数论ch0-绪论

1、初等数论,自我介绍张习勇信息工程学院四系一教电话：(635)31644(O);(635)31420(H-mail:xiyong.zhang主要从事代数学、密码学方向课程的教学工作，以及应用代数、数论和密码理论的研究工作。,数论问题例子,10000天后的今天是礼拜几，是公历几号？孙子算经（公元34世纪）：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？证明9能被221145587722整除，该数除以11等于几？3100的个位数、十位数是多少？百鸡问题（公元5世纪，我国张丘建）凡是大于4的偶数都是两个奇素数的和（Goldbach猜想）若xn+yn=zn

2、，当n2时无整数解（Fermat猜想，1995年由Wiles证明）,课程要求1、预习。大学学习之重要环节。培养自学能力最佳途径，当重视之。参考书：不需要。2、上课认真听课,努力争取当堂知识当天掌握，适当做笔记。3、认真完成作业。学数学就要做数学，通过做作业可以提高对知识的理解能力，使自己对各种定理的内涵有更深的理解，要求认真、工整、按时按量完成。4、做好小结，经常复习，巩固所学知识，建议每一章学完后都做一次小结。,绪论,数的发展史自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R复数集C,数论简介,数论是研究整数性质和方程（组）的整数解的一门学科.数学中最古老的分支之一属于基础数学学科应用广泛:计算机科学、

3、组合数学、代数编码、信号数字处理,密码学等.高斯(德1777-1856):数学是科学的皇后,数论是数学的皇后.,数论发展简史,起源于东方，大约有3000年的历史。我国最早的数学名著周髀(易)算经记载了西周人商高知道方程x2+y2=z2的解。我国古代孙子算经（公元45世纪）中给出了解一次同余式组的算法，也叫孙子定理。公元前三世纪，古希腊人Euclid在几何原本中证明了素数是无穷多的，特别重要的是给出了求两个正整数的最大公因子的算法；丢番图(Diophantus)（公元3世纪）在算术中列举了一次和二次方程的求解问题。从十七世纪到十九世纪，Fermat、Euler、Legendre、Gauss等人的

4、工作大大丰富和发展了数论这些人的成果大致构成了现在数论的基本内容。,初等数论研究内容,整数的唯一分解定理中国剩余定理二次互反律,I.整除理论(古希腊),数论的研究在内容上是从数的可约性开始的,整除性理论被称作是数论中最古老的内容也是初等数论的基础,它是在带余数的除法的基础上建立起来的.整除理论的中心内容是算术基本理论和最大公约数理论,反映了近代数学中十分重要的思想,概念和方法.,I.整除理论(古希腊),(公元前三世纪)欧几里德(Euclid)在几何原本中给出了最古老的算术基本定理:任一合数都为某素数整除.他还证明了素数的个数是无穷的,并给出了求两个正整数的最大公因数的算法(即现在的Euclid

5、算法).(公元100年)尼可马修斯的算术入门是数学历史上第一部数论典籍,书中介绍了著名的“厄拉多塞筛法”.,我国汉代有一位大将，名叫韩信。他每次集合部队，都要求部下报三次数，第一次按13报数，第二次按15报数，第三次按17报数，每次报数后都要求最后一个人报告他报的数是几，这样韩信就知道一共到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为“鬼谷算”、“隔墙算”、“秦王暗点兵”等。,II.中国剩余定理,II.中国剩余定理,中国剩余定理也称“孙子定理”,起源于孙子算经(约公元400年)中的一个著名的问题:“今有物未知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”该问题涉及到同余理论,它是由我国最

6、早研究并取得辉煌理论成就的数论课题.,解同余式组,秦九韶在数书九章第一章“大衍术”中给出了如何求一次同余式组的方法“大衍求一术”.(失传达五百年,由清朝黄宗宪等重新发现)直到1801年,高斯(德,Gauss)在算术研究才作出了与秦九韶相同的结果.,III.二次互反律,高斯(德,Gauss)在算术研究中证明了二次互反律、原根存在的充要条件等重要结果.对二次互反律和高次互反律的研究,促进了代数数论和类域论的发展.,IV.近代数论的发展,1.费马与数论(Fermat,法国,16011665)“费马小定理”(1640年):若p是素数且a与p互素,则p(apa).“费马大定理”(1637年):设整数n2

7、,则方程xn+yn=zn没有正整数解.该问题直到1994年9月才由英国数学家怀尔斯(时年41岁)最终完成了证明过程.,2.高斯与数论(Gauss,德国,17771855)1801年，高斯(时年24岁)发表了算术研究，这标志着数论成为独立的数学分支.,V.哥德巴赫猜想,哥德巴赫(Goldbach,1690-1764),德国人,1742年6月7日写信给大数学家欧拉(Euler),提出一个猜想：每一个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和.(或每一个大于或等于6的偶数都可表示为两个奇素数的和)同年6月30日欧拉回信表示他虽不能证明此猜想,但他相信这是完全正确的.,哥德巴赫猜想,“皇冠上的明珠.”(高斯

8、)1966年,陈景润证明了每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及不超过两个素数积之和.该研究成果于1973年正式发表.(1+2)英国数学家哈伯斯坦（Halberstam）将其结果收入筛法(SieveMethods)一书中,并将其命名为“陈氏定理”.,哥德巴赫猜想论证历程,1920挪威布朗9+91948匈牙利瑞尼1+c1958中国王元2+31962中国潘承洞1+51963中国王元、潘承洞1+41965前苏联维诺格拉朵夫1+31966中国陈景润1+2,我国数论的发展史,古代数论成就勾股定理(x2+y2=z2的正整数解)中国剩余定理(孙子定理)祖冲之的疏率和密率(用有理数22/7和355/113逼近圆周率)现代数论成就以陈景润关于歌德巴赫问题的工作为代表,数论的分类,由于研究数论的方法不同，数论包括:初等数论，代数数论，解析数论，乘法数论，超越数论，组合数论，计算数论，堆垒数论，数的几何及模形式理论等等。,内容简介,整除关系(“|”)素数和整数的唯一分解定理同余关系(“