泛函分析整理笔记

1、reading notes about functional analysis泛函分析阅读笔记课程标题：功能分析林和教师：高允兰博士学生名称：崔继峰学生编号：200810582008年12月10日泛函分析阅读笔记reading notes about functional analysis崔继峰函数就是一般函数，函数解释当然是一般函数的分析研究。学习技能之前需要扎实的实变函数知识。由南开大学刘炳超教授编辑6个月，由科学出版社出版的泛函分析曾被哈尔滨工业大学的保赫郡教授讲课。他说的功能最大的特点是把功能和几何有机地结合起来，巧妙地表达出险恶的纯理论。进入研究生学习阶段，泛函分析是计算数学研究生的

2、基础理论课程。武汉大学尤佩德教授编辑的，武汉出版社出版的泛函分析（第二版），是以本科生为对象，考虑在学科中选择本教材的原因，考虑到部分学生在本科阶段对泛函分析课程没有完全了解或大概知道，这一课程是高允兰博士所向往的，这就是操作员方面的研究，所以说明这门课程是轻重缓急的熟路。课程大约48小时(粗略估计)。由于以下两个原因：1)对泛函分析的理解很浅。(2)第一次写读书笔记(特别是专业课类)的时候，不知道怎么办才好。因此，阅读笔记可能来自很多问题，希望老师谅解！让我们从几个方面学习本学期泛函分析的感情和认识。我以这种态度写这个笔记本。1)了解功能是什么，功能的发展(很多教材省略了这个)2)学习空间的

3、理论知识体系，利用其他理论的学习作为天分。3)学习功能的实际作用(即附录中过滤理论的应用)。函数分析是研究拓扑的线性空间和拓扑的线性空间之间的各种拓扑和符合代数条件的映射的领域。形成于20世纪30年代。在变分法、微分方程、积分方程、函数论、量子物理学等研究中发展起来，利用几何、代数的观点和方法研究分析学的主题，可以看作是无限维度的分析学。一、功能分析的生成19世纪以来，数学的发展进入了新的阶段。这就是欧几里得第五公立的研究导致了非欧几何这个新学科的出现；关于代数方程解法的一般想法终于建立和发展了群论。对数学分析的研究又建立了集合论。这些新理论都为将经典分析的基本概念和方法概括为统一的观点提供了

4、条件。本世纪初，瑞典数学家弗雷德里希霍尔姆和法国数学家阿达马发表的着作中出现了概括分析学的萌芽。之后，希尔伯特和海岭哲开始了对“希尔伯特空间”的研究。到了20年代，数学界已经形成了一般分析学，即函数分析的基本概念。分析学的很多新部门形成了，因此，分析、代数、集合体的很多概念和方法往往存在相似之处。例如，代数方程根和微分方程解可以应用连续逼近，解的存在唯一性条件也非常相似。这种相似性在积分方程论中更为明显。功能分析的出现正是与这种情况相关的，乍看似乎很不相关，这也有相似之处。因此，它激励我们从这些类似的东西中探索一般的、真实的本质。非欧洲几何的建立扩大了人们对空间的认识。通过n维空间几何的出现，

5、我们可以用几何的语言来解释变化的函数作为多维空间的效果。这将显示分析和几何之间的相似性，并有可能塑造分析几何。这种可能性需要进一步发展几何概念，最终将欧几里得空间扩展到无限的空间。此时，函数概念被赋予了更一般的意义，在经典分析中，函数概念表示两组数字之间建立的对应关系。现代数学的发展是要求建立两个任意集合之间的一种对应关系。首先介绍运算符的概念。运算符也称为运算符，在数学上，从无限维空间到无限维空间的转换称为运算符。在无限维的线性空间中研究泛函数和算子理论，产生了称为函数分析的新的解析数学。20世纪30年代，功能分析成为数学中的另一个科目。二、功能分析的特点和内容函数分析的特点是，不仅概括了经

6、典分析的基本概念和方法，而且几何形象化了其概念和方法。例如，可以将各种类型的函数视为“函数空间”的点或矢量，最终得到了称为“抽象空间”的一般概念。这包括先前讨论的几何对象和其他函数空间。功能分析是研究现代物理学的有力工具。n维空间可用于描述具有n个自由度的机械系统的行为，实际上需要新的数学工具来描述具有无限自由度的机械系统。例如，梁的振动问题是无限多自由度机械系统的一个例子。通常，要从粒子动力学切换到连续介质动力学，请从有限自由度系统切换到无限自由度系统。现代物理学的量子场理论属于无限自由度系统。正如研究穷自由度系统需要n维空间的几何和微积分作为工具一样，研究无限自由度的系统需要无限维空间的几

7、何和分析学，这就是函数分析的基本内容。原因是函数分析也可以通用于称为无限维空间的几何和微积分。经典分析中的基本方法，即利用线性对象接近非线性对象，可以充分应用于函数分析这一学科。函数分析是分析数学中最“年轻”的分支，是经典分析观点的泛化，综合函数理论、几何和代数的观点，研究无限维向量空间的函数、运算符和极限理论。他在20世纪40和50年代已经成为理论完美、内容丰富的数学科目。半个多世纪以上的函数分析利用其他几个学科提供的数据，提取了自己的研究对象和部分研究手段，形成了运算符谱理论、巴纳赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数理论等许多重要方面。另一方面，有力地推动了许多其他分析学科的发展。在微分方程

8、、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、优化理论等领域有重要应用，或者是建立群上谐波分析理论的基本工具，也是研究具有无限自由度的物理系统的重要自然工具之一。今天，其观点和方法渗透到许多工程技术领域，成为现代分析的基础之一。函数分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理等学科中有广泛的应用。近10多年来，功能分析在工程技术上取得了更有效的应用。它也渗透到数学内部的各个分支中，起着重要的作用。三、了解泛函分析空间知识功能有很多空间，在这里，我知道一些重要的空间。1.公制空间我们在做物理、化学、生物学等实验的时候，可以通过观察得到很多值，但总是近似值的时候，自然

9、会考虑近似值与正确值的接近程度，这是数学中反映的极限问题。在数学分析中，中点列的限制用于表示与的接近度，实际上可能表示为数字轴和这两点之间的距离。然后，“实数集点”列将表示和之间的距离收敛为零，即可从workspace页面中移除物件。因此，人们认为如果普通点集也有“距离”，那么点集也可以使用此距离定义界限。距离到底是什么？1.1公制空间的定义Definition 1.1设置为非空集合。如果存在二进制函数，则满足以下所有三个条件：(1)和(非负)(2)(镜像)(3)(三角不等式)，称为前一距离函数，()是测量空间或距离空间，两点之间的距离。Notes:()是度量空间而非空集合时，()是度量空间，

10、也称为()的子空间。我们可以确认，欧氏空间、离散度量空间、连续函数空间、边界序列空间、二次幂和序列空间、二次幂积分函数空间满足距离空间的特性。Appendix:二次幂积分函数空间简介几乎在所有地方都将相同的函数视为相同的函数。具有以下重要特性：(1)线性操作是闭合的。如果是的话其中是常数。(2)。设定，指令因此。(3)，定义(2.6)距离函数。被称为二次幂积分函数空间。1.2度量空间有一个重要的定理Theory 1表示公制空间(1)任意开放集的并集是开放集。有限开放集的交集是开放集。(2)任意闭集的交集是闭集。有限闭包的并集是闭包。(3)和开放集和闭包集。Theory 2设定为测量空间。多点的

11、充分条件是存在中点列。seri 3是度量空间，以下三个说明是等效的：(1)；(2)邻居的所有点；(3)一点热量。Theory 4是度量空间，非空集时闭包的充分条件是。要比较透彻的研究测量空间，必须提到内容。2.映射的连续和一致的连续性Definition 2.1设置x到y的贴图，y设置距离空间，f设置从x到y的贴图。如果任何一方存在，有句话说f是连续的。此外，如果f在x的所有点上是连续的，则f称为x的连续贴图。如果任何一方，只要存在，并且如果它成立，就称为上述一致连续。Example 1是距离空间x的连续函数。其中是x的固定点。Proof:随机x。因为没错，2=2=所以。所以任意，在那个时候，

12、所以，x的连续函数。Theory 2.1设置为距离空间，以下命题相同：(1)连续；(2)所有邻居(，)存在的邻居(3)对于x中的任意点列xn。proof 3360(1)(2):在x0中连续定义和存在，然后。注意，也就是说。所以。(2)(3):是假设，即有n和nN时。具有(2)。因此，(3)(1):反证法。假设在X0中不连续，则存在正数以使每个项目满意，但矛盾。Theory 2.2设置是距离空间.对于连续映射，打开y的所有集可能与打开原始集相同。需要Proof:可能不是空的。林臭，即。g是一个集，所以存在。因为是连续的，是，是，是。也就是说。说明是内部点，因此是打开的集。适当性：如果选择“随机”

13、、“随机”、“开放集”，则假设是开放集，因此存在，即连续。Definition2.2设置两个测量空间、点、任意情况下、存在时以及恒定情况下，二进制映射在点上是连续的。如果上述每个点连续，则称为上述点连续二进制映射。如果上述内容与点无关，则称为上述一致连续。Theory 2.3度量空间中的距离函数是的连续二进制函数。3完整性实数空间r是完整的。也就是说，r的所有基本行都收敛到实数中。现在，我们将这些概念引向普通距离空间。3.1完整性概念定义3.1设定距离空间x的点列xn。如果存在n、m、nN，则xn是x的默认列(或Cauchy列)。如果x的主列在x中收敛，则x是完整的距离空间。Theory 3.

14、1设置为公制空间时(1)“收敛点”列是默认列。(2)基本列是有限的。(3)如果主要列具有收敛子列，则预设列会收敛为该子列的限制。设置proof 3360(1)，然后。那时候，即可从workspace页面中移除物件。(2)设置为基本列，右边，存在，是，记忆，任何一方都有成立，即界限。设定为预设列，收敛子列。当时，当时。拿去，这样的时候，所以。Example 2 Ca，b是完整的距离空间。Proof:设定xn是Ca，b的预设栏，即任何给定、n、m、nN时因此，所有tca，b。因此，Ca，b由一致收敛的Cauchy准则存在，xn(t)由a，b均匀收敛至x(t)，并且x/c a，b。因此，c a，b是

15、完整的。Example 3空间是完整的距离空间。Proof:将的基本列(任意列，存在的n、m、nN)设置为所以1/2k有NK，NK 1nk有由holder不等式所以有众所周知它无处不在，即收敛，所以部分和2=几乎处处收敛(k，因此有函数x(t)。以下证明位于中。假设0、n、m、nN，NN，k0N，kk0时m=nknNN，n应用方法后定理又为什么所以有。最后，由还有。所以得到了。我们知道有理数空间是不完整的，但是添加某一点产生的实数空间是完整的，完整的实数空间具有很多有理数空间无法比拟的好特性和广泛应用。在一般的距离空间中，完整性在很多方面也起着重要作用。那么，可以在不完整的距离空间中添加点，使

16、其成为完整的距离空间吗？答案是肯定的。以下是空间完成的定义和结论。将x，Y设置为距离空间；t : xY，x1，对于x2/x，t是x到Y的等距离映射；x和Y的等距离映射。所有距离空间X必须有完整的距离空间X0，X与X0的密集子空间X 等距，X0是唯一确定的，但等距除外。4可分离性在实际空间r中，玻璃数可能密集在各个地方，并列出整个玻璃数。这个特性称为实数空间r的可分离性。实数空间r也具有完备性。也就是说，r的所有基本列都收敛到实数中。现在，我们将这些概念引向普通距离空间。Definition 4.1将x设置为距离空间，在任何情况下，如果始终存在xn，则a在b中称为稠密(或a是b的稠密子集)。如果B=X，则通常说a在X中密集。Theory 4.1是度量空间，a与b中的下一个命题同等密集。(1)(其中A的多点称为A的闭包)。(2)所有和(x的邻居)都包含a的点。(3)两者之