数学史概论[1][1].4.下ppt

1、外三棋体积和=倒立小阳马体积,2.3算经十书,隋唐科举与算学制度(2)算经十书,（2）算经十书：周髀算经（作者不详）九章算术海岛算经(刘徽著，晋代）孙子算经（作者不详，公元400年左右）五曹算经（甄鸾著，北周）张丘建算经（张丘建著，5世纪后期）夏侯阳算经（夏侯阳著，晋代）五经算术（甄鸾著）缀术（祖冲之著，南北朝）缉古算经（王孝通著，唐代）注：缀术在唐、宋之交失传后，宋代刊刻的算经十书增补甄鸾所著数术记遗。,(i)孙子算经与“物不知数”今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何？相当于求解一次同余式组：,(ii)张邱建算经与“百鸡问题”今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;

2、鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何？相当于解不定方程组：,给出所有可能的正整数解:,术文相当于给出整数解:x=4t,y=25-7t,z=75+3t中的参数t的三个系数.,(iii)缉古算经与三次方程,插值法,刘焯：创立等间距二次内插法僧一行：发明了二次不等间距插值法,3中国数学发展的高峰宋元数学,数理天文学,沈括与梦溪笔谈,正负开方术与增乘开方术垛积术与招差术天元术四元术,大衍术演纪术,3.1从“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术”3.2中国剩余定理的总结与完善3.3垛积术与招差法3.4天元术与四元术,宋元时期,宋元四大家,郭守敬与授时历,代数学成就,不定分析,杨辉详解九章算法（

3、1261）、日用算法（1262）、杨辉算法（12741275）；秦九韶数书九章（1247）；李冶测圆海镜（1248）和益古演段（1259）朱世杰算学启蒙（1299）和四元玉鉴（1303）,杨辉，字谦光，浙江钱塘（今杭州市）人。理宗景定元年（1260）考中进士。著有详解九章算法（1261）并附习题，共十二卷；日用算法（1262）二卷；乘除通变（1274）三卷，上、中卷自撰，下卷与史仲乐合写；田亩比类乘除捷法（1275）三卷。其书多保存在永乐大典中。杨辉入元后，没有入仕，是宋朝的遗民。,（一）杨辉,宋元四大家简介,秦九韶(约12021261),字道古,四川安岳人.先后在湖北,安徽,江苏,浙江等地做

4、官,1261年左右被贬至梅州(今广东梅县),不久死于任所.他与李冶,杨辉,朱世杰并称宋元数学四大家.早年在杭州访习于太史,又尝从隐君子受数学,1247年写成著名的数书九章.数书九章全书凡18卷,81题,分为九大类:(1)大衍,(2)天时,(3)田域,(4)测望,(5)赋役,(6)钱谷,(7)营造,（二）秦九韶,(8)军旅,(9)市易.其书不但综合了数学在各个生产方面的应用,并增添了“大衍”、“堆积”、“招法”、“率数”几个方面.其最重要的数学成就-“大衍总数术”(一次同余组解法)与“正负开方术”(高次方程数值解法),使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.秦九韶对星象、数学、音律无所

5、不能.,李冶(11921279),字仁辅,号敬斋,后改名李冶.金真定(今河北正定)人.他与秦九韶均精于天元之术.最著名的著作是测圆海镜十二卷,是现存最早的一部讲述天元术的书.金亡隐居于今河北元氏县的封隆山中.元世祖忽必烈闻其名征召入京,经王鹗荐为翰林学士,第二年即辞官回乡,卒年八十八.所著1248年撰成测圆海镜,其主要目的是说明用天元术列方程的方法.“天元术”与现代代数中的列方程法相类似,“立天元一为某某”,相当于“设x为某某”,可以说是符号代数的尝试.李冶还有另一步数学著作益古演段(1259)也是讲解天元术的.,（三）李冶,朱世杰字汉卿,号松庭,元朝人,籍贯燕山(今北京附近).他长期从事数学

6、研究和教育事业,以数学名家周游湖海二十多年,四方登门来学习的人很多.著作算学启蒙三卷、四元玉鉴三卷等著名,把我国古代数学推向更高的境界,形成宋、元时期中国数学的最高峰.,内容深入浅出,通俗易懂,是一部很著名的启蒙读物.这部著作后来流传到了朝鲜、日本等国,出版过翻刻本和注释本,产生过一定的影响.,（四）朱世杰,算学启蒙是朱世杰在元成宗大德三年(公元1922年)刊印的,全书分三卷,二十门,总计二百五十九个问题和相应的解答.自乘除运算起,一直讲到当时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了当时数学所包含的各方面内容.它的体系完整,四元玉鉴更是一部成就辉煌的数学名著.它受到近代数学史研究者的高度评价,

7、认为是中国数学著作中最重要的一部,同时也是中世纪最杰出的数学著作之一.四元玉鉴成书于大德七年(公元1303年),共三卷,二十四门,二百八十八问,介绍了朱世杰在多元高次方程组的解法“四元术”、高阶等差级数的计算“垛积术”以及“招差术”(有限差分)等方面的研究成果.,沈括(公元1030l094年)是我国历史上一份杰出的科学家.他多才多艺,在当时各学科领域内都取得了重要成就.沈括虽然出身于名门望族,本人又在北宋朝廷里做过宫,但是比较接近下层,注重实际,曾经多次到生产作坊、工地或自然界里进行生产考察和科学考察,不仅掌握了大量第一手资料,而且亲自进行科学实验,从而对劳动人民在改造自然中的伟大作用有一定的

8、认识.,沈括晚年著有梦溪笔谈一书,内容丰富,有关科学技术方面的内容尤为可贵,因此被誉为“中国科学史的里程碑”.他对数学进行了精深的研究,提出了不少卓越的见解.,沈括,郭守敬(公元1231一1316年),是卓越的水利专家和天文学家,曾进行过水利勘察和指挥水利工程.在王伤、郭守敬的主持下,于大都(今北京市)建成一座规模宏大的天文台.郭守敬设计了将近二十种先进的天文仪器,进行了大规模天文观测.在实测的基础上,于1280年编订出历史上有名的授时历,次年颁行.,郭守敬,高次方程数值解xn+a1xn-1+a2xn-2+an-1x+an=0商实an方an-1一廉an-2二廉an-3n-2廉a1隅1,3.1从

9、“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术”,贾宪三角,刘益方程解法的成就:刘益的数学著作议古根源载有二百道数学问题及其解法,其中大部分都是求方程的根.在刘益以前的方程大都有一定的限制,首项系数是正的而且是“1”,贾宪所研究的也不例外.刘益第一个在这方面进行了推广.例如在他研究的问题中有相当于7x2=9072,-5x2+228x2592等方程,特别是他研究了一个四次方程:-5x4+52x3+128x24096,这在我国数学史上是少见的.刘益的方程没有什么条件限制,首项系数可正可负,同时次数可以带有任意性.杨辉对这些方程赞不绝口,在算法迥变本末中说:“刘益以勾股之术,治演段锁方,题(撰)议古根源二百问,带

10、益隅开方,实冠前古.”特别指出了“带益隅开方”(解首项系数为负的方程)是前所未有的,是刘益的新创造.因此,他对刘益的工作有意进行传播,“辉(杨辉)择可作关键题问备重为泽悉著述,推广垂训刘君(刘益)之意”,从议古根源的二百个问题中选择了二十二个有代表性的问题写入自己的田亩比类乘除捷法一书中,且保留到现在.因为议古根源已经失传,所以杨辉书中的资料就成为研究刘益的主要依据了.刘益对方程解法的成就是他使用了“益积术”和“减从术”两种方法.在解四次方程时用的是“增乘开方法”.,数字高次方程的近似根求法:秦九韶在数学方面的第二项重大成就是关于高次方程的近似根求法.贾宪创造了增乘开方法,刘益方程的首项系数已

11、不限于“l”,也不限于正数.秦九韶再次对这个问题进行了研究.数书九章已有各次的一元高次方程的一般形式,最高次数已经达到十次.在秦九韶看来,方程的次数已没有任何限制,随便多少次都行.这是代数学史上的一项重要成就.过去的方程,由于来源于长度、面积之类的问题,所以总是把常数项规定为正.如用现代符号表示,常数项就写在等号的右边,而秦九韶则规定“实常为负”,即常数项为负数,于是可以写在左边,其它各项的系数可正可负,没有限制.秦九韶解任意高次数字方程的步骤和贾宪、刘益的步骤基本一致,也是在议得根的每位数后都要随乘随加.他的筹算式也分苦干层,在未求出根以前,最上层为“实”,就是常数项,最下一层为“隅”,就是

12、首项系数,“实”下为“方就是一次项的系数,其余各项的系数称为“廉”,如在四次方程中,二次项的系数为“上廉”,三次项的系数为“下廉”.对方程各项的系数的正负或缺项,秦九韶都有规定的称呼,缺项用“虚”字表示,正数前面加一个“从”字,负数前面加一个“负”字,首项系数是负的则加一个“益”字,叫“益隅”.而常数项他规定为仅数,数字前不加区别正负的符号.,-x4+763200 x240642560000,数书九章卷五“尖田求积”,3.2中国剩余定理的总结与完善,数书九章还有一项伟大贡献，那就是“大衍总数术”，它明确系统地给出了求解一次同余式的一般解法。,设有一次同余组,假如诸模数ai两两互素,那么只要求出

13、一组数ki,满足:,就可以得到适合一次同余组的最小正数解：,其中p为整数,“大衍总数术”中的关键部分就是数组ki(i=1,2,n)的计算.秦九韶称这些数ki为“乘率”,并把自己发现的求乘率的方法称为“大衍求一术”.,如任一乘率ki：令,若Giai,秦九韶先求得余数giai,那么,所以问题归结为求ki使其满足,秦九韶称ai为“定数”,gi为“奇数”.大衍求一术相当于把奇数gi与定数ai辗转相除,相继得到商数q1,q2,qn和余数r1,r2,rn,并同时求出相应的c1=q1,c2=q2c1+1,ci=qici-1+ci-2,i=3,4,n.秦九韶指出:当rn=1且n为偶数时,最后所得cn即为所求乘

14、率ki;如果rn=1而n为奇数,则将rn-1与rn相除,形式上令qn+1=rn-1-1,则余数rn+1仍为1,再计算cn+1=qn+1cn+cn-1,则cn+1即为所求ki.,秦九韶“大衍术”解法步骤：,(1)化问数Ai为定数ai,使ai|Ai,(ai,aj)=1,ij,且a1,a2,an=A1,A2,An,(2)大衍求一术求乘率ki,记a1,a2,an=M，Mai=Gi，Gigi(modai)kiGikigi1(modai),NRi(modAi)i=1，2，n已知：Ri与Ai,求最小整数N.,N为所求数,Ri叫余数,Ai叫问数,元数者,先以两两连环求等,约奇弗约偶.或约得五,而彼有十,乃约偶

15、弗约奇.或元数俱偶,约毕可存一位见偶.或皆约而犹有类数存,姑置之,俟与其他遍约,而后乃与姑置者求等约之.或诸数皆不可尽类,则以诸元数命曰复数,以复数格入之.,元数：108，57，75，40,定数：27，19，25，8,（1）化元数为定数：,定数ai,奇数gi,天元1,奇数20,定数27,1,天元1,对于一次同余方程：kigi1(modai)如：20k1(mod27)，求k,2720=1余7,q1,r1,20,7,207=2余6,q3,q2,r2,7,6,76=1余1,61=5余1,r4,r3,q4,4,23,3,3,4,1,1,6,1,1,1,右上余1程序停止,c3q4+c2=c4,c1q2+

16、1=c2,c3,c2,c1=q1,c2q3+c1=c3,c1,（2）大衍求一术：,k=c4=23,r1,r2,r3,r4,（3）大衍总数术(中国剩余定理)：,NkiGiRipM,该方法的关键部分称为“大衍求一术”。由于实际问题中，模数并不总是两两互素，而且还有小数、分数等。对此，大衍总数术皆给出了相应可靠的计算程序，是为历史上首次对模数非两两互素同余式组的处理。数书九章之“大衍总数术”显然是对孙子算经“物不知数”算法的继承与发展，其实，贯穿于整个中国古代历法的编制史，关于一次同余式组求解的研究，已形成了中国古典数学中饶有特色的部分。制定历法时“历元”的确定，其计算过程本质上就是一个一次同余式组

17、的求解问题。,3.3垛积术与招差法,朱世杰在高阶等差级数和内插法方面也取得了重要成就.他在沈括、杨辉和王恂等人的基础上.把级数和内插法向前推进了一大步.在其学启蒙和四元玉鉴两书中有一大批这样问题:已知各种垛积的物体的总数,求垛积底层物体的个数.这类问题的解决,要先知道级数求和公式,然后才能反求底层物体的个数.关于求和公式有下面一组：,3.3高阶等差级数与内插法:,朱世杰相继以前一个级数的和作为新级数的一般项,得到了p阶等差级数求和的一般公式：,茭草垛,三角垛,撒星形垛,四元玉鉴中卷“如象招数门”主要是讲招差术,实际上也是属于高阶等差级数问题,但其求和是通过招差公式,即内插法公式进行的.其中最后

18、一题自注非常典型:“今有官司依立方招兵,初招方面三尺,次招方面转多一尺,得数为兵,今招一十五方,每人口支钱二百五十文,问兵及支钱各几何.答曰:兵二万三千四百人,钱二万三千四百六十二贯.”招兵的人数以立方计算,也就是第一次招兵3327人,第二次招(3+1)34364人,就这样一直招到第十五次,即(3十14)3173,十五次共招兵S33十43十十173直接求和,要进行大量的乘方计箕,朱世杰没有采用这个方法,而是利用招差公式求出招兵总数.我们把朱世杰的叙述写为现代形式的数表如下：,招差术,美國著名的科學史家薩頓評論說:朱世杰是他所生存時代的,同時也是貫穿古今的一位最傑出的數學家,四元玉鑒是中國數學著

19、作中最重要的一部,同時也是整個中世紀最傑出的數學著作之一.,3.4“天元术”与“四元术”,四元術以天、地、人、物為未知數,常數項居中,旁邊記一“太”字,四元依次居於常數項的下、左、右、上,其冪次由它們與“太”字的距離決定,距離愈遠冪次愈高,相鄰兩元冪次之積記入相應行列的交叉處,不相鄰之元的冪次記入夾縫中.以x,y,z,u分別記天、地、人、物,則四元術(只列出2次)的表示如：,四元高次方程組需列出4個這樣的式子。四元術的核心是四元消法，即將四元4式消成三元3式，再消成二元2式，最後消成一元高次方程，用增乘開方法求解。朱世傑的消元方法巧妙但文,字簡括,具體方法從清中葉以來即有各種不同的看法.在歐洲

20、,1779年別朱才研究了多元高次方程組的消法。,4.1筹算向珠算的转变,珠算大约发明于宋元时代口诀在宋元间已经具备它是古代筹算逐渐演变的结果,元末陶宗仪南村辍耕录记载珠算,元代珠算有某种程度的普及魁本对相四言杂字给出珠算的算盘图,4中国传统数学的式微,魁本对相四言杂宇是一本很浅的看图识字性质的书，可见珠算在当时已很普及。十五世纪中期在一本木工手册鲁班木经中己规定了制造珠算盘的具体规格：“算盘式：一尺二寸长，四寸二分大。框六分厚，九分大，起碗底。线上二子，一寸一分；线下五子，三寸一分。长短大小，看子而做。”这时珠算盘没有横梁，用一线相隔，上二子下五子，还带有早期的性质。这里把算盘珠叫做算盘子。1524年，王文素在算学宝鉴卷五中说：“众九相乘，用于甚多，算盘子少，乘则不便，既乘已毕，只动一子居下，东仍如故”，也指珠算。,4.2商业数学与计算技术,明代传统数学典籍:(1)九章详注比类算法大全(1450),10卷.明吴敬著,明代实用数学代表作之一。(2)古今算学宝鉴(1524)、42卷,明王文素著.明代水平较高的数学著作。(