12几何新方法的开创与几何学的大革命

1、第十一章,几何学新方法的开创与几何学的大革命,一种新的数学方法引入数学，往往会产生一种新的数学分支。在几何中新的数学方法，便产生了一系列的几何学的新分支。笛卡儿和费玛把代数方法引入几何。创立了解析几何；笛沙格、帕斯卡、彭色列把射影变换引入几何，开创了射影几何学；欧拉、蒙日将微积分方法引入几何，创建了微分几何学。但是上述方法的创新、对象的扩大，而思想体系仍然是属于传统的欧氏几何。在几何学的发展过程中，由于人们对平行公设的否定，突破了传统的欧氏几何，创立了非欧几何，成了几何学上的一场大革命。,1、射影几何学,射影几何学起源于绘画的透视。这甚至可以以上溯到远古时代。欧洲文艺复兴时期透视学的蓬勃发展，

2、给射影几何的成长准备了良好的条件。射影几何真正的创立是在17世纪，它最早的奠基人是法国的两位数学家笛沙格和帕斯卡。,笛沙格,1591年生于法国里昂，1661年卒于同地。笛沙格曾在法国军队当过军官，以后在巴黎公开讲学，又当过建筑师和工程师。他自学成才，对透视学极有研究。,笛沙格的学术成就及影响,1636年他在巴黎出版了用透视法表示对象的一般方法一书，这是射影几何学的第一本著作，在这本书中，笛沙格已引入了无穷远点、无穷远线、交比、对合等射影几何的许多概念。笛卡儿、费玛、帕斯卡等对此都极为推崇。“帕斯卡曾一度把笛沙格看作是他的大部分灵感的来源”。,帕斯卡,1623年6月19日生于法国中部克勒蒙菲朗，

3、1662年8月19日卒于巴黎。他12岁就发现了三角形内角和定理，16岁就发现了射影几何的一个出色定理帕斯卡六边形定理。他从这个定理出发，导出了400条以上的推论，对射影几何做出了重要贡献。,帕斯卡遗事,帕斯卡终生为病魔所缠，失眠症和牙痛症经常骚扰他的安宁1658年某夜，难以忍受的牙疼折磨着帕斯卡，使他彻夜不能入睡。一气之下，帕斯卡奋起工作，竭力思索摆线的道理。说也奇怪，竟使他忘却了痛苦。于是穷八昼夜之功，完成了摆线论的名著，解决了许多摆线问题。这对年青的莱布尼茨有很大的影响。25岁时，当他正享有科学家的盛誉，竟突然决定放弃这些科学研究，献身于哲学和宗教。这种难以理解的行动，不能不是科学的极大损

4、失。,彭色列（1788.7.1-1867.12.23）,彭色列是蒙日的学生生于法国梅斯,卒于巴黎在巴黎理工科大学学习,1812年参加军队,远征莫斯科,惨败。1813年被投进监狱，在狱中，他潜心研究图形经过投影后不变的性质，进而开辟了新的几何领域。1814年6月出狱后，将狱中心得整理，于1822年完成巨著论投影的性质，形成了系统的理论，使射影几何成为数学的一个新的分支。,射影几何学的发展,在彭色列之后，斯坦纳推进了射影几何的综合的发展，他1832年出版了几何形的相互依赖性的系统发展；查斯纳斯继承了彭色列和斯坦纳的工作，弄清了“交比”的含义，引进了“非调和比”（即交比）、“单应”、“对射”等概念，

5、给出了查斯纳斯定理；此后，梅比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868,德）、普吕克引进了齐次坐标，开创了代数的射影几何，使彭色列的射影几何推到一个新的高度。,2、微分几何,微分几何是以微积分为工具研究曲线和曲面的性质及其推广应用的几何学。微分几何在很大程度上是微积分和微分方程的自然产物。其基本内容是采用无穷小的方法来研究曲线和曲面的性质。“微分几何”这一术语是比安基（L.Bianchi,1856-1928）在1894年第一次使用的。克莱罗1731年出版的关于双重曲线的研究可以看作微分几何的开端。,微分几何的发展（）,克莱罗在1731年出版的关于双重曲线的研究中，论述了空间曲线（他称为“

6、双重曲率曲线”）的基本问题，研究了它的切线和法线，空间曲线弧长的表达及某些曲线的求积公式。,克莱罗,微分几何的发展（2）,微分几何发展的第二个重大步骤是由欧拉给出的。欧拉给出了扭曲线理论的完整论述；他用参数方程x=x(s),y=y(s),z=z(s)表示空间曲线；他引进了球面指标线，给出了曲率半径的定义；他还给出了曲面上测地线的微分方程。1760年，在他的关于曲面上曲线的研究中建立了曲面的理论，这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史中的里程碑。得到欧拉定理，即截线的曲率x=x1cos2+x2sin2,欧拉,微分几何的发展（）,微分几何发展的第三个重大步骤是由蒙日来实现的。蒙日是

7、画法几何的创始人，且对彭色列创立射影几何有重大影响，另外，他还是偏微分方程的几何理论的奠基者蒙日在1809年发表了分析在几何上的应用，该书除对空间解析几何做了系统研究外，基本上形成了微分几何的雏形。蒙日在三维微分几何方面所开创的结果远远超过欧拉，而且在微分几何的应用上有杰出的贡献。“尺有所短，寸有所长”,蒙日（1746.5.10-1818.7.28）,蒙日,法国数学家。出生于博恩。其父是农民兼经小商。蒙日兄弟三人都受到良好的教育，后来都成为数学教授。1784年热情地参加了法国革命，担任过革命政府的海军部长。在波旁王朝复辟后，受到残酷迫害，被开除出科学院并剥夺了养老金。1818年忧郁重重而与世长

8、辞。,微分几何的发展（4）,微分几何发展的第四个重大步骤是由高斯做出的。1827年，他在关于曲面的一般研究中，对三维空间中曲面的微分几何做出了决定性的论述，完善了曲面微分几何的理论与方法，更为重要的是高斯提出了一个全新的概念，即一张曲面本身就是一个空间，这个概念嗣后为黎曼所推广，从而在非欧几何中开辟了新的前景。,高斯（1777.4.30-1855.2.23）,1827年著述的关于曲面的一般研究一书，其中对曲面论的研究是近代微分几何的开端。,达布的贡献,达布达布（18421917）Darboux，Jean-Gaston法国数学家。1842年8月14日生于尼姆，1917年2月23日卒于巴黎。186

9、1年考入巴黎高等师范学校，1864年毕业，1866年取得博士学位。1867年在中学任教，1872年在巴黎高等师范学校任教，1881年4月任巴黎大学理学院高等几何学教授，18891903年任理学院院长，后任名誉院长。1872年创办数学科学通报。1884年当选为法国科学院院士，1900年任科学院几何学部终身秘书。达布的主要贡献是曲面的微分几何学。他早年研究三重正交系理论，后研究测地线、曲面的可映射性及曲面变形。他发展了活动标架法，使它成为以后的重要研究手段。他的主要成就总结于曲面一般理论讲义（4卷）和正交系讲义之中。他对微分几何学的研究也导致一些偏微分方程和理论力学的结果。在一阶偏微分方程的奇解理

10、论上和黎曼积分理论的发展上也作出重大贡献。以达布命名的概念及定理达布积分达布函数辛拓扑中的达布定理实分析中的达布定理，和中值定理相关克里斯托费尔达布恒等式克里斯托费尔达布公式达布公式达布向量欧拉达布方程欧拉泊松达布方程达布三次式达布或者Goursat问题,达布在1887-1896年间完成4卷巨著曲面的一般理论，该书集曲线和曲面微分几何之大成，成为一本相当全面的微分几何著作。由于出自对数学分析和微分方程掌握得极为娴熟的学者之手，这部著作把微分几何与微分方程以及力学紧密地联系在一起。,对现代微分几何发展有影响的数学家,法国的埃.嘉当，他与1932年提出的一般联络理论，是纤维丛概念的开端，他还是微分

11、几何这一学科中利用外微分形式和活动标形法的首创者。美国数学家莫尔斯与1934年创造的大范围变分理论，为微分几何提供了新的有效工具。,3、非欧几何几何史上的一场大革命,从公元前300年至公元1800年，人们一直认为，欧氏几何物理空间的正确的理想化的学说，但是在这两千年中人们对第五公设（又称欧氏平行公理）的怀疑也一直存在着。为了去掉“瑕疵”，从公元五世纪以来，不少人终生为之奋斗，甚至连一些数学造诣深邃的数学家，如瓦里斯、达朗贝尔、拉哥朗日、勒让德等也加入了这一行列，但是最终，他们得到一些与第五公设等价的命题外，再未取得新的成果，打开新的局面。,一。个等价命题的证明：如果任意三角形内角和都等于，那么

12、过线a外一点A只能引进一条直线与a不交。证明过A引a的垂线AB，并过A引AB的垂线b，则a与b必定不交。假如另有一条直线AC与a不交，记锐角BAC为，在直线a上取点B1，使B1、C在AB同侧，且使AB1B=。按假设，直角ABB1内角和等于，所以B1AB=aCAB=，（因为）。于是，作得一个ABB1,而直线AC经过其内部，所以AC必与底边BB1相交。这与AC与a不相交的假设矛盾,非欧几何学的先兆,从反面证明第五公设，意大利耶稣会教士、数学家萨凯里（16671733）于1733年第一次发表了其极具特色的成果。德国数学家兰伯特也得到相同结果。离开了求证第五公设的目标，朝向创造非欧几何的目标靠拢，但是

13、，他们没有认识到欧几里得几何并不是在经验可证实的范围内描述物质空间性质的唯一几何。“而只是说第五公设是不能证明的”。,几何学上的一场大革命（1）,掀起几何学上的一场大革命并创立了非欧几何的是高斯、鲍耶和罗巴切夫斯基。第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯。1792年他已经有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容：一是除欧氏几何外存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中第五公设不成立。1799年，他再次强调第五公设在欧氏几何中无法证明，并认真开发新几何的内容。从1813年起，高斯先后称他所设想的几何为：“反欧氏几何”、“星际几何”、“非欧几何”等。但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密，他谨慎地隐

14、藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞”而遭人耻笑，因而很少发表。,高斯,高斯是19世纪的数学明显，与阿基米德、牛顿并列为数学史上的三大数学家，这位昔日神童的数学业绩遍及整个数学王国，后人感叹说：“高斯是能通晓整个时代全部数学的最后一个人。”,几何学上的一场大革命（2）,从时间上说，紧接高斯之后提出非欧几何设想的是匈牙利的数学家鲍耶。,鲍耶（J.Bolyai,1802-1860）,鲍耶自幼勤奋好学，13岁就掌握了微积分，并把它应用到力学上去。他的父亲是高斯的挚友，是终身从事证明“第五公设”而无所收获的数学家，曾劝儿子“不要再作克服平行公设的尝试”，以免剥夺儿子“生活中的一切时间、健康、

15、休息和幸福”，但是小鲍耶未听劝告，仍然不懈地研究“第五公设”。,他的非欧几何思想产生于1820年，这时他才18岁。1823年已发展到相当完善的地步，他大胆地从“三角形之内角和小于1800”出发，建立了一套完整协调、天衣无缝的新几何体系。其父将其成果信告高斯，过分小心的高斯既不敢发表自己的成果，也不敢对小鲍耶给以满腔热情的支持，致使小鲍耶非常灰心，发誓永远不再研究数学。直到1832年，小鲍耶的所谓“绝对几何学”才作为他父亲一本著作的“附录”问世，但这已经太晚了，1826年罗巴切夫斯基已开始发表这方面的论文。,几何学上的一场大革命（3）,1826年2月11日罗巴切夫斯基在喀山大学自然科学论坛上，宣

16、读了题为几何原理概述及平行线定理的严格证明的论文，公开宣布自己几何新思想的科学性、正确性、严谨性和不可动摇性。然而结果是惨淡的，无知和偏见压抑了新思想，论文不仅没有通过，而且被丢失。1829年再度把他的卓越发现写入几何学原理一文之中，并在喀山大学数学通报上发表。但他那超时代的精湛理论当时并没有得到科学界的公认。直到他去世12年后（1868年），意大利数学家贝特拉米在“非欧几何”的实际解释一文里给出了罗氏几何在欧氏空间的伪球面上的解释，罗氏几何才逐渐被确认。,意大利数学家贝特拉米给出了罗氏几何在欧氏空间的伪球面上的解释,1868年，意大利数学家贝特拉米在“非欧几何”的实际解释一文里给出了罗氏几何

17、在欧氏空间的伪球面上的解释，罗氏几何才逐渐被确认。,罗巴切夫斯基几何,罗巴切夫斯基几何（他自己称“虚几何学”）的平行公设是“过直线L外一点C可以作两条不同直线与已知直线L平行”。且把过C点的全部直线分成三类：1、同L相交的直线，也称会聚线，如图中的CM、CN等。2、L的两条平行线，如图中的CK、CH。3、同L不相交的直线，如图中的CC1、CC2。罗巴切夫斯基由此展开，按照严密的逻辑论证，得到一个与直观相抵触的几何世界，出现了一系列人们所不易接受的古怪定理，难怪,当时人们不理解、不接受。但是罗氏几何确实也反映了现实世界的客观规律，从而作为几何学一场大革命的胜利硕果而屹立在数学王国之中。,罗巴切夫

18、斯基(.，),“喀山的耻辱”-“喀山的光荣”！罗巴切夫斯基并不被讽刺、嘲笑和恶意中伤所吓倒，坚持自己新几何的正确性，所以，从创立新几何的贡献和对新几何的捍卫来评价，罗巴切夫斯基对创立非欧几何功绩最大，应称罗巴切夫斯基几何学。,黎曼几何,1854年，黎曼继罗巴切夫斯基之后，在哥廷根大学宣读关于几何基础的假设的论文，他从“过直线外一点不存在直线与已知直线平行”的公理出发，产生了另一种非欧几何体系黎曼几何学。但是到会听众之中，除了77岁高龄的“数学之王”高斯外，没有人能完全听懂他的论文。黎曼的该项杰出成果仍然摆脱不了被埋没、冷落的厄运，直到很久以后才显出它耀眼的光辉。,黎曼,德国数学家。1826年9

19、月17日，生于汉诺威的布雷塞伦茨。牧师之子。在哥廷根大学和柏林学习过。1851年在哥廷根大学获得博士学位。1866年任哥廷根大学教授，同年被选为英国皇家学会会员和法国科学院院士。一生只活40年。但在数学各领域都作出了划时代的贡献！,4、克莱因与爱尔兰根纲领,问题：异彩纷呈的几何学：欧几里得几何学、解析几何、微分几何、画法几何、射影几何-，罗氏几何、黎氏几何，黎曼微分几何、非阿基米德几何、非笛沙格几何，研究三维以上代数曲线与代数曲面的几何性质的代数几何，拓扑学（也称位置几何，俗称橡皮几何）-这些门类繁多的几何之间有什么联系？怎样进行分类？,克莱因与爱尔兰根纲领,德国优秀数学家F.克莱因1872年在进入爱尔兰根大学在向大学评议会和哲学院作的就职演说中，出色地用变换群的观点作出了几何学的科学分类，这篇演说就是现在所称著名的爱尔兰根纲领。其基本观点是，每种几何都由变换群所刻划，每种几何研究的就是在这个变换群下