几何教学漫谈

1、几何教学漫谈,纯属个人看法,提个问题：能否利用一个知识点沟联起全部几何知识？（当然这个知识是可以任意选取的）,当你做到时，你基本就进入了平面几何教学的自由王国，这时你才可能有教学的自主权。,一、一般性认识从中学数学教学设置的角度看问题，这个事情似乎没什么可以商量和研究的，因此，就使我们的教学习惯性的进入常态，只有当遇到问题时才想起要研究点什么？实际上有这样几个问题需要研究：（1）为什么学平面几何知识？（2）几何学什么？（3）学习平面几何要经历什么？（4）为什么几何难学？,1.为什么学习平面几何知识？学习一些必备的基础的几何知识；完善初等数学的知识体系；从一般认识上讲，学习与体验逻辑推理。其实更

2、为重要的实质意义是：渗透公理化思想，感受公理化思想的作用和意义。这个问题是在执行新课程标准后才真正体会到的，原因是多方面的，根本原因是在此之前把重心一直放在解决平面几何教学的难点上，把研究的重心放在解决几何问题上了。要清楚学习平面几何的体系只是一百年左右的事，其意义就很清晰和明确了。,2.平面几何在学什么？对这个问题的认识决定着几何教学的根本效果。是以图形为研究对象的学科；是以研究两个或两个以上图形之间关系的学科；是以培养几何直观为出发点，确立图形思维为基本目的的学科。,3.学习平面几何要经历什么？学习几何的过程实际上经历了两个层次的过程,即思维伴随着知识的学习而形成的过程。第一个层次：经历几

3、何图形由一个点引发出一条线，进而形成以直线形为基本图形的知识体系,体会图形形成的基本过程；第二个层次：经历学习几何过程中思维的三次提升，即直线形以由果索因；相似形由因导果；圆两头凑。,4.为什么几何难学？几何难学是不争的事实。几何难教也是教师的共同体会。产生这种现象的原因是多方面的，既有前面提及的问题，更有下面的问题：（1）不是与生俱来的；（2）不是由小就培养的；（3）小学与中学的衔接与差距；（4）我们的教学中自身出了问题。,现在就我们教学中出的问题谈点客观的认识，主要问题出在：（1）常说学几何要过语言与图形以及符号之间相关联的关，但是忽视了这三者中谁是最主要的，也是最基本的对象，即图形应该是

4、最基本的元素，没有图形就不能有与之相关联的语言和符号。而恰好是这个最基本的问题被忽视，我们更关注定义和定理的语言表达和记忆，因此学生学的是空的几何和缺少根基的几何。这也是学生都会背定理而不会解题的原因之一。,（2）在定义或者定理的教学中，关注定义和定理本身不够。在我们的教学中，对问题的引入可能很关注啦，但是一旦形成定义，对定义本身的理解和研究不到位，忽视了几何研究的对象和问题就源于此，例如我们讲平行线，当得到判定或者性质后就直接研究其应用，而忽视了平行线只是两条直线的关系和第三条直线有什么关系？以及为什么要借助第三条直线？而平面几何的真正意义的应用是从平行线开始的，它是怎么用的？用时会出现什么

5、问题？这些新问题怎么解决？为什么这么解决等问题都和定义本身相关联。,（3）过早的进入模式化，是教学中使教学失去其本来意义的最大的问题。可以理解的是一定的模式化可以帮助学生认识一些问题和解决一些问题，但是要有一个度。举个最简单的例子，全等三角形问题。首先要理解和体会的是全等三角形在研究什么，全等三角形和所说的那些模式有什么关系呢，其实什么关系也没有。因为全等三角形只是两个三角形的一种关系，至于这种关系怎么形成的，可以肯定的说，它们和那些模式一点联系也没有，如果有关系，那么全等三角形就应该用这些关系定义啦。但是由于教学中我们的引导，使本来要体会研究两个三角形之间的关系变的是次要了（有些情况是因为教

6、材的设置造成的），失去了研究的真正的价值。,（4）在教学中我们对例题和习题的设计不是很讲究，为什么这么说呢？我们设计例题或者习题的依据是什么呢？从哪几个角度设计？有没有标准？可以明确的说是有标准的。例如，角平分线定义的学习。对这个简单的知识的认识不能简单处理，通常的做法是，设计一些角度的计算，再给出一些变式的计算就认为到位了。其实要认识到角平分线是与位置有关，且因位置形成数量关系的知识，那么位置在其中起什么作用更应该是引起足够重视的问题。而更为重要的应该是它和其他图形可以形成什么问题的研究，因此也要设计例题或者习题。,（5）在教学过程的设计中，出现一些不该出现的问题。平面几何的最明显的知识特征

7、是其严谨的逻辑性和公理性。那么在我们的教学中就不能违反这个特征。在设计一节的引入时，就要考虑，你所举的例子与本节课所学知识之间的逻辑关系是什么。一般讲应该从旧知识中发现矛盾或者可进一步研究的问题形成引例，或者从一种现象中引发研究，而不应该把本节课的应用设计成引例。设计的倒置容易给学生造成逻辑关系上的不清晰。,二、一些根本性的认识和看法（一）教学理念1.把自己的思维调整到与学生思维同步的水平思考问题。平面几何是新的、自成体系的知识，那么对于它的思考也是新的、自成系统的，因此我们认识的起点就需要和学生基本保持同步，这就需要我们思考学生的思维起点在那儿，每一个新知识的提出都需要考虑这个问题，并且都要

8、思考怎么体现这种思考，怎么实现这种思考。,2.不要先入为主的，把教师的认识按自己的认识传递给学生。这个问题之所以提出，实际意义就在于，学习平面几何是学生必须经历的过程，在这个过程中需要经历什么，应该由学生自己完成，或者在教师的引导下完成，而不是在教师的自以为是的安排下完成。这个问题主要是指对几何问题的界定，这个问题是难还是不难是由知识体系决定的，不应该由教师的经验决定。,（二）要遵循的一些基本的教学原则我们这里所说的原则是指在具体的实施中需要遵循的一些规则。而不是指对教学整体的基本原则，例如因材施教原则、科学性原则、可接受性原则等等。（1）理解和诠释好知识首先要明确一个问题，我们在备课中经常在

9、对目标的描述中，出现一些问题，例如，定义与概念的使用。我们知道定义只是对每个具体的学习对象的范围、条件和结论的描述，也就是说对象是十分具象的，但是在我们的表述中却用某某概念，例如，角的概念和角的定义的意义是不同的，角的概念涵盖了与角相关的知识。再有就是行为动词的应用，界定的不准确，因此使我们的教学就容易过激或者过缓。,我们把这个问题放在第一位的原因是很简单的，学习平面几何的对象是图形，那么对这个图形的认识要准确而明确。例如，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。（1）首先是唯一确定的三角形，那么唯一图形的确定需要什么条件；（2）要满足什么条件的两个三角形才能完全重合；（3）两个三角形的初始位置

10、在那里？,（2）讲清图形的特点、特征、特性我们研究的对象是图形，那么对图形的认识，不能只满足于理解它是什么？更为重要的是理解图形的发生和发展的联系。对图形而言，我们知道当只有一个图形时，只可能形成它是什么，它有什么的问题。而只知道它是什么是不够的，需要了解，它是怎么演变来的，它和谁有关系与联系。,那么就需要对新学习的图形属于什么图形要理解和认识。我们这里所说的特征是指几何知识中的位置、数量问题。换句话说，所学的图形是研究位置的问题还是研究数量的问题要明确，或者是利用数量研究位置还是利用位置研究数量。那么当研究是位置问题时，位置在其中所起的作用是什么，数量在其中的作用又是什么要明确，例如，角平分

11、线就是与数量有关的知识，但是它也是和位置相关的，因此关于它的应用中最难的就是与位置相关的问题。,（3）关注初始性知识，尤其是关注方法性知识的第一次出现。我们这里所说的初始性知识是指第一次出现的知识。例如角、相交线、平行线、三角形、四边形、圆等都属于初始性知识，这些初始性现象决定着与之有关的知识的学习方向和学习内容。例如，圆。圆的定义表达了它与直线形之间的最大区别，以及圆所需要学习的知识。,再有就是方法性知识问题：我们在学习平面几何时，经常会遇到寻求解题方法的问题，那么这些方法的寻求是依靠什么得到的呢？对学习者而言，他们不可能有经验，依靠模式也需要解决模式怎么产生的问题，而真正的认识这个问题，实

12、际上涉及到我们学习平面几何的基本认识以及落实知识的基本方法与方式。,实际上学习平面几何是需要讲究方法的，更重要的是需要把握解决问题的钥匙。其实在我们学习知识的过程中就存在着，提示解决问题的方法与方式的情况。在我们学习平面几何的过程中，例如，平行线、三角形内角和、等腰三角形、角平分线性质、中位线定理、垂径定理、圆周角度数定理，还有圆内接四边形的判定等就是方法性知识，由于它们的学习才形成了类似的解决问题的方法，那么就需要解决这几个定理的认识和理解的问题。,（4）要善于抓住新知识与旧知识的差异我们之所以要谈这个问题，就是在常态教学中需要我们注意的。从平行线到三角形，三角形相比较平行线的差异是什么？三

13、角形有了边和内角的概念，那么三角形研究的对象就确定了，即研究边和内角，还涉及到可能新出现的图形，即高、中线、角平分线等；类似的四边形和三角形相比较，四边形出现了对边和对角，那么它首先需要研究的就是对边和对角，当然四边形还多了对角线，因此就形成了研究对角线的所有问题。,同样的圆和直线形比较会出现什么呢？从圆的定义中就发现它与直线形的区别不单单只是线形的问题，最重要的是圆的定义告诉我们：圆是两个图形，即一个圆心，一个是外周界。因此就形成了研究圆时必须从两个方面着手，当先研究一个新的图形和外周界的关系后，还需要研究这个图形与圆心的关系。除此之外，圆中的图形还具有不确定性，确定图形的唯一性就成为研究圆

14、知识的基本状态。,（5）引导把握图形的演变我们之所以提出这个问题，实际上是想引发大家想一个问题，在我们研究一个图形时，怎么研究的？我们关注了什么？我们在前面提到过，即研究这个图形与其他图形可能形成的关系。因此我们谈把握图形的演变，就是想引起大家足够的重视。那么谈两个图形的关系，怎么研究呢？,对于两个图形而言，实际上存在着两种情况，其一是同类图形问题。（1）一般图形；,（2）特殊图形我们这里说的特殊图形就是指例如等腰三角形等图形。,其二，不同类图形问题，从平面几何问题的构成上讲，这是最基本的，也是最常见的情况，因此我们只就这里的一些问题谈点看法。,（6）合理利用一个图形在不同背景的作用对于这个问

15、题的提出实际上就是从在教学中经常出现的问题中发现的。平面几何知识作为一个体系，在体系中各个图形之间的联系与关系是内在的，是符合逻辑关系的，但是在具体的研究一个知识中，被我们忽视了，把一些具有内在关系的联系当作没有任何联系的图形了。,一个具有可能是内在的图形关系，这就需要我们加强理解与认识。这样的图形比较多，我们就举一个例子说明问题。在我们学习互为邻补角的知识时，曾经遇到过这样的一个问题：作这两个邻补角的角平分线，说明这两条角平分线相互垂直。,在后面学习中这个图形的出现就带有重要的提示性作用。例如，四边形ABCD中，ADBC，BCCD，且AE，BE分别是角平分线，问AD+BC与AB的关系,又例如，四边形ABCD中，E是BC中点，AEED，B与C互余，