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文档简介

1、 第一讲 整数根问题（1）基本解题方法：因式分解法、韦达定理法、判别式法1. 因式分解法：（1）首项系数可分解（主要解法）例1：（2）末项系数可分解例2：（3）判别式为完全平方式（或直接看出因式分解）例3：解法：（i）整数、以例1为例，对于整数逐个讨论即可求得和方程解（ii）实数、（必须方程为两整根）以例1为例，2. 韦达定理法：方法使用特征：（1）两个整数根（严格要求）；（2）各项系数一般为一次式例4：试确定一切有理数，使得关于的方程有且只有整数根3. 判别式法：方法使用特征：（1）整系数方程（严格要求）；（2）为完全平方数；（3）有理根（要验根）解法：（i）（配方法，利用平方差求）例5：（

2、ii）（利用二次不等式求范围，逐个验证）例6：（iii）（设为平方数，反代回求根公式求）例7：4. 其他特殊做法：换元法、选主元法、数论法（整除的性质、质数）等等【因式分解】1. 求不定方程的正整数解的个数. 解答： 一共产生24组解. 2. 求不定方程的正整数解（格致自招）. 解答： ， 3. 为什么整数时，方程的解都是整数？4. 已知为整数，且关于的方程有两个不相等的正整数根，求的值. 【解答】原方程可化为，两根为正整数，取4、2、1，值为5、3、2； 取6、3、2、1，值为5、2、1、0；值为5或2，当时，方程两根为等根，舍去；当时，方程有两个不相等的正整数根，. . 5. 关于的二次方

3、程的两根都是整数，求实数的值。【韦达定理】6. 已知方程，有两个不等正整数根，求的值. 【解答】7. 当是什么整数时，关于的方程的两根都是整数？【解答】设两整数根为，且，则有,所以有，则或，解得或. 或. 8. 求满足如下条件的所有值，使关于的方程的根都是整数【判别式】9. 已知、是有理数，并且方程有一个根是，那么的值是_10. 设m为整数，且，又方程有两个整数根.求的值及方程的根.【解答】考察判别式，由已知，可知.为使判别式为完全平方数，只有或.当2 方程两根分别为16，26；当，方程两根分别为38，52.11. 已知方程的根都是整数，求整数n的值. 【解答】为完全平方数，设（为正整数）即因2n+8+k 2n+8-k, 故可得如下4个方程组，分别解得【课后练习】1. 已知关于x的方程的根都是整数，求的值. 【解答】2. m是什么整数时,方程有两个不相等的正整数根?【解答】原方程可分解为.因为,所以x1=, x2=. x1,x2为正整数,且,解得

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