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文档简介

1、,【主要内容】 介绍几种基本的插值方法(如Lagrange插值、分段线性插值、三次样条插值等)与数据的最小二乘拟合方法。 【主要目的】了解Mathematica提供的插值函数与拟合函数的使用方法,通过实例学习如何用插值与拟合解决实际问题,注意两者的联系与区别。,第七讲 插值与拟合实验,【引例1】,插 值,插值可以理解为,要根据一个用表格表示的函数,计算表中没有的函数值。,插值在数学发展史上是个老问题。它最初来源于天体计算由若干观测值计算任意时刻星球的位置。,插值在机械加工等工程技术与数据处理等科学研究中有广泛的应用。插值又是数值微分、数值积分、常微分方程数值解等数值计算的基础。,一、一维插值,

2、知n+1个节点( xj , yj ) (j = 0, 1, .,n), 其中xj 互不相同, 不妨设a=x0x1n,实例1,在1-12的11小时内,每隔1小时测量一次温度,测得的温度依次为: 5,8,9,15,25,29,31,30, 22, 25,27,24。 试估计每隔1/10小时的温度值。,程序4 Mathematic,实例2 机翼加工问题,已知机翼上缘轮线数据如下:,用三次样条函数画出机翼曲线。,程序5 Mathematic,4、用Mathematic做二维网格节点数据的插值,Interpolation date ,实例3 海底地形图的绘制,为了在一新的海域建立新的航道,需要知道海底深

3、度,并绘制 海底地形图。现使用一艘勘测船,对一矩形区域内均匀网格上 海底深度进行勘测,得到以下数据(x与y为点的坐标):,假定海底经过海水冲刷,充分光滑,也没有礁石与洞穴。试用 插值方法得到此海域深度数据并绘制海底地形图与等高线图。,程序6 Mathematic,海底地形图,等高线图,【引例2】,拟 合,设 R=at+b a,b为待定系数,根据一组数据(平面上若干点),确定一条曲线,使这些点与曲线总体来说尽量接近,这就是曲线拟合。,已知一组(二维)数据,即平面上 n个点(xi, yi) i=1,n, 寻求一个函数(曲线)y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近,即曲线拟合

4、得最好。,y=f(x),i 为点(xi, yi) 与曲线 y=f(x) 的距离,拟合与插值的关系,曲线插值与拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近 似,由于近似的要求不同,二者在数学方法上是完全不同的。,若不要求曲线(面)通过所有数据点,而是要求它反映对象 整体的变化趋势,这就是数据拟合,又称曲线拟合或曲面拟 合。,若要求所求曲线(面)通过所给所有数据点,就是插值问题;,曲线拟合问题最常用的解法线性最小二乘法,第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f (x)=a1 r1(x)+a2 r2(x)+ +am rm (x) (1) 其中 a1, a2, am

5、 为待定系数。,第二步: 确定a1,a2, am 的准则(最小二乘准则): 使n个点(xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方与最小 。,记,问题归结为,求a1,a2, am 使J(a1,a2, am)最小。,注:线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ +am rm (x)中函数 r1(x), rm (x)的选取,主要是将数据 (xi, yi),i=1, n 作图,通过直观判断确定f (x):,用Mathematic做线性最小二乘拟合,Fit数据表,基函数表,拟合变量,实例4 施肥效果,某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量对土豆产量的影响, 做了十次实验,实验数据见下表,其中ha代表公顷,t代表 吨,kg代表千克。,试分析氮肥的施肥量与土豆产量之间的关系。,先画散点图看看数据点的位置关系:,数据散点图,拟合函数,拟合效果图为:,实例5 沙岩体空间分布,某浅层天然气开发公司所提供的某地区浅层十几口 深井沙岩体主状图与井位图表,数据如下表,要求 建立该地区的沙岩体空

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