单位圆与诱导公式(第一课时)

1、1.4.4单位圆与诱导公式(第一课时)主备人：刘红岩 教材分析 本节教学内容的安排是学生学过的三角函数定义等知识的延续和拓展.根据上一节任意角的正弦、余弦函数的定义，我们知道某角的三角函数值是由该角的终边上点的坐标给出的.我们根据这一点，即三角函数的定义，结合角的终边与角+，-，-的终边的对称性，找出这些角的三角函数值与角的三角函数值之间的关系，并利用这些关系求一些角的三角函数值，化简一些三角函数式，即我们不仅要探索出这些关系式，还要掌握并能利用它们解决一些简单的问题. 诱导公式是求三角函数值的基本方法，求三角函数值是三角函数中的重要问题之一.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化

2、为求0-90角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化的思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力、,掌握数学的思想方法具有重大的意义. 在本节诱导公式的学习中，关键是紧紧抓住单位圆这一图形工具，充分利用数形结合思想，将化归思想贯穿始终，这些典型的数学思想，无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，都清晰地得到体现.在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中，让学生了解化归思想，形成初步的化归意识，特别是在本课时的几个转化问题引入后，为什么确定180+角为第一研究对象，-角为

3、第二研究对象，正是化归思想的运用.本节内容的重点是诱导公式的推导及运用，在公式的推导中，首先确定180+角、-角的终边与角的终边有何位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，由正弦函数、余弦函数的定义得出结论.另外，运用公式进行一般的化简，实际上也是熟悉公式、巩固公式的一种方法，因此它同样属于本课时的重点之一. 本节课教学方法主要采用了引导、观察、分析、归纳、讨论、类比发现法，在教案设计过程中，一是立足于知识的发生、发展形成过程，不断创设问题情境，让学生从已有的知识及感知中去观察、分析、总结公式的特点提炼公式的含义；二是力求以学生为主体，对课本上内容进行重新处理，特别是通过设疑和学生间互相讨论，以

4、及画图思考来引导学生发展思维，获取新知识，形成技能.这样既注重学生的认知结构培养，也体现数学教学是数学思维活动过程的教学；三是注重数学思想方法，如数形结合、化归、类比等数学思想方法，把握数学中最本质的东西，为学生进一步学习数学奠定坚实的基础.教学目标1.通过学生的探究，明确三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想.2.通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，并通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力.3.通过诱导公式的推导，培养学生主动探

5、索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识及学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辩证唯物主义思想，提高分析问题和解决问题的能力,体会数学式子的简洁美、对称美以及数学式子变化的无穷魅力.重点难点教学重点：诱导公式的推导及灵活运用，如三角函数式的求值、化简和证明等.教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.导入新课 在单位圆中，216角的终边op在第三象限内，将op反向延长，与单位圆交于p点，则在090之间找到一个角=216-180=36.由于opmopm，所以有mp=mp.又因为sin216=mp，sin36=mp，而mp与mp的长度相同、方向相

6、反，所以有sin216=-sin36.这样便把求sin216的值的问题，转化为可查表的36角的三角函数求值问题.你能把以上几何变换的过程，用三角关系式表示出来吗？由此引入新课.或者从猜想中引入：比如学生根据上节所求，会得到以下结果：sinsin，cos-cos-；sinsin，cos-cos-,等等. 教师由此发问:观察角与角的关系会得到什么结论？把角、放到单位圆中又有什么发现呢？让学生在强烈的探求欲望中展开新课，这也是一种很不错的选择.新知探究提出问题让学生回忆任意角的正弦、余弦函数是怎样定义的？观察单位圆，角与-的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？观察单位圆，角与-，2-的正弦、余弦函数值具

7、有怎样的关系？观察单位圆，角与+的正弦、余弦函数值具有怎样的关系？活动:教师在唤起学生对任意角的正弦、余弦函数定义的回忆后，指导学生画出单位圆，并在单位圆中画出角、，思考分析它们的关系.图1教师与学生一起观察图1，mop=,mop=,在直角坐标系的单位圆中，点p与点p关于y轴对称，它们的坐标分别为(，)、(-，)，即它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反.sinsin，cos-cos.这很自然地引起学生的猜想：对任意的角与-是否也具有这种关系呢？教师引导学生做进一步探究.教师出示课件，将的终边绕单位圆一周，让学生在动态中思考与-的关系.让学生观察图2，或由学生在单位圆中，作mop=,m

8、op-.不难看出，点p(a,b)和点p(-a,b)关于y轴对称.因此，它们的纵坐标相等，横坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(-)=sin,cos（-)=-cos.图2 有了上述探究过程的经历，学生会想到用类比的思想方法来进一步探究角与-，2-的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，让学生在动态中感知与-的位置关系(如图4).在引导学生观察图3时，可让学生自己独立探究、归纳发现公式，体验在自己的发现中成功的愉悦感，以提高数学学习的自信心和进一步探究的欲望.事实上，在单位圆中，作mop=,mop-(或2-)，不难看出，点p(a,b)和p(a,-b)关于x轴对称.因此，它们的横坐标相等，纵坐标的

9、绝对值相等且符号相反,即sin(-)=-sin,sin(2-)=-sin,cos(-)=cos,cos(2-)=cos.图3图4 同样学生可自主探究角与+的正弦、余弦函数值的关系.教师演示课件，动态的表示出与+的位置关系(如图6).然后引导学生观察图5，在单位圆中，作mop,mop+，不难看出，点p(a,b)和p(-a,-b)关于原点对称.因此，它们的横坐标绝对值相等且符号相反，纵坐标绝对值相等且符号相反,即sin(+)=-sin,cos（+)=-cos.图5图6 通过以上探究，我们得到了三组公式，这给我们的三角函数求值、化简、证明带来了极大便利.教师与学生一起观察分析公式的结构特征，找出记忆

10、的诀窍，强调无论是锐角还是任意角，公式均成立；可以这样概括说明记忆：-,2-的三角函数值等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.或者进一步简记为：“函数名不变，符号看象限”，点拨、引导学生注意公式中的任意性.例题讲解例1 求下列各角的三角函数值：(1)sin(-); (2)cos; (3)cos(-).活动:本例是直接运用公式的题目，目的是让学生熟悉公式，初步体会公式的简单应用.通过练习,加深对公式的理解，逐步达到正确熟练的公式应用.解答时可让学生观察题目中角的范围，对照公式找出哪个公式适合解决这个问题，可让学生独立解答，对个别有困难的学生教师对其适时的点拨引导.解:(1)s

11、in(-)=-sin=-sin(2-)=-(-sin)=sin=(2)cos=cos（-)=-cos=-（3)cos(-)=cos=cos（4+)=cos（+)=-cos=-. 点评:利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：任意负角的三角函数任意正角的三角函数0-2三角函数锐角三角函数，这种变化体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.教师应提醒学生注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要记诵这个步骤.在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式、后用哪个公式是没有什么固定要求的，否则就违背了学习的本质要义，解题就成了死解题、解死题，可谓题目解了千

12、千万万，一到考试不得分，其学习当然也就成了死学习，越学越不得要领，结果把自己本来的灵活学成了呆板.如本例(1)完全可以这样来解：sin(-)=sin(-2+)=sin=.变式训练 利用公式求下列三角函数值：(1)cos(-51015); (2)sin(-).解:(1)cos(-51015)= cos51015=cos(360+15015)=cos15015=cos(180-2945)=-cos2945=-0.868 2.(2)sin(-)=sin(-32)=sin=例2 化简活动:教师引导学生认真仔细观察题目，题中四个三角函数是对诱导公式进一步的复习和巩固，重点训练学生对知识的掌握程度和应用的

13、灵活程度.可适时地提醒学生注意，利用诱导公式时尽可能将角统一，从而达到化简的目的.本例可由学生自己完成，教师也可在学生解完此题后让学生变化题目，进行一题多变.如可在180及360的前面添加偶数n或奇数n或整数(此时需要分类讨论)n；亦或将角前面的“+、-”进行变化，这样可达到一题多用的目的，提高学生的兴趣，长此以往学生就能达到解一题会一片，就能融会贯通而灵活多变，达到我们常说的“越学越省劲,越学越聪明”的境界.解:sin(-180)=sin-(180+)=sin(180+)=-(-sin)=sin,cos(-180-)=cos-(180+)=cos(180+)=-cos,cos(180+)=-

14、cos,sin(360+)=sin.所以，原式=1.点评:运用诱导公式时可首先将负角化为正角，这有利于解题的简洁.变式训练 化简cos315+sin(-30)+sin225+cos480.解:cos315+sin(-30)+sin225+cos480=cos(360-45)-sin30+sin(180+45)+cos(360+120)=cos(-45)-sin45+cos120=cos45-+cos(180-60)=-cos60=-1.3.已知函数f(x)=asin(x+)+bcos(x+).其中a,b,都是非零实数，又知f(2 003)=-1，求f(2 004)的值.活动:解决本题的关键是寻

15、求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系，这个联系就是我们解答问题的钥匙.显然通过诱导公式，我们可以将f(x)的表达式化为只有,的代数式.然后逐步转化利用条件解之，教师可让学生独立探究，适时地给以点拨.解:f(2 003)=asin(2 003+)+bcos(2 003+)=asin(2 002+)+bcos(2 002+)=asin(+)+bcos(+)=-asin-bcos=-(asin+bcos),f(2 003)=-1,asin+bcos=1.f(2 004)=asin(2 004+)+bcos(2 004+)=asin+bcos=1.点评:解决问题的实质就是由未知向已知转

16、化的过程，在这个过程中一定要抓住关键和要害，注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键就是求得式子asin+bcos=1，它是联系已知和未知的纽带.知能训练课本练习1、2.课堂小结 由学生回顾本节课的学习过程，归纳总结本节课所学到的数学知识及数学思想方法.本节的重点是公式的推导过程及应用.在突出重点的同时，要抓住公式结构特点，善于记忆公式.如本节公式：-,2-的三角函数值等于它的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，也可简单记忆为：“函数名不变，符号看象限”；切实掌握利用单位圆探究问题的数形结合思想，掌握由未知向已知转化的化归思想,并且在合作探究中学会交流，提高我们的合作意识和探究能力.作业课本习题14 4、5、6.设计感想 本课的教学设计是依据新