数论--5年级1

1、,数论,主讲：徐保磊,什么是数学？,恩格斯：“数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。”,数学是一把打开科学大门的钥匙数学是一种思维的工具数学是一门创造性的艺术,华罗庚：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”,数学的特点？,数学有什么用？,人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，由于实践需要，数的概念被扩充，自然数称做正整数，而它们的相反数叫做负整数，介于两者间的中性数叫做0（但现在，自然数的概念包括了0），它们合起来叫做整数。人们在长期对整数进行运算的应用和研究时逐步熟悉了整数的特性。而利用整数的一些基本性质，可以进一步探索更多趣味复杂

2、的数学规律。这门学科最初是从研究整数开始的，被称为整数论。后来整数论进一步发展，逐渐产生了新名词数论。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。,数论是什么？,小学教学与初等数论关系密切（尤其体现在小学奥数中）最基本的问题包含：数的整除，余数问题，奇数与偶数，质数与合数，因数与倍数，完全平方数等。,小学数学接触的“部分初等数论”只是“数论”冰山一角，更不用相比数学，乃至科学世界了。而小学数论虽然浅显，但若思维不够活跃、知识储备不足，将成为一大难题。,数论体系,整除,相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。,最大公因数与最小公倍数,定义：整数a1,a2,ak的公共倍数称为a1,a2,ak的公倍数

3、。a1,a2,ak的正公倍数中的最小的一个叫做a1,a2,ak的最小公倍数，记为a1,a2,ak.,质数合数,质数：只有1和它本身做为它的因数。,合数：除了1和它本身，还有其它因数。,1、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b0）,若有ab=qr，也就是abqr,0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r=0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当r0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商,余数问题,2、余数定理(1)可加性：和的余数等于余数的和的余数例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5

4、的余数等于3+1=4。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以除数的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.,2、余数定理（2）可乘性：乘积的余数等于余数的乘积的余数例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以2316除以5的余数等于31=3。当余数的乘积比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以除数的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以2319除以5的余数等于34=12除以5的余数，即2.,3.中国剩余定理我们以孙子算经中的问题为例来分析：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之

5、剩二。问物几何？”,例：有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来。,例：有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来,1、2、3,12、13、21、23、31、32,例：如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？,例：如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？,2个连续自然数相乘：010、122、236、,3个连续自然数相

6、乘：0120、1236、2344,例：如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少？,4个连续自然数相乘：01230、12344、23450、34560、45670、56780、67894、78900、89010、90120,5个连续自然数相乘：012340、123450、234560、,例：把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1（两两互质），那么最少要分成多少组？怎么分？,例：把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公因数是1（两两互质），那么最少要分成多

7、少组？怎么分？,分解质因数26=213，33=311，34=217，35=57，63=337，85=517，91=713，143=1113,统计：2的倍数2个；3的倍数2个；5的倍数2个；7的倍数3个；11的倍数2个；13的倍数3个；17的倍数2个。,例：已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？,例：已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？,200810=1998,1998=23337,1998的因数：1、2、3、6、9、18、999、1998,1998因数的个数：（1+1）（3+1）（11）=16（个）,例：有一串数

8、：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？,例：有一串数：1，1，2，3，5，8，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？,除以5得到的余数列：1、1、2、3、0、3、3、1、4、0、4、4、3、2、0、2、2、4、1、0、1、1、2、3、0,例：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？,例：一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？,22=37+=37+=37=1=19=18,例：把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得

9、到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？,例：把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？,=459（A-B）=45A-B=5,例：有几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。,例：有几个四位数满足以下条件：它的各位数都是互不相同的奇数；它的每个数字都能整除它本身。,例：一个5位数，它的各位数字之和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数。,例：一个5位数，它的各数数字之和为43，且能被11整除，求

10、所有满足条件的5位数。,设：奇数位数字之和为A，偶数位数字之和为B,+=43=11=27=16,例：有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7。问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？,例：有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7。问：能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？为什么？,加减法运算结果的奇偶性由奇数的个数决定,在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步

11、，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？,在一个圆圈上有几十个孔（不到100个）。小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔。你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？,试将1，2，3，4，5，6，7分别填入图中的方框中，每个数字只用一次：使得这三个数中任意两个都互质。其中一个三位数已填好，它是714。,互为反序的两个自然数的积是92565，求这两个互为反序的自然数。（例如102和201，35和

12、53，11和11，称为互为反序的数，但是120和21不是互为反序的数）,例：有4个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数。为了使这4个数的和尽可能小，这4个数分别是多少？,例：有4个不同的自然数，它们当中任意两个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数。为了使这4个数的和尽可能小，这4个数分别是多少？,例：将自然数N写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数能被N整除，那么N称为“魔术数”。问：小于2012的自然数中有多少个“魔术数”？,例：将自然数N写在任意一个自然数的右面，如果得到的新数能被N整除，那么N称为“魔术数”。问：小于2012的自然数中有多少个“

13、魔术数”？,例：狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4.5米，黄鼠狼每次跳2.75米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12.375米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?,例：狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4.5米，黄鼠狼每次跳2.75米，它们每秒钟都只跳一次。比赛途中，从起点开始每隔12.375米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?,4.5米=4500毫米2.75米=2750毫米12.375米=12375毫米,4500，12375=495002750,12375=24750,495004500=11（秒）247502750=9

14、（秒）,例：有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数,例：有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最小的三位数,+=222(a+b+c),a+b+c=13,例：有一个魔术钱币机，当塞入一枚1分硬币时，退出一枚1角和一枚5分硬币；当塞入一枚5分硬币时，退出四枚1角硬币；当塞入一枚1角硬币时，退出三枚1分硬币。小红由一枚1分硬币和一枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角硬币少10枚？,例：有一个魔术钱币机，当塞入一枚1分硬币时，退出一枚1角和一枚5分硬币

15、；当塞入一枚5分硬币时，退出四枚1角硬币；当塞入一枚1角硬币时，退出三枚1分硬币。小红由一枚1分硬币和一枚5分硬币开始，反复将硬币塞入机器，能否在某一时刻，小红手中1分的硬币刚好比1角硬币少10枚？,初始：1分和1角相差1枚（奇数枚）,过程（1）投入1分：1分减少1枚，1角增加1枚。差改变2。（2）投入5分：1分不变，1角增加4枚。差改变4。（3）投入1角：1分增加3枚，1角减少1枚。差改变4。,结果：1分和1角相差永远为奇数枚。,例：有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是多少？,例：有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50

16、，那么这个整数是多少？,70+110+16050=290,290=2529,290的因数：1、2、5、10、29、58、145、290,例：一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?,例：一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?,小于100的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、9

17、7,2、0、2、1、2、1、2、1、2、2、1、2、1、2、2、2、1、1、1、1、2、2、1,例：一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?,小于100，除以3余1的质数：7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97,小于100，除以3余1的质数：7、13、19、31、37、43、61、67、73、79、977、13、19、31、37、43、61、67、73、79、97,例：有一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份。如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？,例：有一根长木棍上，有三种刻度线。第一种刻度