第六章 概率基础.ppt

1、随机变量的概率分布,第六章概率基础,学习内容,学习重点,学习难点,第一节随机事件及其概率第二节随机变量及其分布,1、基本概念及其概率的运算2、随机变量的概率分布3、大数法则和中心极限定理的意义,学,习,指,导,一、随机事件和样本空间二、随机事件的关系和运算三、随机事件的概率及其计算,随机事件和样本空间,试验,结果,随机试验,随机现象,不确定,样本点（）：实验可能出现的最简单的结果，也称基本事件,基本事件空间（）：由基本事件的全体构成样本空间。,当试验结果为随机不确定性时，我们称该试验为随机试验,随机事件的关系和运算,事件A和事件B的运算AB或AUB，称“事件A或B”，表示事件A与事件B中至少有

2、一个发生。,B,A,AUB,“AB”称为事件A和事件B的积，也记作AB，表示事件A、B同时发生。,B,A,随机事件的关系和运算,随机事件的关系和运算,若事件A出现时，事件B必然出现，则称A被B所包含，或称B包含A，记作AB。,B,A,随机事件的关系和运算,若AB，则称事件A与事件B为不相容事件，或叫互斥事件。,B,A,随机事件的关系和运算,随机事件的关系和运算,如果两个不相容事件的和是一个必然事件，那么称这两个事件“互为逆事件”，或称为对立事件，A的逆事件记作A。,A,A,随机事件的概率及其计算,什么是概率？,随机事件A发生可能性大小的度量指标称为A发生的概率(Probability)，记作P

3、(A)。概率的具体数值介于0和1之间。,古典概型,古典型随机试验的特征：只有有限个基本事件；每基本事件出现的可能性是相等的。对于古典型的随机试验事件A发生的概率计算方法为：,概率的加法定理,任何两个给定的事件A、B，则它们并事件(和事件)的概率，等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即：P(AUB)P(A)P(B)一P(AB),概率的乘法定理,由条件概率可以导出概率的乘法公式：对任意两个事件A、B，若P(B)0，则有P(AB)P(B)P(AB)P(A)P(BA),本节小结,本节介绍了随机事件和样本空间的基本概念，讨论了随机事件概率的两种计算方法。,一、随机变量及其分

4、布二、离散型随机变量的概率分布三、连续型随机变量的分布四、随机变量的数字特征五、大数法则和中心极限定理,一、随机变量及其分布,若变量的取值在试验前无法确定，而要依赖于试验的结果，因而具有随机性，人们常称这种变量为随机变量。按取值的情况，可将随机变量分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。研究一个随机变量，只知道它可能取哪些值是远远不够的，更重要的是要知道它取这些值的概率是多少。即重要的是研究随机取值到底遵从什么样的“概率分布”规律。,二、离散型随机变量的概率分布,取值为有限个或可列个的随机变量为离散型的随机变量。我们可以用概率分布全面地描述离散型随机变量的统计规律性。通常以用表格来表示离散型

5、随机变量X的概率分布：,请思考,什么是超几何分布、二项分布、泊松分布，其概率分布如何表达？,讨论,三、连续型随机变量的分布,分布函数与密度函数正态分布t分布X2分布F分布,分布函数与密度函数,一个随机变量如果能在某一区间可取任意数则称为连续型随机变量。由于连续型随机变量的取值无法像离散型随机变量取值那样一一列出，所以其概率分布也不能用分布列而只能用数学函数形式来描述。,密度函数,若对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负函数p(x)，使对X的任意实数有则称X为连续型随机变量，p(x)称为J的概率密度函数，简称为密度函数。,分布函数F（X）的性质,(1)单调性。若x1x2，则F(x1)F(x2

6、)；(2)(3)左连续性，F(x0)F(x)。反过来，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某一随机变量的分布函数。,密度函数p(x)的性质,由分布函数的性质即可验证任一连续型随机变量的必具有下述性质：(1)p(x)0；(2)(3)如果随机变量X的密度函数为p(x)，则对任意的x1，x2，(x1x2)，有,密度函数的几何意义,密度函数p(x)的性质,(4)连续型随机变量X取单点值的概率为零，即,正态分布,如果随机变量X的概率密度的函数为：,，,其中0，和均为常数，则称X服从参数为和的正态分布，记作X(，2)。,分布函数,相应的分布函数(x)为：,其中是正态分布的数学期望，2是正态分布的方差。,

7、正态分布的概率密度函数p(x)的性质,(1)在直角坐标系内p(x)的图形呈钟形，以x为对称轴，左右对称。(2)在x处，p(x)取最大值，为,x越远越离，p(x)值越小，曲线以x轴为渐近线,正态分布的概率密度函数p(x)的性质,(3)密度曲线同x轴所围成的面积恒等于1。当固定时，则由p(x)的极大值可知，越小时，曲线越陡峭；越大的，曲线越平缓，见图A。反之，如果为固定的，那么改变的值，p(x)的图形将沿着x轴平行滑动，而曲线的形状不改变，见图B。,图A,正态分布的性质,(1)若x服从正态分布，则对任意、b、也服从正态分布。(2)若X、Y皆服从正态分布，且相互独立，则对任意的常数a、b(a、b不全

8、为0)，也服从正态分布。参数时的正态分布称为标准正态分布。当随机变量服从标准正态分布时，记作XN(0，1)，其概率密度函数为,请思考,什么是t分布、X2分布、F分布，它们数学期望和方差分别是多少，它们适用于何种场合？,讨论,四、随机变量的数字特征,概率分布全面地描述了随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这种“全面描述”并不方便。有时我们需要了解概率分布的某些数字特征；其中最重要的一个是随机变量的数学期望即均值，它反映随机变量的集中趋势；另一个是随机变量的方差，它反映了随机变量的离散程度。,五、大数法则和中心极限定理,什么是大数法则？,大数法则(Lawofgreatnumbers),设是n次独立重复试验中事件A发生的次数。p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数0有：,OR,中心极限定理,一般意义：无论随机变量服从何种分布，只要样本容量足够大，都可以近似地看作是服从正态分布。中心极限定理说明，大量相互独立的随机变量和的概率分布是以正态分布为极限的。由于正态分布在概率论中占有的中心地位，中心极限定理因此