数论综合---奇偶数和整除

1、数论综合,第一讲奇偶数和整除,学习目标,1.能够运用奇偶性和整除特征解决数论问题2.能够掌握求最大公因数和最小公倍数的各种方法3.能够理解分解质因数在解决数论问题中的广泛应用,1、奇数与偶数,1.1奇数与偶数运算性质,2+4=64+6=106+8=148+10=18,1+3=43+5=85+7=127+9=16,2+1=34+3=76+5=118+7=15,2-1=14-1=36-3=38-3=5,1+3+5+7+9+11=3637-11-9-7-5-3=2,1+3+5+7+9=2537-11-9-7-5=5,1x1=31x3=33x5=155x7=35,4x3=126x5=308x7=562

2、x9=18,2x2=44x1=46x6=36,1.2实用的推论,推论1：在加减法中偶数不改变运算结果的奇偶性推论2：对于任意两整数a和b，a+b与a-b同奇或同偶,推论1：在加减法中偶数不改变运算结果的奇偶性,2+4=64+6=106+8=148+10=18,4-2=26-4=28-6=210-8=2,推论2：对于任意两整数a和b，a+b与a-b同奇或同偶,2+1=34+3=76+5=118+7=15,2-1=14-3=16-5=18-7=1,奔跑吧！兄弟,例题1一天，章鱼哥给海绵宝宝出来一道数学题目：三个自然数A、B、C，其中一个是5，一个是6、一个是7，（A-1）X（B-2）x（C-3）的

3、结果是奇数还是偶数,a-1+b-2+c-3=18-6=12设三个数都是奇数奇数-奇数=偶数偶数-奇数=奇数，12为偶数，所以，3个数不能同时为奇数，至少有个偶数。乘积一定是偶数。,课堂练习下面各题的计算结果是奇数还是偶数？（1）偶数+奇数x偶数x5（2）奇数x奇数+偶数x偶数,（1）偶数x奇数=偶数偶数x奇数（5）=偶数偶数+偶数=偶数（2）奇数x奇数=奇数偶数x偶数=偶数奇数+偶数=奇数,课后练习（1）201本书,分给一些同学借阅,每人分得奇数本的人数是奇数还是偶数?为什么?,（2）有一排树，每两棵间的距离为1米。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎么样挂；至少有两棵挂牌

4、的树之间的距离是偶数。为什么？,小结-奇偶数,小结-奇偶数,1.计算，先乘除后加减2.利用已掌握奇偶性质依次展开3.最终得到结果,2、数字整除法,2.1一个数的末尾数能被2和5整除，这个数就能被2和5整数。,能被2整数的数末尾数肯定是偶数能被5整除的数末尾数肯定是5或者0能同时被2,5整除的数末尾数肯定是0,122=6142=7162=8182=9,3122=643142=7543162=8678982=9,152=6252=7352=8452=9,2152=632152=7432152=85432152=9,102=5105=2,2.2一个数的末两位能被4或者25整除，这个数就能被4或25整

5、除。,3124=4164=5204=6244=7284=8324=9364=,12525=25025=37525=40025=52525=65025=7754=8004=9254=,2.3一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除。,18008=21608=32408=43208=54008=64808=75608=86408=87208=,2.4一个数各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除,13=323=633=943=1253=1563=1873=2183=2493=27,1111+1+1=32222+2+2=63333+3+3=94444+4+4=12555

6、5+5+5=156666+6+6=187777+7+7=218888+8+8=249999+9+9=27,2.5一个数各个数位上的数字之和能被9整除，这个数就能被9整除,19=929=1839=2749=3659=4569=5479=6389=7299=81,454+5=94594+5+9=1839873+9+8+7=27,2.6如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数上的数字之和的差能被11整除，那么这个数就能被11整除。,例如：70345能被11整除，只要看(7+3+5)-(0+4)能否被11整除,2.7如果一个数的末三位与末三位以前的数字组成的数字之差能被7、11或13整除，那么这个数就能

7、被7、11或13整除。,例如：1005928末三位数：928，末三位之前：10051005-928=77因为7|77，所以7|1005928,奔跑吧！兄弟！,例题：一个五位数835，如果这个数能同时被2、3、5整除，那么代表的数字是（?），代表的数字是（?）,一个五位数835，如果这个数能同时被2、3、5整除那么:代表的数字是(0)。代表的数字是（2或5或8）,课后练习海绵宝宝的学号是一个六位数。这个数的前三位是532，并且能被3、4、5整除。那么海绵宝宝的学号最小是多少？,1、先确定个位：个位上应该是0才能被4、5同时整除。2、在确定十位：末两位是4的倍数，就能被4整除。那么。十位上最小是2

8、，其次是4、6、82、然后确定百位：若百位，最小为0只要满足：各位数字和是3的倍数3、这个六位数是：532020,课堂练习四位数3AA1被9整除，求A？,分析与解：A+A+4是9的倍数9、18、27、36、45、54.5、14、23、32、41、50（1）A+A=5,式子不成立（2）A+A=14，式子成立（3）A+A=23，式子不成立所以，A=7,课堂练习在1992后面补上3个数字，组成一个7位数，使它们分别能被2,3,5,11整除，这个7位数最小是多少？,（2,3,5,11）=3301992000除以330=6036.120所以：1992000+（330-120）=1992210我们常常把需要的数字空缺处填写0，求余数进而求出应该的数字。,课堂练习有个四位数满足以下条件，它的各个位数都是互不相同的奇数，它的每个数字都是能整除它本身。,1,3,5,7,9中任选四个必定有3或9，所以四数之和一定能被3整除，1+3+5+7+9=2525-1=2425-3=2225-5=2025-7=