六年级奥数讲义第28讲表面积与体积

1、第28主表面积和体积(2)主题分析：解决立体图形的体积问题时，请注意以下事项：(1)物体沉入水中后，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸入水中的情况。如果物体没有全部浸入水中，沸水的体积将等于浸入水中的那部分的体积。(2)把一个形状的物体变成另一个形状的物体后，形状改变了，但体积保持不变。(。(3)求不规则体积时，可以变形求体积。(4)在求与体积相关的最大、最小时，要勇于思考，多思考，多尝试，防止事故发生。范例1:有三个立方体湖，每一个长6米、3米、2米。两个石子分别沉到中、小钉子上，两个钉子的水面分别提高了6厘米和4厘米。如果这

2、两堆石头都沉入大池，大池的水面会上升多少厘米？中、小水池上升部分是体积与砾石体积相同的箱子。两个水池的水面分别上升到6厘米和4厘米，两个石堆的体积为330.06 220.04=0.7(立方米)。把它沉到大池子里，水面上升部分的体积为0.7立方米，除以其底部可以上升几厘米。330.06 220.04=0.7(立方米)0.76的平方=7/360(米)=1和17/18(厘米)答：大游泳池的睡眠增加了1 17/18厘米。练习1:1.有三个大、中、小的立方体湖，每个都有4米、3米和2米的内部长度。两个石子分别沉到中小池的水中，两个池的水面分别上升到4厘米和11厘米，如果两个石堆都沉到大池中，大池的水面会

3、提高多少厘米？2，直径20厘米的圆钢，锻造增长，宽度，高度分别为30厘米，20厘米，5厘米的箱钢板，需要截留圆钢的长度(准确地说是0.1厘米)？3.3个表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的铁正方形，不管损失如何，用大正方形铸造，求这个大正方形的体积。范例2:在底面半径为10厘米的圆柱形瓶子中，水深为8厘米的罐子里，放入长度和宽度均为8厘米、高度为15厘米的铁块，使铁沟浮在水中，水面会上升多少厘米呢？在瓶子里放一个铁块，要考虑铁块是全部沉入水中，还是部分沉入水中。如果铁全部浸入水中，沸水的体积为8815=960(立方厘米)。现在，瓶子里的水芯为8厘米(3.141010-88英寸)

4、，高15厘米(8-10英寸)的铁块要浸入水中，水升至15-8=7(厘米)，开水要排水的体积为(3.141010-88) 7=1750(立方厘米)。把铁放进瓶子里，里面的水接触的底部就变成3.141010-88=250(平方厘米)。水的形状发生了变化，但体积仍为3.1410108=2512(立方厘米)。水的高度为25250=10.048(厘米)，上升到10.048-8=2.048(厘米)3.1410108 (3.141010-88)8=25250-8=10.048-8=2.048(厘米)答：睡眠上升了2.048厘米。练习2:1，地板面积为15平方厘米的玻璃杯里有3厘米高的水。现在，把一个底面半径

5、为1厘米、高度为5厘米的圆柱形铁制铁垂直放入玻璃杯水中，问水面上升了多少厘米(3)？2，一个圆柱形玻璃杯盛水，水面高度为2.5厘米，玻璃杯内底面积为2平方英里。在这个杯子里放入棱镜长度为6厘米的正方形铁块后，当水面没有被铁块锁住的时候，水面的高度是多少厘米？3.底部60厘米的方形矩形容器里，有一根长100厘米、底部15厘米的方形棱柱铁棒。容器里的水有50厘米深。现在，把铁棒向上稍稍抬起24厘米，露出水面的四棱镜铁棒部分湿了多少厘米？范例3:一家面粉厂的体积是宽度的2倍，24立方米的箱子谷物贮罐。贴上最大的内部面，把面粉堆成最大的半圆角时，求出这堆面粉的体积(见图28-1)。如果圆锥体的底面半径

6、为r，长方体的高度和宽度也为r，长度为2r。长方体的体积为2rrr=24，即r的立方=12。用1/3r的平方R2=1/6r的立方=12替换这个半圆角的体积，就可以求出面粉的体积。如果圆锥体的底面半径为r，则长方体的体积为2rrr=24，r的立方=12。1/33.14r的平方R2=1/63.14r的立方=1/63.1412=6.28(立方米)a:这堆面粉的体积是6.28立方米。练习3:1、已知圆锥体的底面半径和高度等于216立方分米的立方体的寿命。求这个圆锥体的体积。2、正方形纸盒可以装入恰好6.28立方厘米的圆柱体，如图28-2所示。纸盒的体积是多少？3.14？3，扔在图28-3中，圆锥描述符

7、包含3升水，水面是圆锥高度读取的一半。这个容器能装多少水？示例4:如果包装12个相同的箱子项目形成一个大包装，有几种包装方法？如何包装物体的表面积最少？将长方体项目的长度、宽度和高度分别设置为a、b、c和a b c(土壤28-4)。比较“34”和“26”两种打包方法。图28-5中的大箱子表面积为6ab 8ac 24bc，图28-6中的大箱子表面积为4ab 12ac 24bc，在两个公式中曲艺相同的部分4ab 8ac 24bc后，式大小取决于2ab和4ac的大小。(1) b=2c时2ab=65500ac，两种封装方法相同。(2) b 2c中“26”的包装方法表面积最小。练习4:1，8厘米长，7厘

8、米宽，3厘米高的两个相同的箱子物品包装形成一个大包装，有几种包装方法？如何包装，物体的表面积最小吗？2，漂亮的小礼品盒的形状是9厘米长6厘米高4厘米的箱子。请帮我设计一个可以放10个小礼盒的大箱子。你认为如何设计更合理吗？怎么了？一包香烟的形状是9厘米长5厘米宽2厘米高的箱子。把10包香烟包装在一起做了一个大箱子。怎么包装？计算需要多少包装纸(包装不叠纸读)。你认为哪个包装更合理？示例5:集装箱，内部大小为181818。现在有批处理容器，外部大小为149。问这个容器能装多少个容器。容器内的大小18不是容器大小4的倍数，因此只能在181618的空间装运货物，并放入181618(149)=144(

9、万)。还有18218个空间，但只能在18216个空间装运货物，并可以放入18216(149)=16(万)。1822年剩下的空间不能再装运货物，可以装载到144 16=160(万)。181618(149) 18216(149)=144 16=160(仅限于)答：这个容器可以容纳160个容器。练习5:有一个盒子，从里面长40厘米，宽12厘米，高7厘米。这个箱子能装多少长5厘米、宽4厘米、高3厘米的箱子木块？对于长度、宽度、高度分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房，大地尽可能地剪切下一个正方形，从其馀部分开始，大地尽可能地剪切下一个正方形，最后从第二个剩馀部分开始，大地尽可能地剪切下一个正方形，

10、剩下的体积是多少立方厘米？有3，40厘米长，20厘米宽的矩形铁皮。用这个可以制作5厘米长的没有箱盖的铁皮盒子(焊接处和铁皮厚度无数，体积越大越好)。铁皮盒子的体积是多少立方厘米？回答：练习11，(320.04 220.11)42=0.05m=5厘米2302053.14()2 9.6厘米3，大正方形的体积等于三个小正方形体积的总和。546=9平方厘米9=33其体积为333=27平方厘米966=16平方厘米16=44体积为444=64立方厘米1506=25平方厘米25=55它的体积是555=125立方厘米27 64 125=216立方厘米练习21、把铁都放入水中，倍数的体积为3125=15立方厘米

11、，要提高2厘米的睡眠，必须将铁倍数(15-312) 2=24立方厘米。可见铁块都不能放在水里。153 (15-312)-3=厘米2、杯里水的体积为722.5=180立方厘米放入铁块后，底部面积为72-62=36平方厘米；水面高度：18036=5厘米3、容器中水的体积：(602-152) 50=立方厘米；举起铁棒后浸入水中的部分长度：(-60224)(602-152)=24.4厘米。露出水面的赤身段长度：50-24.4=25.6厘米练习31、如果将此圆锥体的底面半径设置为r，则正方形的体积为R3=216，圆锥体的体积为2，如果将圆柱体的底面半径设置为x，则正方形的寿命为2r。圆柱体的体积为r22

12、r=6.28，即(2r) 3=8 R3=8立方厘米3，如果容器的底面半径设置为r，则水面半径为。水的体积为：()2=3，即r2h=72。容器的体积为72=24升，可容纳24-3=21升。练习41，20.56 (1 1 3.14)=4分米3.14 () 24=50.24立方分米2、在长方体内：(1)高度宽度=(365-5)2=180厘米(2)高度长度=(405-5)2=200厘米(3)长宽=(485-5)2=240厘米(4) (2)-(1)路得：200-180=20厘米长度：(240 30)2=130厘米厚度：200-130=70厘米宽度：240-130=110厘米13011070=立方厘米=1

13、.001立方米3，瓶子的体积等于地板面积相等，高度为20 5=25厘米的圆柱体的体积。饮料的体积相当于缸的底部，高20厘米的缸的体积，因此饮料的体积占瓶子的体积：=。30=24立方分米练习51.长方体的高度为7厘米，正好是木块的宽度和高度之和为12厘米，正好是木块宽度和高度的倍数，可以用拼写方法填充长方体，如图27-4所示。最多4027 (543)=56个2.第一次切割的正方形长寿应该是12厘米长，剩下的部分如图27-5所示。其中大部分是长21-12=9厘米、宽15厘米、高12厘米的箱子。第二次切割的立方体长寿应该是9厘米，剩下的部分是长9厘米、宽15-9=6厘米、高12厘米的长方体，如图27-6所示。第三次切割的立方体长寿应该是6厘米。上下体积：211512-(123 93 63)=1107立方厘米制作这个铁盒的方法比较多，但容积不同。第一个是截取铁皮舱的四角，边长5厘米的正方形。其体积为(40-52) (20-52) 5=1500立方厘米。第二种方法是，从