高等量子力学 理论方法 5.ppt

1、1,一、量子力学的建立二、量子力学基本原理三、量子力学的理论方法四、量子力学的应用,高等量子力学,2,三、量子力学的理论方法,一、表象理论,二、微扰理论,五、散射理论,六、多粒子体系理论,七、二次量子化,八、相对论量子力学,三、量子跃迁理论,四、自旋与角动量理论,3,第六章散射理论,一、散射过程、散射截面二、中心力场中的弹性散射三、方形势阱与势垒产生的散射四、格林函数法和波恩近似,4,散射过程：,靶粒子所处位置称为散射中心。,方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射开去，此过程称为散射过程。散射后的粒子可用探测器测量。,一、散射过程、散射截面,5,散

2、射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其运动方向偏离入射方向的角度。,弹性散射：若在散射过程中，入射粒子和靶粒子的内部状态都不发生变化，则称弹性散射，否则称为非弹性散射。,入射粒子流密度N：单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度。,6,设单位时间内散射到（，）方向面积元ds上（立体角d内）的粒子数为dn，显然,综合之，则有：,或（1）,比例系数q(，)的性质：,q(，)与入射粒子和靶粒子（散射场）的性质，它们之间的相互作用，以及入射粒子的动能有关，是，的函数,散射截面,ds,7,q(，)具有面积的量纲,故称q(，)为微分散

3、射截面，简称为截面或角分布,如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面积q(，)，则单位时间内通过此截面的粒子数恰好散射到(，)方向的单位立体角内。,（2）,8,总散射截面：,注,由于N、可通过实验测定，故而求得。,量子力学的任务是从理论上计算出，以便于同实验比较，从而反过来研究粒子间的相互作用以及其它问题。,9,现在考虑量子力学对散射体系的描述。设靶粒子的质量远大于散射粒子的质量，在碰撞过程中，靶粒子可视为静止。取散射中心A为坐标原点，散射粒子体系的定态Schrdinger方程,（4）,令,方程（4）改写为,10,（5）,由于实验观测是在远离靶的地方进行的，从微观角度看，可以认为，因此，在计算

4、时，仅需考虑处的散射粒子的行为，即仅需考虑处的散射体系的波函数。,设时，方程（5）变为,（6）,11,在处，散射粒子的波函数是入射平面波和球面散射波之和。即,（7）,对于三维情形，波可沿各方向散射。,12,散射波的概率流密度,入射波概率密度（即入射粒子流密度）,为方便起见，取入射平面波的系数，这表明，入射粒子束单位体积中的粒子数为1。,（8）,13,单位时间内，在沿方向d立体角内出现的粒子数为,（11）,比较（1）式与（10），得到,（10）,（9）,14,下面介绍两种求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。分波法是准确的求散射理论问题的方法，即准确的散射理论。,由此可知，若知道了，

5、即可求得，称为散射振幅。所以，对于能量给定的入射粒子，速率给定，于是，入射粒子流密度给定，只要知道了散射振幅，也就能求出微分散射截面。的具体形式通过求Schrdinger方程（5）的解并要求在时具有渐近形式（7）而得出。,15,取沿粒子入射方向并通过散射中心的轴线为极轴z，显然与无关，对于具有确定能量的粒子，方程（2-1）的特解为,讨论粒子在中心力场中的散射。,（2-1）,粒子在辏力场中的势能为，状态方程,由于现在与无关(m=0)，所以，方程（1）的特解可写成,二、中心力场中的弹性散射（分波法）,16,方程（2-1）的通解为所有特解的线性迭加,（2-2）,（2-2）代入（2-1），得径向方程,

6、为待定的径向波函数，每个特解称为一个分波，称为第个分波，通常称的分波分别为s,p,d,f分波,（2-3）,17,（2-4）,考虑方程（2-4）在情况下的极限解,令方程（2-4）的极限形式,由此求得：,（2-5）,18,为了后面的方便起见，这里引入了两个新的常数,将（2-5）代入（2-2），得到方程（2-1）在情形下通解的渐近形式,（2-6）,19,另一方面，按上节的讨论，在远离散射中心处，粒子的波函数,（2-7）,（2-8）,式中jl(kr)是球贝塞尔函数,将平面波按球面波展开,（2-9）,20,利用（2-8）、（2-9），可将（2-7）写成,（2-10）,（2-6）和（2-10）两式右边应相

7、等，即,分别比较等式两边和前边的系数，得,21,（2-12）,（2-11）,可以得到,用乘以（12）式，再对从积分，并利用Legradrer多项式的正交性,22,即（2-13）,将此结果代入（2-11）式,（2-14）,23,可见，求散射振幅f()的问题归结为求，求的具体值关键是解径向波函数的方程（3-3）,由（2-8），（2-9）知，是入射平面波的第个分波的位相；由（2-6）知，是散射波第个分波的位相。所以，是入射波经散射后第个分波的位相移动（相移）。,的物理意义：,24,微分散射截面,（2-15）,总散射截面,25,即（2-16）,式中（2-17）,是第个分波的散射截面。,由上述看们看出：

8、求散射振幅的问题归结为求相移，而的获得，需要根据的具体情况解径向方程（2-3）求，然后取其渐近解，并写为,26,即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，必须寻找各个分波的相移来计算散射截面，这种方法称为分波法。,光学定理,表示由散射振幅在零点的虚部可以求出总散射截面,27,分波法求散射截面是一个无穷级数的问题。从原则上讲，分波法是散射问题的普遍方法。但实际上，依次计算级数中的各项是相当复杂的，有时也是不可能的，所以只能在一定的条件下计算级数中的前几项，达到一定精确度即可。,分波法的适用范围,散射主要发生在势场的作用范围内，以散射中心为圆心，以为半径的球表示这个范围，则时，散射效

9、果就可以忽略不计了。,28,由于入射波的第个分波的径向函数的第一极大值位于附近，当较大时，愈大，,愈快，如果的第一极大值位于，即时，在内，的值很小。亦即第个分波受势场的影响很小，散射影响可以忽略，只有第个分波之前的各分波必须考虑。所以，我们把分波法适用的条件,29,写成，而的分波不必考虑，愈小，则需计算的项数愈小，当时，这时仅需计算一个相移即足够了，足够小，意味着入射粒子的动能较低，所以分波法适用于低能散射，的分波散射截面可以略去。,30,说明,已知时，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子问题中，作用力不清楚，也即不知道的具体形式，这时，我们可先由实验测定散射截面和相移，

10、然后确定势场和力的形式和性质，这是研究原子核及基本粒子常用的一种方法。,31,思考题：什么是分波法？,入射平面波eikz按球面波展开,展开式中的每一项称为一个分波，每个分波在中心力场的影响下，各自产生一个相移。而的获得需根据的具体形式解径向方程,32,求出，然后取其渐近解，并写成,即可得到第个分波的相移，由于每个分波都将产生相移，所以，计算散射截面时须寻找各个分波的相移，这种方法称为分波法。,33,分波法应用举例,ex.球方势阱和球方势垒的低能散射。,粒子的势能:,是势阱或势垒的深度或高度。设入射粒子能量很小，其德布罗意波长比势场作用范围大很多（质子和中子的低能散射可以近似地归结为这种情况），

11、求粒子的散射截面。,Solve:粒子的径向方程,（1）,三、方形势阱与势垒产生的散射,34,其中,（2）,对于球方势阱,为粒子的能量，为粒子在靶粒子中心力场中的势能。,（2）,因粒子波长,所以仅需讨论s波的散射，据此及（2）式，可将方程（1）写成,35,其中,（4）,（3）,令,则（3），（4）可写成,（5）,36,（6）,其解为,（7）,（8）,于是,（9）,（10）,因在处有限，必须有,所以,37,在处，及连续，因此，及在处连续。由（7），（8）式得,总散射截面,（11）,（12）,由此求得相移,即,38,在粒子能量很低的情况下，。利用时，有,（13）,（14）,对于球方势垒。,这时，用代

12、替以上讨论中的，在粒子能量很低的情况下，（13）变为,（15）,39,EX.1,Solve为一般起见，先考虑分波的相移，再取特殊情况分波的相移。,粒子受到势能为的场的散射，求s分波的微分散射截面。,根据边界条件,（1）,解径向函数满足的径向方程,令,40,所以（2）式可以写成,于是（3）式又可写成,（3）,令,41,上式是阶贝塞尔方程，其解为，因此,但当时，,所以在附近,由,（4）,42,（5）,比较（1）式和（5）式，则有,43,将值代入微分散射截面的表达式,立即可得到s分波的微分散射截面,令,s分波散射截面,44,EX.2,慢速粒子受到势能为的场的散射，若，求散射截面。,由径向波函数所满足的径向方程,当时,（1）,令,（2）,Solve:由于是慢速粒子散射，对于低能散射只需考虑分波。,45,将代入以上方程,（3）,并令（4）,（6）,（5）,46,当应有限，则要求,在处，和连续,两式相除，得,47,总散射截面,(7),讨论：当粒子的能量时，,如果粒子能量很低的情况下,48,如果时，于是有,在