阅读与思考海伦和秦九韶.ppt

1、正弦定理和余弦定理的综合应用,1.正弦定理_,其中R是ABC的外接圆半径.,2.正弦定理的其他形式(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.(2)(3)abc=sinAsinBsinC.,3.余弦定理a2=_,cosA=_;b2=_,cosB=_;c2=_,cosC=_.,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,考向一正弦定理、余弦定理的简单应用【典例1】(2016黄冈模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且ab,则B=(),【规范解答】(1)选A.根据正弦定理,设则a

2、=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.将它们代入asinBcosC+csinBcosA=整理得sinAcosC+cosAsinC=即sin(A+C)=,又sin(A+C)=sin(-B)=sinB,所以sinB=因为ab,所以B必为锐角,所以B=,考向二利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状【典例2】(2016洛阳模拟)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定,【规范解答】(1)选A.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCc

3、osB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,所以A为直角,所以三角形ABC是直角三角形.,2.(2016汕头模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若原点到直线xsinA+ysinB+sinC=0的距离大于1,则此三角形形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定,【解析】选C.由已知,所以sin2Csin2A+sin2B.又=2R,所以,c2a2+b2.由余弦定理得cosC=0,所以,C为钝角,三角形为钝角三角形.,3.(2016六安模拟)ABC中,如果那么ABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角

4、形D.钝角三角形,【解析】选B.由正弦定理及整理得cosA=cosB=cosC,因为A,B,C为三角形内角,所以ABC是等边三角形.,【典例3】(2016武汉模拟)在ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若bsinA-acosB=0,且b2=ac,则的值为()A.B.C.2D.4,考向三正弦定理、余弦定理的综合应用,【解析】选C.ABC中,由bsinA-acosB=0,利用正弦定理得sinBsinA-sinAcosB=0,所以tanB=,故B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,即b2=(a+c)2-3ac,又b2=ac,所以4b2=(a+c)2,求得=2.,变式训练.1、(2016南阳模拟)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=(),【解析】选D.因为3sinA=5sinB,由正弦定理可得:3a=5b,所以a=又b+c=2a,可得c=2a-b=不妨取b=3,则a=5,c=7,所以cosC=因为C(0,),所以C=,【规律方法】与三角形的边长、角度等有关问题的求解思路(1)若求角,则先把已知条件中的