04 全等三角形的概念、性质与判定1教师 初一自招进度三

1、 1 / 10 第四讲 全等三角形的概念、性质与判定（1） 一、全等的概念 全等图形：全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形 全等多边形：全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角 全等多边形的对应边、对应角分别相等 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE五边形A B C D E 这里符号“”表示全等，读作“全等于” 全等三角形的概念与表示：全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形能够相互重合的顶点、边、 角分别叫作对应顶点、对应边、对应角全等符号为“” 全等三角形的性质：

2、全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角 平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对 应边(或对应角)要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键 2 / 10 二、全等的性质和判定

3、 全等三角形的判定方法：全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全等三角形的应用：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程 中，注意有时会添加辅助线 判定三角形全等的基本思路：判定三角形全等的基本思路：

4、SAS HL SSS 找夹角 已知两边 找直角 找另一边 ASA AAS SAS AAS 边为角的对边找任意一角 找这条边上的另一角 已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角 找该角的另一边 ASA AAS 找两角的夹边 已知两角 找任意一边 3 / 10 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： 平移全等型 对称全等型 旋转全等型 由全等可得到的相关定理：由全等可得到的相关定理： 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)

5、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 4 / 10 【例1】 两个三角形具备下列（ ）条件，则它们一定全等 A两边和其中一边的对角对应相等 B三个角对应相等 C两角和一组对应边相等 D两边及第三边上的高对应相等 答案：C 【例2】 下列命题错误的是（ ） A全等三角形对应边上的高相等 B全等三角形对应边上的中线相等 C全等三角形对应角的角平分线相等 D有两边和一个角对应相等的

6、两个三角形全等 答案：D 【例3】 不能确定两个三角形全等的条件是（ ） A三边对应相等 B两边及其夹角相等 C两角和任一边对应相等 D三个角对应相等 答案：D 【例4】 如图，图中有两个三角形全等，且ADAB ，与DF是对应边，则下列书写最规范的是 （ ） AABCDEF BABCDFE CBACDEF DACBDEF 答案：B 【例5】 已知ABCDEF，DEF的周长为32cm，912DEcmEFcm，则AB ， BC= ，AC F D EC B A 5 / 10 D E C B A 21 ED CB A 【例6】 如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，则 【例7】 斜边和一锐角对应相

7、等的两直角三角形全等的根据是 ， 底边和腰相等的两个等腰 三角形全等的根据是 【例8】 在ABC和 ABC中， 条件 （1） ABAB，（2） BCBC，（3） ACAC，（4） AA， （5）BB， （6）CC，能保证 ABCABC的组合方式有_种 解：7种，AAS和ASA应看成一种，SSS有1种，SAS有3种，AAS 有3种，共1 3 37 种 【例9】 如图，ACABAD，平分CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有 对 A1 B2 C3 D4 答案：C 【例10】 如图，ABC中，DE、是BC边上两点，ADAE，BECD，12110 ，60BAE， 则CAD等于（ ） A70 B60

8、 C50 D110 答案：B 【例11】 ABC和DEF，ABDEAD ，若ABCDEF还需要（ ） ABE BCF CACDF D以上三种情况都可以 答案：D 【例12】 如图，ABC中，90CACBCAD，平分CAB交BC于D， DEAB于E且6ABcm，则DEB的周长为（ ） A40 cm B6 cm C8cm D10cm 答案：B DCB A E D C B A 6 / 10 【例13】 如图，CABDBACDACBD，相交于点E，下面结论不正确的是（ ） ADAECBE BDEA与CEB不全等 CCEED DAEB是等腰三角形 答案：B 【例14】 如图， 已知中，平分， 请补充完整

9、 过程说明 解：平分， _=_(角平分线的定义). 在和中， （SAS） 答案：AB=AC，BAD=CAD，AD=AD 【例15】 如图，与相交于点，已知，求证： 证明：在和中 ( SAS) 答案：OA=OC，AOB=COD，OB=OD ABCACAB ADBAC ABDACD ADBAC ABDACD ABDACD ACBDOOCOAODOB AOBCOD AOBCOD AOBCOD E D C B A 7 / 10 【例16】 如图，已知点、在同一条直线上，、 求证： （1）； （2） 证明： （1）， 即，在和中， ，（） （全等三角形对应角相等） ，（内错角相等，两直线平行） （2）由

10、（1）知 ， 即， （内错角相等，两直线平行） 【例17】 如图，已知，则吗？为什么？ 解：连接， 在和中， ， （） 【例18】 如图，AB=CD，AD=BC求证： 证明：连接 AC， 在与中， AC=AC (公共边) AB=CD（已知） BC= AD（已知）（SSS） ，（三角形全等，对应角相等） ACFDDEAB EFBC CDAF ABDEBCEF DCAF FCDCFCAF DFAC ABCDEF （已知） （已知） （已证） EFBC DEAB DFAC ABCDEFSSS, DAABDE DAEB EDBA CFEBCFBCEF ADAB CDCB DB AC ABCADC AC

11、AC CDCB ADAB ABCADCSSS DB DB ABCCDA ABCCDADB F E D C B A C D B A 8 / 10 【作业1】 如图，点 E，F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，求证： 证明：由题意知：BE=CF(已知)， 则 BE+EF=CF+EF， 即 BF=CE（等式的性质） ， 在与中， BF=CE（已证） （已知） AB=DC（已知） 则 (SAS) （全等三角形对应角相等） 【作业2】 如图，AB=AC，AD=AE，求证： 证明：在与中， AB=AC（已知） (公共角) AE=AD（已知） （SAS） （全等三角形对应角相等） 【作业3】 如图，C

12、 是 AB 的中点，AD=CE，CD=BE，求证： 证明：C 是 AB 的中点， AC=CB（中点性质） 在与中， AC=CB（已证） AD=CE（已知） CD=BE（已知） （SSS） CBDA ABFDCE CB ABFDCE DA CB ABEACD AA ABEACD CB ACDCBE ACDCBE ACDCBE 9 / 10 F A C D B E 21 B AC D E 【作业4】 在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 F，E 为 AC 上一点，且 AD=AB，ED=EB. 求证：及 证明：提示：先证（SSS） 可得，所以(邻补角定义) 再证（SAS） 【作业5】 如图，已知点 B 是线段 AC 的中点，BD=BE， .求证： 证明： 即. 又 B 是 AC 的中点 AB=CB 在和中， AB=CB（已证） （已证） DB=BE（已知） （SAS） AEDAEBEBFEDF AEDAEB DEABEABEFDEF EBFEDF 21ADBCEB 21 EBDEBD21 CBEABD ADBCEB ABDCBE ADBCEB 10 / 10 备用 1.