数学史与科学史--10-数学与数学猜想

1、数是近代数学的基础。然而数是什么呢？虽然希腊人曾把点和线等几何概念作为他们的数学基础，但是所有的数学命题最终应归结为关于自然数1，2，3，的命题，这一点已变成了现代的指导原则。理查德柯朗,若无某种大胆果敢的猜想，一般来说是不可能有知识进展的。高斯,xn+yn=zn,第九讲数与数学猜想,一、历史性背景,二、猜想与证明,三、神秘终结者,四、无尽的追求,xn+yn=zn,(n2)无整数解,这是真的,一、历史性背景,1、万物皆数,2、反证法,3、不定方程,1、万物皆数,一、历史性背景,PythagorasofSamosB.C.572B.C.497,毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边

2、的平方之和。x2+y2=z2,发展了关于数字的逻辑思想，使数本身的价值受到重视。认识到数独立于有形世界而存在，因而关于数的研究不会因感觉的差异而受影响。,1、万物皆数,一、历史性背景,完满数,6,28,496,8128,33550336,8589869056,万物皆数,通过探究数学的内涵，毕达哥拉斯发展着使他和其他人能描述宇宙性质的这种语言。,1、万物皆数,一、历史性背景,(x+y)2=4xy/2+z2,x2+y2=z2,数学证明,的办法是从一系列公理、陈述出发，这些陈述有些可以是假定为真的，有些则是显然真的；然后通过逻辑论证，一步接一步，最后就可能得到某个结论。如果公理是正确的，逻辑也无缺陷

3、，那么得到的结论将是不可否定的。这个结论就是一个定理。,1、万物皆数,一、历史性背景,数学证明,毕达哥拉斯对于数学的历史贡献在于：发展了证明的思想。一个被证明了的数学结果具有比任何别的真理更可靠的真实性，因为它是一步接一步的逻辑结果。,2、反证法,一、历史性背景,EuclidofAlexandriaB.C.330-B.C.275,几何原本,反证法：,企图证明某个定理是真的，但首先假定它是假的；然后探讨由于定理不真而产生的逻辑矛盾，而数学不能容忍任何矛盾的存在，于是原来的定理不可能是假的。,2、反证法,一、历史性背景,使用反证法，欧几里得证明了无理数的存在性，从而第一次使数具有了一种崭新的、更为

4、抽象的性质。而在引之前，一切数都只能表示成自然数或正分数。欧几里得向这种传统的表示法发起了挑战。,欧几里得如此深爱的反证法是数学家最精妙的武器之一。它是比任何下棋方法更为精妙的弃子取胜术：棋手可能牺牲一只卒甚至更大的棋子以换取胜利，而数学家则让出了整个棋局。哈代,3、不定方程,一、历史性背景,上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12，他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的误哀思，4年之后亦撒手人寰。丢番图的墓志铭,L=84,DiophantusofAlexandriaB.C150-A.D.364,3

5、、不定方程,一、历史性背景,是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。,不定方程:,将一个已知的平方数分为两个平方数。第2卷问题8,x2+y2=,Z2,继承并发展了毕达哥拉斯的传统，即关注数本身的逻辑与性质。,附：数系的发展与完善,瓜廖尔石碑（公元876年）,在现代数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示位值制记数中的空位，又表示“没有”的概念，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算。,附：数系的发展与完善,自然数,分数,负数,零,有理数,无理数,虚数,实数,复数系,附：数系的发展与完善,数学家在数的发展与扩张过程中，表现出这种类似于形式主义的态度，可以说是对“异端”的一种最

6、宽松的态度。只要是不产生矛盾，尽可以进行推广。首先把新东西作为理想元素添加进来，其次，让这些新事物也尽可能享有原来事物的性质。正是不断加进这种“理想元素”，反过来又使得对于数的性质的研究也越来越方便。从数学上看，该过程还有新的意义：它不仅把数当成个别的数来看，即它们有共同的运算和共同的性质，而且对整个数的集合也将产生出越来越丰富的结构。,二、猜想与证明,1、谜面的诞生,2、解谜的方法,3、产下金蛋,1、谜面的诞生,二、猜想与证明,PierredeFermat1601-1665,1、谜面的诞生,二、猜想与证明,Cubemauteminduoscubos,autquadratoquadratumi

7、nduosquadratoquadratos,etgeneraliternullamininfinitumultraquadratumpotestateminduoseiusdemnominisfasestdividere;,Cuiusreidemonstrationemmirabilemsanedetexhancmarginisexiguitasnoncaparet.,对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。,不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。,1、谜面的诞生,二、

8、猜想与证明,1、谜面的诞生,二、猜想与证明,FermatsLastTheory,费马大猜想,定理是数学的基础，因为一旦它们的正确性被证明，就可以放心地在它们上面建立别的定理。未经证实的想法是很难评价的，因此被称之为猜想。任何依靠猜想而进行的逻辑推理，其本身也是一个猜想。,2、解谜的方法,二、猜想与证明,xn+yn=zn(n=3,4)无整数解,LeonhardEuler,1707-1783,欧拉的策略：证明某结论对于简单情形成立，再证明任何使情形复杂化的操作都将继续保持该结论的正确性。,2、解谜的方法,二、猜想与证明,无穷递降法：,假设某结论对于某正整数成立，那么，可以求出或构造出更小的正整数使

9、得该结论对于该更小整数也成立。，无限地进行下去，就可得到一个无穷正整数列，而正整数是有限数，故假设不成立。,无穷递降法的精神一直到现在都在用，这就是高度理论，或称高度有限性理论。,(X1,Y1,Z1)(X2,Y2,Z2)(Xk,Yk,Zk),2、解谜的方法,二、猜想与证明,若xk+yk=zk无正整数解，则xmk+ymk=zmk也无正整数解。,为证明费马大定理对n的一切值成立，我们仅仅需要证明它在n取素数值时成立。,数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的“原子”。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。,2、解谜的方法,二、猜想与证明,SophieGermain，

10、1770-1831,热尔曼素数：,使2p+1为素数的那些素数p.,当p和2p+1皆为素数时xp+yp=zp大概无整数解,2、解谜的方法,二、猜想与证明,两种情形：（在p为奇素数的情形下）1、xp+yp=zp没有其乘积不能被p整除的解；2、xp+yp=zp没有其乘积可以被p整除的解。,GustavL.Dirichlet1805-1859,A.M.Legendre1752-1833,2、解谜的方法,二、猜想与证明,分圆整数：,1的n次复根的整线性组合。,GabrielLam,1795-1870,催生了代数数论中的n次分圆数理论,素因子唯一分解定理不成立。,3、产下金蛋,二、猜想与证明,ErnstK

11、ummer1810-1893,为了重建唯一分解定理，库默尔在1844-1847年间创立了理想数理论,当时的数学方法不可能给出费马定理的完整证明,3、产下金蛋,二、猜想与证明,算术研究(1801),C.F.Gauss1777-1855,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。,同余理论复整数理论型的理论,3、产下金蛋,二、猜想与证明,DavidHilbert,1862-1943,我为什么要杀死一只会产金蛋的鹅？,3、产下金蛋,二、猜想与证明,1909年请数学家庞加莱来讲学；1910年请物理学家洛仑兹来讲学：1911年奖给数学理逻辑学家策梅罗；1912年请物理学家索沫菲尔德来讲学；1913

12、年组织气体分子运动论的会议；1914年首次用利息来请客座教授。,3、产下金蛋,二、猜想与证明,根据在达姆斯塔特世纪的保罗沃尔夫斯凯尔（PaulWolfskehl）博士授予我们的权力，我们在此设立10万马克的奖赏，准备授予第一个证明费尔大定理的人。如果到2007年9月尚未颁发此奖，将不再继续接受申请。格丁根皇家科学协会1908年6月27日,3、产下金蛋,二、猜想与证明,虽然全世界的业余数学家们在这个世纪中尝试证明费马大定理和赢得沃尔夫斯凯尔奖并且都失败了，但专业数学家们则依然对其置之不理。数学家们不再在库默尔和其他的19世纪数论学家的工作上添砖加瓦，而是开始探索他们自己学科的基础，目的在于提出关

13、于数的一些最基本的问题。,3、产下金蛋,二、猜想与证明,如果费马大定理结果是不可判定的，那么这将隐含它必定是对的。,费马大定理称xn+yn=zn在n2时无整数解。如果大定理事实上错的，那么就有可能通过确定一个解（一个反例）来证明这一点。于是，大定理将是可判定的。也就是说，是错的将与不可判定不相容。,三、神秘终结者,1、终结者降生,2、朗兰兹纲领,3、终结之路,1、终终者降生,三、神秘终结者,AndrewJohnWiles,1953.04.11-,从我孩提时代第一次遇到费马大定理，它就一直是我最大的兴趣所在。,椭圆方程,L-序列,2、朗兰兹纲领,三、神秘终结者,RobertLanglands19

14、36.10.06-,朗兰兹纲领LanglandsProgramme,朗兰兹猜想LanglandsConjectures,2、朗兰兹纲领,三、神秘终结者,朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。,在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。,2、朗兰兹纲领,三、神秘终结者,谷山丰（1927-1958）,志村五郎,谷山-志村猜想,2、朗兰兹纲领,三、神秘终结者,模形式modularforms,无限对称性,M序列,2、朗兰兹纲

15、领,三、神秘终结者,当（且仅当）费马大定理不真，则存在弗赖椭圆方程,费赖椭圆方程是如此的古怪以致它决不可能被模形式化,谷山志村断言每一个椭圆方程必定可以模形式化,因而，谷山志村猜想必定是错的。,2、朗兰兹纲领,三、神秘终结者,里贝特的工作使得费马大定理不可摆脱地与谷山志村猜想联结在了一起，如果有人能证明每一个椭圆方程是模形式，那么这就隐含着费马方程无解，于是立即证明了费马大定理。,三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。现在，重新回到台前。17世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起

16、现代数学革命的猜想联结在了一起。,3、终结之路,三、神秘终结者,归纳法：,利用伽罗瓦的“群”思想，怀尔斯推倒了第一块多米诺骨牌。,该命题对第一个情形是对的；如果该命题对任何一个情形是对的，那么它一定对下一个情形是对的。,3、终结之路,三、神秘终结者,GerdFaltings,1954-,利用算术代数几何方法，法尔廷斯排除了费马方程有无穷多根的可能。因此费马方程如果有根的话，其个数也是有限的。,3、终结之路,三、神秘终结者,四、无尽的追求,1、未解之谜,2、目标何在,3、解决之道,1、未解之谜,四、无尽的追求,费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并没有

17、彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前进的动力.,费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局部理论、非阿贝尔理论，现在已汇入伟大的朗兰兹纲领的框架之中，与许多学科，如代数K理论，群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如类数的计算仍是令人头痛的事。,1、未解之谜,四、无尽的追求,代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。,代数曲线论仍有一些遗留问题，特别是椭圆曲线的三大猜想仍然迫在眉睫，但人们已经开始向代数曲线进军了。代数曲面问题很难，但是这条路肯定要走。,更一般的理论，数

18、论和代数几何的理论和工具库中还有许多我们没有提过的理论如动形（motive）理论等,2、目标何在,四、无尽的追求,有两个原因使一代又一代的数学家着迷于费马大定理。首先是一种极为强烈的要胜人一筹的意识；其次，无论谁能响应费马所提出的挑战，他就会享受到解谜时的那种单纯的满足感。,纯粹数学家就是爱好挑战。他们喜欢解答未解决的问题。做数学时会产生一种极好的感觉。费马大定理这类问题中最典型的例子。,2、目标何在,四、无尽的追求,某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人工作中所起的重要作用是不可否认的。数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。希尔伯特,2、目标何在,四、无尽的追求,我持有至善至美的哲学观。数学应该容纳美和美。大多数数学家是按某种审美观点来做数学的，至善至美哲学观来自于我的审美观。志村五郎,2、目标何在,四、无尽的追求,当时谷山和志村的