2015暑假 初三数学培优进度一上教师

1、 2015年暑假班 新初三数学培优进度一次数内容备注1解直角三角形（1）2解直角三角形（2）3解直角三角形（3）4解直角三角形综合练习5二次函数的图像与性质（1）6二次函数的图像与性质（2）7二次函数的图像与性质（3）8二次函数与二次方程的关系9二次函数的最值10二次函数的应用（1）11二次函数的应用（2）12二次函数的应用（3）13二次函数的综合练习14圆的基本性质15直线与圆的位置关系16圆于圆的位置关系17圆与正多边形18圆的综合练习19综合练习第一讲 解直角三角形（1）1直角三角形中锐角的邻边与对边分别为锐角的相邻的直角边与锐角的所对直角边2锐角的三角比:锐角的正弦， 如图 ；锐角的余

2、弦， 如图 ；锐角的正切， 如图 ；锐角的余切， 如图 【常用公式】 互余关系: 互补关系: 平方关系:倒数关系:【常用特殊角的正余弦值】角 三角函数一【三角形面积公式】 对任一，已知，则有提示:过点作于，即可证明【例题1】 已知，为锐角，求的其它三角函数值解:设，【例题2】 计算解:原式 【例题3】 如图，梯形中，是上的一点，若把沿翻折后，点与点重合，求的值解:过点作于，易知，设，则，在中，解得，【例题4】 如图，在中，于，则_答案: ，提示:设，则，【例题5】 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为_.答案:提示:利用面积相等知，底为高的一半【例题6】 如图，点是矩形中边上

3、一点，沿折叠为，点落在上. 若，求的值.解:在中，设， 沿折叠为， 易证，【例题7】 如图，已知在中，是角平分线，且，求解:作，垂足为易知在中，有在中，有则设，则，由题设得:，即又、从而，所以【例题8】 如图，在中，是边上的高，已知，求解:，.，【例题9】 如图，在中，是边的中点，垂直于且交于求证: （只能用三角比的知识证）解:作于，设，因，所以，又又，而故而，而，所以，即，又，又、都是锐角，因此【例题10】 如图，已知一次函数的图像经过，两点，并且交轴于点，交轴于点，（1）求证:；（2）求证:解:（1）易求一次函数的解析式易知，；（2）方法一: ，方法二: ，【例题11】 如图，中，、分别表

4、示以、为边的正方形，求图中阴影部分的面积之和的最大值解:，又，同理可知其他两个阴影三角形的面积也都等于当时取等号故阴影部分的最大面积为 【课后作业】【作业1】 如图所示，四边形是正方形，为上一点将正方形折叠，使点与点重合，折痕为，若，求:（1）ANE的面积；（2）sinENB 解:（1）设，由题意得: 解得:在中: (2)1. 已知是非零常数，且，求（用含的式子表示）第二讲 解直角三角形（2）1 解直角三角形: 直角三角形中共三边三角（直角已知），已知两个元素（至少已知一 边，直角除外），求其余的边和角的问题2 解直角三角形常用的关系:（1）两个锐角之和为，（2）勾股定理，（3）锐角三角比 3

5、 仰角和俯角: 4 坡角和坡比（坡度）的意义:如上右图，坡比（也称坡度） ，通常化为 的形式 另外，坡比坡角的正切值， 【例题1】 已知:如图，在中，点为边上一点，且，求的周长（结果保留根号）解:，的周长DCNMAB【例题2】 如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡的坡比，且身高为的小明站在大堤点，测得高压电线杆端点的仰角为已知地面宽，求高压电线杆的高度.（结果保留根号）解:过点作，垂足为， ，在中，ABECDh3745【例题3】 如图，某数学课外活动小组测量电视塔的高度，他们借助一个高度为的建筑物进行测量，在点处塔顶的仰角为，在点处测得的仰角为（、三点在一条直线上）求电视塔的高度（参考数据:，

6、）解:，解得:ACDBEFG【例题4】 某兴趣小组用高为米的仪器测量建筑物的高度如示意图，由距一定距离的处用仪器观察建筑物顶部的仰角为，在和之间选一点，由处用仪器观察建筑物顶部的仰角为测得，之间的距离为米，试求建筑物的高度解:设，则，代入解得【例题5】 如图，小明在大楼米高（即米）的窗口处进行观测，测得山坡上处的俯角为，山脚处的俯角为，已知该山坡的坡度为，点、在同一个平面上点、在同一条直线上，且求的长（结果保留根号）解:坡度为，易知:，易知24.54941北东南西【例题6】 如图，自来水厂和村庄在小河的两侧，现要在，间铺设一根输水管道为了搞好工程预算，需测算出、间的距离一小船在点处测得在正北方

7、向，位于南偏东方向，前行，到达点处，测得位于北偏东方向，位于南偏西方向求间的距离（参考数据）解:易求，在中，易知:，在中，由勾股定理解得【例题7】 如图，一架飞机由向沿水平直线方向飞行，在航线的正下方有两个山头、飞机在处时，测得山头在飞机的前方，俯角分别为和飞机飞行了千米到处时，往后测得山头的俯角为，而山头恰好在飞机的正下方求山头、之间的距离解:易知:，过点分别作于，于易知:，在中，（千米）【例题8】 在直角梯形中，对角线与相交于点，线段、的中点分别为（1）求证:；（2）求的值；（3）若直线与线段分别相交于点，求的值证明:（1）设，则，易知为的中位线，；（2），（3），且，同理:【例题9】 已

8、知:在中，点为边的中点，点是边上一点，点在线段的延长线上，点在线段上，（1） 如图，当时，求证:；（2） 如图，当时，则线段、之间的数量关系为: （3） 在的条件下延长到，使，连接，若，求的值 （1）证明:如图连接， 又 即， ， （2） （3）解:如图连接、 ，为等边三角形又为中点， 又 又为等边三角形 在中， 为中点，为中点 在中:在中:过作，垂足为，在中， 【例题10】 当时，下列关系式中有且仅有一个正确() () ()（1） 正确的选项是 ；（2） 如图，中，请利用此图证中的结（3） 两块分别含和的直角三角板如图方式放置在同一平面内，求解:（1）取验证，发现只有正确，正确的选项是 （2

9、）过点作，交的延长线于点，过作交于点，在中，在中，在中，易知:，且，（3）， 【作业1】 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度小刚在处用高的测角仪，测得教学楼顶端的仰角为，然后向教学楼前进到达，又测得教学楼顶端的仰角为求这幢教学楼的高度解:在中， 在中， 又 即 （米） 答:这幢教学楼的高度为米【作业2】 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ACAB，AD=CD ，BC=10，求AB的值解:易知，AC=8，AB=6.【作业3】 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60，在点A处看这栋电梯楼底部点C

10、处的俯角为45，两栋楼之间的距离为30m，求电梯楼的高BC（精确到0.1，参考数据: ）答案:第三讲 解三角形综合【例题1】 如图，矩形中，矩形的面积为，求矩形的面积（用含的代数式表示）解：如图， 设，则 和都是的余角 又矩形中 且 设 则 ， 解得或 当时；当时，因此只需就的情况进行研究 在中， ， 在中，在中，【例题2】 如图，点在边上，点到、两点距离都为5，垂足为，求的长解：过点作垂足为，交于点，再过点作，垂足为点，又，在中：，又，【例题3】 已知边长为的正方形中，点在射线上，且，连结交于点，若沿直线翻折，点落在点处求的值解：若点在线段上，如图所示，设直线与相交于点， 由题意翻折得： ，

11、设，则，又， 在中， ， ，若点在边的延长线上，如图所示，设直线与延长线相交于点同理 设，则，在中， ， 【例题4】 如图，在中，点、分别在边、上，点与、不重合在边上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出的长 解：存在，两种情况如下：如图， 如图，设，则 作于，交于 设则 易证 即 【例题5】 如图1，在菱形纸片中，将纸片折叠，点、分别落在点、处，且经过点，为折痕，点时，（1）求的值；（2）若将改为（如图2），其他条件不变，求图1 图2解：（1）延长和交于点，又 设 （2）联结，延长与交于点，过点作由题意易知：， 设， 又 设 ， 即 【例题6】 如图所示，是某

12、市道路的一段，、都是南北方向的街道，其与环城路的交叉路口分别是、经测量花卉世界位于点的北偏东方向、点的北偏东方向上，（1） 求、之间的距离（2） 求、之间的距离解：（1）有题意可知：， ，又，.即，之间的距离为（2）过作，交其延长线于点，在中，在中，即、之间的距离为【例题7】 已知：二次方程两个不相等的实数根，恰好是直角三角形两个锐角的正弦值求这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比解：作斜边上的高，则，和是方程的两根，根据韦达定理得：；又，又 当时，没有意义；当时， 即直角三角形斜边与斜边上的高的比是【作业1】 已知：四边形中，求：的长解：过、两点作、，垂足分别为、点 又 同理，【作业2】 如图

13、，在中，、分别是边、上的两个动点（不与、重合），且保持，以为边，在点的异侧作正方形，当是等腰三角形时，求的长解：设，易得：，当时，过点作，垂足为点，解得：当时， ，解得：当时，解得：第四讲 解直角三角形综合练习【例题1】 如图是教学用直角三角板，边则边的长为（）ABC D答案：C【例题2】 如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（）ABCD答案：B【例题3】 如图，是等腰三角形，过的中点作，垂足为，连接，则 答案：【例题4】 在平面直角坐标系中，设点到原点的距离为，与轴正方向的夹角为，则用表示点的极坐标，显然，点的极坐标与它的坐标存在一一对应关系例如：点的坐标为（1，1），则其极坐标为若点的极

14、坐标为，则点的坐标为（）A B C D答案：A【例题5】 如图，从热气球上测定建筑物底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为150米，且点在同一直线上，建筑物间的距离为（）米A B C D答案：C【例题6】 周末，身高都为米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角为，小丽站B在处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角为 她们又测出A、B两点的距离为30米假设她们的眼睛离头顶都为，则可计算出塔高约为（结果精确到 ，参考数据：）（）A3621米 B3771米 C4098米 D4248米答案：D【例题7】 如图，在山脚的处测得山顶的仰角为，

15、沿着坡度为的斜坡前进400米到处(即)，测得的仰角为，求山的高度【例题8】 如图，某电信部门计划架设一条连结两地的电缆，测量人员在山脚地测得两地在同一方向，且两地的仰角分别为，在地测得地的仰角为，已知地比地高米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的倍，求电缆的长（精确到米）【例题9】 如图，某游乐场一山顶滑梯的高为，滑梯的坡角为，那么滑梯长为（）A B C D答案：A【例题10】 如图所示，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长是（）mA10BC15D答案：A【例题11】 创意设计公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）已知图纸上的图形

16、是某建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点（1）请你帮助小王在下图中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是坡面的坡度），求的值【例题12】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为，如果拖把的总长为m，则小明拓宽了行路通道_m(结果保留三个有效数字，参考数据：，)【作业1】 一架5米长的梯子斜靠在墙上，测得它与地面的夹角为，则梯子底端到墙角的距离为（）A B C D【作业2】 如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点处沿水平方向打入木桩底下

17、，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为，若楔子沿水平方向前移（如箭头所示），则木桩上升了（）A BC D【作业3】 如图1，一架长4米的梯子斜靠在与地面垂直的墙壁上，梯子与地面的倾斜角为（1）求与的长；（2）若梯子顶端沿下滑，同时底端沿向右滑行 如图2，设点下滑到点，点向右滑行到点，并且，试计算梯子顶端 沿下滑多少米； 如图3，当点下滑到点，点向右滑行到点时，梯子的中点也随之运动到 点若，试求的长【作业4】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市的正南方向220的处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心2

18、0，风力就减弱一级，该台风中心现在以的速度沿北偏东方向往移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响（1）该城市是否会受这次台风影响？请说明理由（2）若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？（3）该城市受台风影响的最大风力是几级？ 1 如图1表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分如图2，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分（）A BC D2 如图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则从岛看两岛的视角 3

19、 城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为 ，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(在地面上，以点B为圆心以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)4 某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长，后考虑到安全因素，将楼梯脚移到延长线上点处，使（如图所示）（1）求调整后楼梯的长；（2）求的长（结果保留根号）第五讲 二次函数的图像与性质（1）【二次函数的定义】1. 一般地，形如（为常数，）的函数称为的

20、二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数2. 任何二次函数都可以整理成（为常数，）的形式3. 判断函数是否为二次函数的方法： 含有一个变量，且自变量的最高次数为2； 二次项系数不等于0； 等式两边都是整式4. 二次函数自变量的取值范围是全体实数【二次函数的图像及性质】1. 抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）2. 函数的图像与的符号关系当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点；3. 抛物线的开口大小与有关，越大，开口越小；越小，开口越大【二次函数的图像及性质】1. 顶点坐标：原点（0，）2. 对称轴：（轴）3. 函数的图

21、像与的符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.4. 函数的图像可以看做是由函数的图像向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移5. 决定了函数图象与轴的交点坐标：【二次函数的图像及性质】1. 顶点坐标：原点（，0）2. 对称轴：3. 函数的图像与的符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.4. 函数的图像可以看做是由函数的图像向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移【二次函数的图像及性质】1. 顶点坐标：原点（，）2. 对称轴：3. 函数的图像与的符号关系： 当时抛物线开口向上顶点为其最

22、低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.4. 函数的图像可以看做是由函数的图像先向左或向右平移个单位，在向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移【二次函数的图像及性质】1. 顶点坐标：2. 对称轴：3. 图象：抛物线4. 最值： 时，函数有最小值；时，函数有最大值5. 图象与字母之间的关系： 的符号决定了函数图象的开口方向：，图象开口向上，图象开口向下 决定了函数图象的开口大小：越大，开口越小；越小，开口越大 与共同决定抛物线对称轴与轴的位置：左同右异 决定了函数图象与轴的交点坐标： 决定了函数图象与轴的交点情况：当，有两个交点；当，有一个交点；

23、当，没有交点 当时，可以得到的值；当时，可以得到的值【例1】 下列函数中是二次函数的是（ ）A B C D答案：D【例2】 若函数为二次函数，则的值为_【例3】 若函数的图象是抛物线，则【例4】 在一幅长厘米、宽厘米的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则与的关系式是_【例5】 已知是关于的二次函数，则【例6】 若是二次函数，则【例7】 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是 ；则、的大小关系为（ ）A A BCD【例8】 已知函数是关于的二次函数，求满足条件的的值当为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，抛物线的开口方向、增减性如何？当为

24、何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时抛物线的开口方向、增减性如何？【例9】 函数的图象可以看做是函数的图象向 平移 个单位得到的答案：向下平移3个单位【例10】 函数的图象可以看做是函数的图象向 平移 个单位得到的答案：向上平移3个单位【例11】 二次函数的图象开口 ，当 时，随的增大而减小；答案：向下；【例12】 抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ；抛物线的开口方向 ，顶点坐标 ，对称轴是 ，当 时，随的增大而增大【例13】 已知直线与轴交于点，抛物线的顶点平移后与点重合求平移后的抛物线的解析式；若点，在抛物线C上，且，试比较，的大小【例14】 已知，抛物线的顶点为，与轴交点为，过点作轴的

25、垂线，交抛物线于另一点求直线的方程；求的面积；当自变量满足什么条件时，有？ 【例15】 已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线求出、的值；在同一坐标系中，画出与的图象；观察的图象，当取何值时，随的增大而增大；当取何值时，随的增大而减小，并求出函数的最值；观察的图象，你能说出对于一切的值，函数的取值范围吗？【例16】 将下列函数配成的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值1 【例17】 二次函数的图象如图所示，则下列关于之间的关系判断正确的是（ ）ABCD答案：D【例18】 抛物线的对称轴是，且经过点，则的值为（ ）ABCD2答案：B【例19】 二次函数的图象如图，则不

26、等式的解为（ ）ABCD答案：D【例20】 如图，已知抛物线，则关于的方程的根的情况是（ ）A有两个不相等的正实根 B有两个异号实数根 C有两个相等的实数根 D没有实数根答案：C【例21】 函数，的_相同A.形状B.顶点C.最小值D.增减性答案：A【例22】 已知二次函数的图象如图所示，则在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（ ）答案：D【例23】 函数与在同一坐标系的图象可能是（ ）答案：B【例24】 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）答案：D【例25】 抛物线不经过第_象限A.一B.二C.三D.四答案：C【例26】 已知二次函数的

27、图象如图所示，下列结论：；，其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4答案：B【作业1】 抛物线的图象可以看作是由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位答案：B【作业2】 二次函数的图象的顶点坐标是（ ）ABCD答案：A【作业3】 给出下列四个函数：；，当时， 随的增大而减小的函数有（ ）A1个B2个C3个D4个答案：C【作业4】 已知抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，-3） ，那么该抛物线有（ ）A.最小值

28、B.最大值C.最小值2 D.最大值2答案：B【作业5】 已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD答案：C【作业6】 已知二次函数的图象()如图所示关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A有最小值0，有最大值3 B有最小值，有最大值0C有最小值，有最大值3 D有最小值，无最大值答案：D【作业7】 已知函数，当=_时，函数是二次函数？【作业8】 已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是_【作业9】 已知函数，当分别取，()时，函数值相等，则当取时，函数值为_答案：5【作业10】 的图象如图所示并设则（ ）ABCD不能确定为正，为负

29、或为答案：C第六讲 二次函数的图像与性质（2）【二次函数的平移】1. 将平移前的函数化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况2. 平移前后的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变。3. 对于函数向左或向右平移个单位，其解析式变为，其中向左为“”，向右为“”。4. 对于函数向上或向下平移k个单位，其解析式变为，其中向上为，向下为。【二次函数的解析式】5. 一般式： 任何二次函数都可以整理成一般式的形式 如果已知二次函数的图象上的三点坐标，可用一般式求解二次函数解析式6. 顶点式： 任何二次函数的解析式经过配方都可以整理成的形式，这叫做二次函数的顶点式为抛物线的顶点坐标 已知二次函数的顶

30、点和图象上的任意一点，都可以用顶点式来确定解析式 对于任意的二次函数，都可配方为的形式7. 交点式： 交点式：，其中为二次函数图象与轴的交点的两个横坐标 已知二次函数与轴的交点坐标，和图象上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式 已知二次函数与轴的交点坐标，可知二次函数的对称轴为 根据二次函数的对称性可知，对于函数图象上的两点，如果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为 对于任意的二次函数，当时，利用求根公式可得，可知 对称式：当抛物线经过点、时，可以用对称式来求二次函数的解析式【例1】 把抛物线向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为，求原来抛物线的解析式【例2】

31、怎样平移抛物线，才能使它经过点和两点？ 【例3】 把抛物线沿轴向上或向下平移后所得抛物线经过点，求平移后的抛物线的解析式【例4】 已知图象经过点（0，3），（，0），（2，），且与轴交于、两点试确定此二次函数的解析式；判断点是否在这个图象上？如果在，请求出面积；如果不在，试说明理由 【例5】 已知图象经过，三点求该抛物线的解析式；当为何值时，； 【例6】 已知：二次函数的顶点为，且过点，求该二次函数的解析式 【例7】 已知二次函数的图象的顶点坐标为且图象与轴的两个交点坐标为、(点在点的左侧)，若是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析式【例8】 已知二次函数图象顶点为，且与直线只有一个交点，求二

32、次函数的解析式 【例9】 已知二次函数的图象经过，三点，求这个二次函数的解析式【例10】 二次函数的图象与轴的交点坐标是，且函数有最小值，求二次函数的解析式【例11】 当时，二次函数取最大值1，且图象与轴两交点之间的距离为2，求这个二次函数解析式【例12】 已知二次函数图象与轴交于、，与轴交于，且，求二次函数的解析式【例13】 已知一个二次函数过、三点，求二次函数的解析式【例14】 已知二次函数的对称轴为，且经过点、，求二次函数的解析式【例15】 已知一条抛物线的形状和相同且对称轴为，抛物线与轴交于一点，求函数解析式【例16】 已知一抛物线的形状与的形状相同它的对称轴为，它与轴的两交点之间的距

33、离为，则此抛物线的解析式为？【例17】 已知二次函数的图象经过点和点求该二次函数的解析式，并写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；点与点均在该函数图象上(其中)，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值及点到轴的距离【作业1】 已知：二次函数，其图象对称轴为直线，且经过点，求此二次函数的解析式【作业2】 已知二次函数的图象经过、三点求二次函数的解析式写出二次函数图象的对称轴和顶点坐标【作业3】 已知二次函数图象的对称轴平行于轴，顶点为，且与直线相交于，试求：二次函数的解析式；的值；该二次函数的图象与直线的另一交点的坐标【作业4】 设抛物线，把它向右平移个单位，或向下移个单位，都能使抛物线与直线恰好有一

34、个交点，求、的值把抛物线向左平移个单位，向上平移个单位，则得到的抛物线经过点和，求、的值【作业5】 已知：关于的方程当取何值时，二次函数的对称轴是；求证：取任何实数时，方程总有实数根.【作业6】 如图，已知二次函数的图象经过，两点求这个二次函数的解析式设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结、，求的面积【作业7】 已知二次函数的图象过，且与直线相交于、两点，点在轴上，点在轴上求二次函数的解析式如果是线段上的动点，为坐标原点，试求的面积与之间的函数关系式，并求自变量的取值范围1 设二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，如图所示，若，求这个二次函数的解析式2 当时，求所有二次函数的图象与轴所截得

35、的线段长度之和3 已知函数的图象与轴交于相异两点、，另一抛物线过、，顶点为，且是等腰直角三角形，求、第七讲 二次函数的图像及性质（3）【二次函数的平移】1. 几种二次函数解析式之间的平移关系： 函数的图象可以看做是由函数的图象向上或向下平移个单位得到的；时，向上平移；时，向下平移 函数的图象可以看做是由函数的图象向左或向右平移个单位得到的；时，向右平移；时，向左平移 函数的图象可以看做是由函数的图象先向左或向右平移个单位，再向上或向下平移个单位得到的；当时，向右平移，当时，向左平移；时，向上平移，时，向下平移2. 将二次函数，向左平移个单位，函数解析式变为；向右平移个单位，函数解析式变为3.

36、将二次函数，向上平移个单位，函数解析式变为；向下平移个单位，函数解析式变为4. 通常，将平移前的函数化成的形式，在根据顶点的平移情况确定函数的平移情况，再将顶点式整理成一般式平移前后的的函数的开口方向与开口大小不改变，即不变【二次函数的轴对称】1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是；【二次函数的中心对称】1. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是；【例1】 已知二次函数的图象的顶点坐标为，且经过点求该二次函数解析式；将该二次函数的图象

37、向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式【例2】 若二次函数的图象与轴相交于， 求这个二次函数的关系式；如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？【例3】 如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为，直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动求线段所在直线的函数解析式；设抛物线顶点的横坐标为用的代数式表示点的坐标；BAPx2OxyM当为何值时，线段最短；当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请求出点

38、的坐标；若不存在，请说明理由【例4】 如果二次函数的图象与已知二次函数的图象关于轴对称，那么这个二次函数的解析式是（ ）A B C D答案：B【例5】 【巩固】二次函数的图象关于轴对称，则的值（ ） A0B3 C1D0或3 答案：B【例6】 【巩固】已知一个二次函数的图象经过点（1）求的值；（2）求抛物线关于轴对称的抛物线的解析式【例7】 二次函数与的图象关于轴对称，则的值为（ ）A9B10C20D25答案：C【例8】 二次函数的图象关于原点对称的图象的解析式是_【例9】 函数与的图象关于_对称，也可以认为是函数的图象绕_旋转 得到的【例10】 已知二次函数，求：关于轴对称的二次函数解析式；关

39、于轴对称的二次函数解析式；关于原点对称的二次函数解析式【例11】 如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1求点坐标及的值； 如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式； 如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标【作业1】 函数的图象可由函数的图象平移得到，那么平移的步骤

40、是（ ）A右移两个单位，下移一个单位 B右移两个单位，上移一个单位C左移两个单位，下移一个单位 D左移两个单位，上移一个单位答案：C【作业2】 一抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后得抛物线，则平移前抛物线的解析式为 【作业3】 把二次函数的图象经过翻折、平移得到二次函数的图象，下列对此过程描述正确的是（ ）A先沿轴翻折，再向下平移6个单位 B先沿轴翻折，再向左平移6个单位C先沿轴翻折，再向左平移6个单位 D先沿轴翻折，再向右平移6个单位答案：D【作业4】 在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）

41、A B C D 答案：C【作业5】 已知抛物线，求（1） 关于轴对称的抛物线的表达式；（2） 关于轴对称的抛物线的表达式；（3） 关于原点对称的抛物线的表达式【作业6】 设曲线为函数的图象，关于轴对称的曲线为，关于轴对称的曲线为，则曲线的函数解析式为_【作业7】 如图，中，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点， 求点，的坐标 若抛物线向上平移后恰好经过点，求平移后抛物线的解析式【作业8】 阅读材料：我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象沿轴向左平移3个单位长度得到函数的图象，再沿轴向下平移1个单位长度，得到函数的图象类似的，将一次函数的图象沿轴向右平移1个单位长度可得到函数的

42、图象，再沿轴向上平移1个单位长度，得到函数的图象解决问题：（1）将一次函数的图象沿轴向右平移2个单位长度，再沿轴向上平移3个单位长度，可以得到函数 的图象；（2）将的图象沿轴向上平移3个单位长度，得到函数 的图象，再沿轴向右平移1个单位长度，得到函数 的图象；（3）函数的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？【例1】 如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）；OAPxyCD在轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在

43、，请说明理由；设的面积为，求关于的关系式【例2】 如图，把抛物线（虚线部分）向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称点、分别是抛物线、与轴的交点，、分别是抛物线、的顶点，线段交轴于点分别写出抛物线与的解析式；设是抛物线上与、两点不重合的任意一点，点是点关于轴的对称点，试判断以、为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由BxyAOCDEl1l2在抛物线上是否存在点，使得 ，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由第八讲 二次函数与二次方程的关系【抛物线与直线的交点】1. 轴与抛物线得交点为.2. 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点.3. 抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定【二次函数与一元二次方程】1. 求二次函数的图象与轴的交点坐标，就是令，求中的值的问题此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程的根的个数决定了抛物线与轴的交点的个数2. 当中的时，二次函数的图象与轴有两个交点；当中的时，二次函数的图象与轴有一个交点；当中的时，二次函数的图象与轴没有交点； 3. 平行于轴的直线与抛