紊流理论(紊流模型)

1、二、紊流模型,1、概述 2、雷诺方程数值模拟（RANS） 3、大涡模拟（LES） 4、直接数值模拟（DNS）,概述,紊流运动的瞬时连续方程和运动方程 连续方程 运动方程,概述,直接求解连续方程和运动方程，即DNS(Direct Numerical Simulation)。 原则上讲，DNS并无理论上的困难。 一方面，描述紊流运动的精确的微分方程已经得出，即NS方程；从数学观点看来，紊流就是NS方程的通解。 另一方面，数值计算方法的发展，已足以求解NS方程。 但是，现代计算机的储存的能力和运算速度尚不足以求解任何一个实际的紊流问题。,概述,DNS实际应用中的困难 紊流运动所包含的单元，比流动区域

2、的尺度要小得多。为了用数值计算方法求解紊动单元的运动要素，数值计算的网格必须比紊动单元的尺度更小。如此之多的网格点贮存各种变量，远远超过了现代计算机的内存容量，而且，随着网格点的增加，算术运算的次数显著增多，所需计算的时间令人望而却步。 塞弗曼（P G Saffmann）在1977年曾经预言，大约在本世纪末，高度发展的计算机将有足够的能力用数值计算方法求解紊流的精确方程，但在较近的未来，精确地求解紊流问题无疑是不可能的。 到现在，DNS算法已有很大发展。,概述,DNS之外的其他方法 求解时均NS方程（即雷诺方程）。 作为紊流的通解， NS方程描述了流体运动的一切细节，但在实际工程中具有重要意义

3、的并不是紊流的一切细节，而是紊流对于时间的平均效应。 雷诺（Osborne Reynolds）建议用统计方法将NS方程取时间平均。但取平均的过程产生了新问题：方程增加了新未知项，时均方程组不再封闭，因此各种类型的紊流模型应运而生。 紊流模型可定义为一组方程，这组方程确定时均流方程中的紊动输运项，从而封闭时均流动方程组（零方程、单方程、双方程）。,概述,DNS之外的其他方法 大涡模拟LES。 DNS可以获得尺度大于网格尺度的紊流结构，但却无法模拟小于该网格尺度的紊动结构。 大涡模拟的思路是： DNS模拟大尺度紊流运动，而利用亚网格尺度模型模拟小尺度紊流运动对大尺度紊流运动的影响。 LES较DNS

4、拟占计算机的内存小，模拟需要的时间也短，并且能够得到较雷诺平均模型更多的信息。,概述,紊流模型分类 直接数值模拟（DNS）。直接求解NS方程，必须采用很小的时间步长与空间步长。 大涡模拟（LES）。 DNS模拟大尺度运动，亚网格上模拟小尺度运动。 Reynolds时均方程法（RANS）。将NS方程对时间平均，并通过一些假定建立模型，是目前工程中所采用的基本方法。根据对雷诺应力的处理方式不同，分为基于涡粘性假设的模型和应力输运模型两类，根据引入方程的数量，前者又分为零方程、单方程和双方程模型。,概述,雷诺时均方程模型发展史 1895年，Reynolds发表对紊流研究结果的文章。 1897年，Bo

5、ussinesq(布辛涅司克)涡粘性假定。 他们都没有尝试对雷诺方程进行系统的求解，许多粘性流动的机理尚未清楚。 1925年，Prandtl 提出了混合长度理论来计算涡粘性，为早期的研究奠定了基础。早期贡献最为显著的还有von Karman，1930 年提出相似性假定。此类模型并没有引入微分方程，称为零方程或者代数模型。 1945年，Prandtl 提出一个涡粘性依赖于紊动能k的模型，建议使用一个偏微分方程的模型对精确的k方程进行近似，得到了单方程模型，即k方程模型。,概述,雷诺时均方程模型发展史 1942年，Kolmogorov提出了第一个完整的紊流模型，除了k方程，还引入了另外一个参数，能

6、量耗散率，得到了双方程模型，即k-模型。70年代得到应用。 他们的共同贡献是指出了封闭 Reynolds 方程或Reynolds 应力的封闭表达式应从湍流脉动场的性质去寻找。称为一阶封闭格式。 周培源（1945）和Rotta（1951），绕过Boussinesq 涡粘性假定，提出了一个描述紊流切应力张量演化的微分方程，即雷诺应力张量，得到了应力输运模型，也称为二阶封闭或者二阶矩封闭模型。70年代得到应用。,雷诺方程数值模拟（RANS）,雷诺时均方程的封闭问题 将瞬时值写成时均值+脉动值 ，代入连续方程和运动方程，并对方程两边取平均： 引入数学方程或者代数公式，确定所产生的新未知项雷诺应力 ，而

7、不引入新的变量。,雷诺方程数值模拟（RANS）,涡粘性假设（紊动粘性） 对应层流中切应力与流速梯度关系的公式： 引入一个涡粘度 ，将紊流中的雷诺应力与流场中的时均流速梯度建立下述关系：,雷诺方程数值模拟（RANS）,涡粘性假设（紊动粘性） 当i=j时，假设不合理，引入湍流脉动所产生的压力 紊流涡粘度与层流中的粘度相对应，也可称为表观粘度。粘度是流体本身的物理特性，与流动情况无关。但是涡粘度则不是流体的物理性质，而是紊流的一种流动特性，决定于流动的时均流速场和边界条件。 引入涡粘性假设并未构成紊流模型，只是提供了构造紊流模型的基础，但使模拟紊动应力问题转化为确定的分布。,雷诺方程数值模拟（RAN

8、S）,紊动扩散概念 将紊动热(或质量)输运与紊动动量输运直接类比，假设热(或质量)输运与被输运的量有关： 对于热输运问题,称为紊动普朗特数；对于质量输运问题，称为紊动施密特(Schmidt)数。实验表明,在流场中各点，甚至在不同型式的水流中，紊动普朗特数几乎不变。,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型 介绍三种比较简单的紊流模型（常数模型，混合长模型，自由剪力层模型），均采用紊动粘性概念，均不包含紊动量的微分输运方程。 确定紊动粘性系数的方法 一是直接根据实验资料，用尝试法建立经验公式；主要是常数模型。 二是将紊动粘性系数与时均速度的分布建立联系。主要指混合长模型，自由剪力层模型。,雷诺方

9、程数值模拟（RANS）,零方程模型常数模型 对于大体积水体水力计算的计算方法，对整个流场采用一个常数作为紊动粘性（扩散）系数，其数值根据实验资料确定。 在充分发展紊流区，紊动粘性系数是一个常数。没有固体边界的自由剪切紊流，如射流和尾流，紊动粘性系数都是常数。 缺陷：在管道或者槽道的流动中，常数模型过粗，如在明渠水流中，紊动粘性系数沿水深的分布近似为抛物线，如果取为常数，将得不出合理的流速场。,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 在气体运动中，气体分子以随机的方式运动，气体分子运动一个平均分子自由程后与其他气体分子发生碰撞，并产生动量交换。 普朗特（1925年）提出混掺长度理论

10、：假设在紊流运动中，与气体分子运动相似，流体微团在运动过程中保持原有的运动特征不变，直到运行某一距离后与周围其它微团相混掺，失去原有的运动特征（动量、热量、含沙量等），与当地的平均性质取得一致。这一运动距离l，相当于微团的生命跨度，称为紊流的掺混长度。,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 定义 的平均流速差为脉动，则根据泰勒展开,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 根据 v与u具有相同量级，且符号相反，则有 考虑紊动应力与粘性应力符号的一致性有,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 写成紊动粘性系数的形式 如此则封闭了雷诺方程。 混掺长度l由

11、实验确定，它不是流体的一种物理性质，而是与流动情况有关的一个量度。 紊流切应力主要是动量交换产生，则动量交换系数：,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 普朗特假定l与从固体壁面算起的法向距离y成正比： ，k=0.4（平板紊流边界层ly 分布图） 对于自由剪切紊流，混掺长度与断面混掺区宽度成正比 则,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 卡门相似理论。卡门假定：（1）除了在周界外，紊流现象与水流的粘性无关；（2）水流中各点紊动的基本格局彼此相似，所不同的只是时间和长度尺度。 假定水层y1和y2处的流速分别为u1和u2，则在其附近，流速变化可以用泰勒级数表示：,雷

12、诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 卡门相似理论。既然水流中各点紊动的基本格局彼此相似，则影响流速变化的各个因素之间应该成一定比例： 因此,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 卡门相似理论。上式每一项都有长度的尺度，假定与混掺长度成比例，即 卡门在分析时只取上式的第一项 k为卡门常数，一般为0.4。,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 由混掺长度理论和卡门相似理论，即,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型混掺长度模型 还存在其他混掺长度计算方法，不一一叙述。 缺陷： 对于速度梯度为零的点，零方程模型给出该点紊流切应力为零的错误结论；均未考

13、虑紊动量的对流和扩散输运；缺少通用性，对于不同形式的水流需采用不同的经验常数。 一般说来，混合长模型可用以计算许多简单的剪力层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定；对于紊动输运过程占有重要地位的复杂的水流，很难确定，混合长模型将不再适用。,雷诺方程数值模拟（RANS）,零方程模型自由剪力层模型 普朗特在1942年提出了只能用于自由剪力层的模型，比混合长假设更为简单。 他假设在剪力层的任何截面上均为常数，紊动常数比尺正比于宽度，速度比尺正比于横截面上的最大速度差： 模型中的经验常数：,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 零方程缺陷：流动的所有信息包含在t或混合长度l之中。而确定t和l时

14、，最多与时均流场的特征相联系，没有考虑湍流脉动特征的影响。 隐含一个事实：湍流脉动特性对时均速度场没有影响。 单方程模型：为了弥补混合长度假设的局限性，增加一个脉动动能k的输运方程：,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 脉动部分能量方程，由时均总能量减去时均部分能量得到： 左侧第一、二项为单位体积流体脉动动能的当地变化率和迁移变化率，第三项为脉动压能和动能的迁移变化率；右侧第一项为脉动粘性力对脉动流场的做功，第二项为脉动粘性力对脉动流场变形速率做的变形功，是耗散项，第三项为脉动能量的产生项，表示从时均流动中获取能量维持脉动。,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型,雷诺方程数值模拟（R

15、ANS）,单方程模型 不考虑质量力，或在重力场中，压力项代表流体动压力。N-S瞬时方程： 雷诺方程： 两式相减：,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 将上式中脚标j改为l（因为是哑标，对方程式无影响，而对下一步推导却带来很大方便），得,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 将上式i方向乘以uj，j方向乘以ui，然后相加，进行时间平均得,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 令i=j，将k带入，可得,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 可见二者相同。,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 代表脉动动能的当地与迁移变化率； 为产生项

16、，雷诺应力对时均流速场所作的变形功； 代表脉动流场中单位质量流体雷诺应力的迁移变化率、由于脉动压力引起的湍流扩散；,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 代表由粘性引起的湍流应力扩散，实质为分子扩散； 代表动能方程中的脉动粘性耗散项。 涡粘系数计算式 湍流脉动动能耗散率计算式,雷诺方程数值模拟（RANS）,单方程模型 一般说来，采用紊动粘性概念的单方程模型零方程的应用范围更广。 但是，单方程模型中如何确定长度比尺L仍为不易解决的问题。对于比剪力层复杂的流动，确定长度比尺的分布如同在混合长模型当中确定混合长的分布一样，很难用经验方法解决。这使得单方程模型迄今为止仍限用于剪力层流动。对于剪力层

17、型的流动，前已述及，混合长模型也可得出满意的结果，但比单方程模型更为简单。,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 不考虑质量力，或在重力场中，压力项代表流体动压力。N-S瞬时方程： 雷诺方程： 两式相减：,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 将上式对xl 求偏微分可得：,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 将上式两侧同时乘以 ，并取时均平均可得：,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 整理可得 改变式中哑标可得：,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 1中的前两项代表湍流扩散项、第三项代表分子扩散； 2及3为产生项； 4代表小涡

18、拉伸产生项； 5代表粘性破坏项。,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型 涡粘系数： 耗散率： 常用系数:,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-优点 （1）双方程紊流模型不仅考虑到紊流速度比尺的输运，而且考虑到紊流长度比尺的输运，因而能确定各种复杂水流的长度比尺分布。尤其是有些形态的水流，其长度比尺不可能用简单的方法经验的确定，这时，双方程模型便是有希望成功的计算这些水流的最简单模型。例如，回流和一些由几个自由层和璧面层相互作用形成的复杂剪力层，用零方程和单方程模型均难得出较好的结果，用双方程模型却能得到极好的计算结果。 （2）双方程紊流模型已经在相当广的应用范围内得到验证，证明有效。

19、,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-缺点 （1）模型中的经验常数，通用性尚不令人十分满意，对弱剪力层和轴对称射流，必须用一些函数代替几个经验常数。 （2）紊动粘性系数是各向同性的标量，无法反映应力的各向异性及由此造成的流动宏观参数的改变。 （3）k-方程适用于紊流雷诺数足够大的区域。紊流问题中涉及低雷诺数的固体壁面及其上的边界层（粘性底层及过渡层），k-方程必须做出修正，或对壁面附近的涡粘系数做出特殊的处理。 处理方法：1）低雷诺数模型；2）壁面函数法；3）区域模型。,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-低雷诺数模型 高Re数k-模型应用到靠近壁面的粘性低Re数区域，必须做三个方

20、面的修正（Jones和Launder，1973）：k-方程中的扩散系数必须同时包括紊流扩散系数和分子扩散系数；低Re数区，C，C2等是紊流雷诺数的函数；考虑壁面附近脉动动能的耗散各向异性， 在k-方程中加入修正项。 Jones.WPand Launder.B.EThe calculation of Low-Reynolds-Number Phenomena with a Two-Equation Model of TurbulenceJ.Int.J.Heat Mass Transfer,1973(16):1119-1130,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-低雷诺数模型 低雷诺数模型可

21、以一直用到贴近壁面的地方，并获得较为满意的解，但近壁区需要布置相当多的结点，多达2030个，计算工作量大。 布置相当多结点,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 紊流核心区采用高Re模型，第一内结点直接布置在旺盛紊流区域内，近壁影响集中在该结点控制体内。 虽然此处速度变化剧烈，但速度梯度仍按第一内结点与壁面的一阶差分计算，关键是根据经验和半经验方法合理选择各方程在边界结点的扩散系数或边界第一内结点的值，使之能反映近壁区的全部影响。,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 v方向，由于壁面无滑移和不可穿透条件 故取壁面扩散系数 u方向，壁面切应力 ，壁面上速度梯度用

22、 第一内结点速度和壁面速度的一阶差分来代替。,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 u方向，壁面上速度梯度 用第一内结点速度和壁面速度的一阶差分来代替： 则当量扩散系数,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 如何确定u+和y+，即u*？ 近壁边界层中与 w相等，并认为边界层流动中脉动动能的产生与耗散平衡： 根据涡粘性假设和混掺长度理论：,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 如何确定u+和y+，即u*？ 近壁边界层中与 w相等，并认为边界层流动中脉动动能的产生与耗散平衡： 将 带入可得,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 确定扩

23、散系数 u方向 v方向,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-壁面函数法 确定边界条件 对于k方程，如果第一内结点设置在粘性底层内贴近壁面的地方，k=0，但按壁面函数法的要求将第一内结点布置在对数规律层，那里k的产生与耗散都比向壁面的扩散大得多，取壁面上k / y = 0。 对于方程，用混合长度理论： 注意：第一个内节点与壁面间的无量纲距离应满足,雷诺方程数值模拟（RANS）,双方程模型-区域模型 为了克服壁面函数法和低Re数模型的缺陷，近年来发展了区域模型法。 基本思想是： y+接近100的边壁区，用现在的 k-模型计算。 近壁区紊流动能耗散率和紊流涡粘性系数，都可以由充分模化边壁附近的

24、粘性影响和紊流各向异性特性的代数方程来确定。 外部区域是另外一部分计算区，k-模型模拟。,雷诺方程数值模拟（RANS）,二阶矩封闭模型 雷诺应力输运模型(RSM)：放弃了涡粘性假设，与双方程模型相比，在理论上具有更好的通用性和精度。但模型要求解雷诺应力的所有分量所满足的微分方程，同时还要求解k、方程，从而使求解的模型方程数大大增加，对计算机容量和计算费用的要求也大大增加。 代数应力模型(ASM)：在雷诺应力方程模型的基础上，用雷诺应力的代数关系取代其微分方程，和k、方程构成ASM。ASM在一定程度上综台了标准k、模型的经济性和RSM的通用性。在有必要计及体积力效应(浮力、流线弯曲、旋转等)时，

25、ASM的优点尤为突出。,大涡模拟（LES）,前言 紊流分解成平均运动和脉动运动两部分。 紊流运动理论分析或计算方法：雷诺平均方法。 由于紊流运动的随机性和N-S方程的非线性，利用平均的方法必然导致方程的不封闭性，形成了紊流理论的致命伤。 要使方程组封闭，借助经验数据、物理类比、甚至直觉想像构造出五花八门的模型假设统称为紊流模式理论。,大涡模拟（LES）,紊流模式理论的缺陷 （1）通过平均运算将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了包含在脉动运动中大量有重要意义的信息。（2）各种湍流模型都有一定的局限性、对经验数据的依赖和预报程度较差等缺点。 大涡与平均流动的相互作用：它由平均运动提供能量，依赖

26、于初始条件和边界的形状和性质，其形态与强度因流动的不同而不同各向异性；它对平均流动有强烈的影响，大部分质量、动量、能量的输运是由大涡引起的。 小涡是通过大涡间非线性相互作用间接产生，与平均运动或流场边界形状没有关系各向同性；它对平均运动只有轻微影响，主要起粘性耗散作用。,大涡模拟（LES）,数值模拟：计算区域尺寸应大到足以包含最大尺度的涡；计算网格尺度应小到足以分辨最小涡的运动。 大涡模拟：比网格尺度大的大涡运动通过数值求解N-S方程；比网格尺度小的小涡运动对大尺度运动的影响，则通过建立模型来模拟。 直接数值模拟DNS？最先进计算机还不容许。 大涡模拟可靠性：由于小尺度涡运动受流动边界条件和大涡运动的影响甚小，且近似是各向同性的，能找到一个广泛适用的模型；流动中大部分质量、动量或能量的输运主要