2017_18学年高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式选学课件 (2).pptx

1、2.1.2 数列的递推公式(选学),一,二,一、数列的递推公式 【问题思考】 1.填空: 如果已知数列的第一项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 2.所有的数列都有递推公式吗? 提示:递推公式也是给出数列的一种重要方法,但并不是所有的数列都有递推公式.例如 精确到1,0.1,0.01,0.001,的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,就没有递推公式. 3.做一做:已知数列an的首项a1=1,且an=3an-1+1(n2),则a4为( ) A.13 B.15

2、 C.30 D.40 答案:D,一,二,二、通项公式与递推公式的区别与联系 【问题思考】,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“”,错误的打“”. (1)所有的数列都有递推公式. ( ) (2)如果数列an满足 ,且a10,那么数列an是递增数列. ( ) (3)已知数列an满足a1=1,a2=3,且an=an-1-an-2(n3),则一定有a2 017=a1. ( ) (4)数列2,4,6,8,10,的递推公式可以表示为an+1-an=2(nN+). ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,由递推公式写出数列的项 【例1】

3、已知数列an的第一项是2,且an= (n2),写出这个数列的前5项,你能说出这个数列有什么特点吗? 思路分析:根据数列的第一项和递推公式,可依次求出a2,a3,a4,a5,然后再观察数列的特点.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,反思感悟由递推公式写出数列的项的方法 1.根据递推公式写出数列的前几项,首先要弄清楚公式中各部分的关系,然后依次代入计算即可. 2.解答这类问题时还需注意:若知道的是首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式. 3.若知道的是末项,通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,由递推公式求通项公式 【例2】 (1

4、)已知a1=1,an+1-an=2,求数列an的通项公式; (2)已知a1=1,an+1=2an,求数列an的通项公式. 思路分析:递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系,可将递推公式转化为通项公式进行研究. (1)解法一:(累加法)a1=1,an+1-an=2, a2-a1=2,a3-a2=2,a4-a3=2,an-an-1=2,将这些式子的两边分别相加得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(an-an-1)=2(n-1),即an-a1=2(n-1). 又a1=1,数列an的通项公式为an=2n-1. 法二:(迭代法)an=an-1+12=an-2+22=a1+(n-1)2

5、=2n-1.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,又a1=1=20, 数列an的通项公式为an=2n-1. 法二:(迭代法)an=2an-1=22an-2=23an-3=2n-1a1=2n-1,即数列an的通项公式为an=2n-1.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,反思感悟1.归纳法 一般是根据递推公式先写出前几项,然后进行归纳猜想n与an间的内在规律,但此方法不严密,有时易发生错误. 2.累加法 当an-an-1=f(n)满足一定条件时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1累加来求通项公式an. 3.累乘法 如果递推关系可以变形为an+1=g(n)a

6、n的形式,且g(n)能够求积,则可用累乘法求数列的通项公式.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,因没有对归纳的结论进行论证而致误 【典例】 数列an满足a1=1,以后各项由an+1=an+2(2n3-12n2+22n-11)给出,写出这个数列的前4项,并写出其通项公式.,错解a1=1,a2=3,a3=5,a4=7. 由此猜想,这个数列是正奇数从小到大排成的, 故an=2n-1.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,正解a2=a1+2(213-1212+221-11), a3=a2+2(223-1222+222-11), a4=a3+2(233-1232+2

7、23-11), an=an-1+22(n-1)3-12(n-1)2+22(n-1)-11, 以上所有式子相加得an=n4-10n3+35n2-48n+23. 纠错心得根据数列的递推公式求通项公式,可以先通过求出数列的前n项,再进行归纳猜想得出数列的通项公式,但这种方法虽然操作简单,但所得结论有失严谨,极易产生错误结论,本例中的错解便是例证.解决此类问题,若从根本上解决问题,只能从递推公式出发,推导出其等价的结构形式.以上的累加法就是求通项公式的一种常用方法.,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,1.下列说法错误的是( ) A.递推公式也是数列的一种表示方法

8、B.an=an-1,a1=1(n2)是递推公式 C.给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式 D.an=2an-1,a1=2(n2)是递推公式 解析:通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列,另外根据递推公式和数列的第一项,我们也可以确定数列,它也是给出数列的一种方法.an=an-1(n2)与an=2an-1(n2),这两个关系式虽然比较特殊,但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系,且都已知a1,所以都是递推公式. 答案:C,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,2.已知数列an的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n2)给出,则该数列的第5项等于( ) A

9、.6 B.7 C.8 D.9 解析:a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n2), a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8. 答案:C 3.一个数列an满足a1=1,a2=2,从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项,请写出构成这个数列的递推公式an= . 解析:这个数列给出的方法是不同的,它是由前后项之间的关系确定的,只需要根据已知条件就可以直接列出关系式,要注意n的取值范围. 答案:2an-1+an+1(n2),探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,a1=2,an=2+ln n. a1=2+ln 1=2, an的通项公式为2+ln n. 答案:2+ln n,探究一,探究二,思维辨析,当堂检测,5.已知数列an分别满足下列条件,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式. (1)a1=0,an+1=an+(2n-1); 解