进行考虑,31,？,以从判断矩阵的顺序主子式为例,对于A1,所以不存在LU分解,对于A2,所以不存在LU分解,对于A2,所以存在唯一的LU分解,32,范数、条件数,为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性，我们需要对(n维向量空间)中的向量或中矩阵的“大小”引入一种度量向量和矩阵的范数。,向量范数定义4.1：如果向量的某个实值函数满足条件：,1）正定性：当且仅当x=0时,2）齐次性：,3）三角不等式：,则称N(x)是上的一个向量范数.,33,常用的几种范数

9、：,向量的2-范数：,向量的1-范数：,向量的-范数：,绝对值之和,模,最大值,34,定理4.1（范数等价性）：对上定义的任意两种范数必存在两正常数m，M，使得：,定义4.2：设中一向量序列,其中,若,满足,则称向量序列(依分量)收敛到，记作：,定理4.2：,（PS：必须为向量任一范数.）,35,矩阵范数定义4.3：如果矩阵的某个实值函数满足条件：,1）正定性：当且仅当x=0时,2）齐次性：,3）三角不等式：,则称N(A)是上的一个矩阵范数.,4）相容性：,36,定义4.4：算子范数：,且,常见的矩阵范数：,谱范数,列范数,行范数,F-范数,算子范数,37,定义4.5：设中一矩阵序列,其中,若

10、,则称矩阵序列收敛到矩阵，记作：,定理4.3：,PS：必须为任一种矩阵范数.,定义4.6：设为矩阵A的特征值，称为矩阵A的谱半径。,谱半径和范数的关系：,38,定理4.4：设任意n阶矩阵F满足，则非奇异，且：,定理4.5：,条件数（非奇异）：,矩阵条件数的性质：,为任意非0常数。,若则,4）若A是正交矩阵，则A的谱条件数等于1（相应的谱范数也为1），为最小值.,39,典型题目1、范数的证明与判断(较难)，求常见范数(易)；2、相关定理、定义证明(详见书本证明过程)；3、基于定理、定义证明的变形证明题.,例1：设为对称正定阵，定义,试证为上向量的一种范数.,证：,正定性：,(正定矩阵的定义).当时,等号,成立,齐次性：,40,三角不等式：,对于,因为A正定，则对任意数t有：,4