工程力学电子教案第三章（全沅生周家泽主编）

1、重点：,第3章空间力系的平衡3.1力在空间直角坐标轴上的投影空间力系中的力F在坐标轴上的投影：从里F的两端分别向该坐标轴作垂直平面，平面在坐标轴上交点的距离为力F在此轴上的投影。图3-1所示。力F在三个轴上的投影为Fx=FcosFy=FcosFz=Fcos（3-1）其中、为力F的方向角，它们的余弦称为力F的方向余弦。若已知三个分力，求合力大小。将上式平方相加,重点：,则cos2+cos2+cos2=1；力F的大小为F=(3-2)cos=Fx/Fcos=Fy/Fcos=Fz/F(3-3)某些情况下F力与坐标轴的夹角不一定都知道，图3-2所示。Fx=FsincosFy=FsinsinFz=Fcos

2、(3-4)例3-1长方体作用有三个力F1=500N,F2=1000N,F3=500N，各力的方向及长方体的尺寸如图3-3所示。求各力在坐标轴上的投影。,重点：,解：力F1及F2与坐标轴的方向角均已知，故此两力在坐标轴上投影分别为：F1x=F1cos900=0F1y=F1cos900=0F1z=F1cos1800=-500NF2x=-F2sin600=-866NF2y=F2cos600=500NF2z=F2cos900=0因力F3在oxy面上的投影与x轴的夹角为、仰角为，故由图可求出：sin=AC/AB=2.5/5.59；cos=BC/AB=5/5.59sin=CD/CB=4/5；cos=DB/

3、CB=3/5,重点：,则力F3在三个坐标轴上的投影分别为：F3x=805NF3y=-1073NF3z=671N3.2力对轴的矩如图3-4所示。如果力F平行于z轴或穿过z轴，显然，门无法打开。此种情况下，力对轴的矩为零。如果力在垂直于转轴的平面内，且与转轴有一个力臂d，则门可以打开。力F越大、d越大，其转动效果越明显。一个空间力分解后为一个z向的力和一个xy平面内的力。力Fxy对O点的矩即力对轴的矩。Mz（F）=Mo(Fxy)=Fxyd(3-5)逆时针为正，顺时针为负。即右手螺旋法则。同样，在空间力系中也有合力矩定理。设有一空间力系F1、,重点：,F2Fn,其合力FR，合力对某轴的矩等于各分力对

4、同轴的矩的代数和，即Mz(FR)=Mz(F1)+Mz(F2)+Mz(Fn)=Mz(F)(3-6)例3-2图3-5所示。手柄在Axy平面内，在点D作用一力F，它在垂直于y轴的平面内，与竖直线的夹角为。已知CD=a,AB=BC=l。杆BC平行于x轴，杆CE平行于y轴。求力F对x轴、y轴和z轴的矩。解：将力F分解为两个分力Fx,Fz，其中Fx=Fsin,Fz=Fcos，由合力矩定理，力F对轴的矩等于分力Fx和Fz对同一轴的矩的代数和，即Mx(F)=Mx(Fx)+Mx(Fz)My(F)=My(Fx)+My(Fz)Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fz),重点：熟练掌握空间力学平衡条件,由于Fx平行于x轴

5、，Fz平行于z轴，故有Mx(Fx)=0；Mz(Fz)=0Fx与y轴相交，故有My(Fx)=0由此：Mx(F)=Mx(Fz)=-Fz(AB+CD)=-F（l+a）cosMy(F)=My(Fz)=-FzBC=-FlcosMz(F)=Mz(Fx)=-Fx(AB+CD)=-F(l+a)sin3.3空间力系的平衡条件及平衡计算空间力系也可以向任意点简化，一般来说，简化结果可得一力和一力偶。分别称为主矢和主矩。其大小为：FR=Mo=(3-7)若空间力系平衡，则主矢和主矩必为零。反之，则平衡。,重点：,亦即Fx=0；Fy=0；Fz=0；Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=0；(3-8)空间力系平衡的

6、条件是：力系中各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零，各力对三轴的力矩的代数和也分别等于零。空间力系是一般力系，前面所有力系均为其特例。下面分析空间汇交力系和空间平行力系的平衡方程。图3-6所示。刚体受汇交力系作用而平衡，取坐标系oxyz,各力均穿过三轴，故Mx(F)=0；My(F)=0；Mz(F)=0空间平行力系受力分析：图3-7所示。各力在x和y轴上的投影为零。建立方程：,重点：熟练掌握空间力系的平面解法,Fx=0Mx(F)=0My(F)=0(3-10)3.4空间力系的平面解法空间力系平衡时，其在任何平面上的投影力系也平衡。将空间力系向三个平面投影，转化成平面力系建立平衡方程求解。此为

7、空间力系的平面解法。例3-5水平传动轴上安装着带轮和联轴器，图3-10所示。已知联轴器上驱动力偶矩M=20N.m，带轮所受到的紧边胶带拉力FT沿竖直方向，松边胶带拉力FT与竖直线成300夹角，FT=2FT，带轮直径d=16cm,a=20cm,轮轴自重不计。求A、B两轴承的支座反力。解：以轮轴为研究对象，图b。,重点：,采用化空间问题为平面问题的方法建立平衡方程。先向Axz面投影，图c。建立方程：MA(B)(F)=0,(FT-FT)d/2-M=0;带入FT=2FT得FT=2M/d=250N再向Ayz平面投影，图d。建立方程：,重点：,MA（F）=0，FBz.2a-(FT+FTcos300)a=0

8、Fz=0，FAz+FBz-(FT+FTcos300)a=0解得FBz=358.25NFAz=358.25N最后向Axy平面投影，图e。建立方程：MA（F）=0，-FBz.2a-FTsin300.a=0Fx=0，FAx+FBx+FTsin300=0解得FBx=-62.5NFAx=-62.5N例3-6起重绞车如图3-11所示。鼓轮半径r=0.1m，齿轮分度园半径R=0.2m，其上受力Fn的作用，力Fn与该力作用点的切线成角（压力角，标准为200）。鼓轮和齿轮一起转动。设起吊重物P=10kN。求重物在空中静止时，支座A、B,重点：,的反力及齿轮所受的力Fn。解：以轴、鼓轮和齿轮为研究对象，取坐标系Axyz。受力分析图a。将该系统受力向三个坐标平面投影，图b、c、d。在Axz面建立平衡方程：MA(B)(F)=0，-Fncos.R+Pr=0解得Fn=5.32kN在Axz平面建立方程：,重点：,MA(F)=0，-Fnsin(0.5+0.5)-P0.5+FBz(0.5+0.5+0.2)=0Fz=0，FAz+F