06 二次函数综合教师2015暑假 初三数学培优进度二

1、 1 / 5 第六讲 二次函数综合 一、填空： 1. 已知二次函数 2 yxmxn的图象在 y 轴上的截距是-3，且与 x 轴的一个交点坐标是（2，0） ， 则 m=_ 1 2 _，图象与 x 轴的另一个交点坐标是_. 答案： （ 3 , 0 2 ） 2. 已知二次函数 2 yaxbxc的图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 6，其顶点为 （-1，6） ，则此函数的解析式为_. 答案： 2 4 (1)6 9 yx 3. 已知二次函数 2 yxbxc的最小值是-12，它的图象与 x 轴有两个交点（ 1,0 x） ， （ 2,0 x） ，则 12 xx_ 答案：4 3 4. 二次函数 2 25yx

2、xm ， 当 x_时，y 随 x 的增大而增大 答案： 5 4 5. 把 2 2(1)yx 图象绕原点旋转180后再向左平移 3 个单位，得到图象的顶点坐标为_， 新图象的解析式为_. 答案： （-4，0） ， 2 2 (4 )yx 2 / 5 6. 二次函数5)2( 2 axaxy的图象如图所示，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于点 C， 当线段 AB 最短时，OC=_. 答案：1 7. 已知抛物线 2 yxbxc与 y 轴交于 A， 与 x 轴负半轴交于 B、 C 两点， 且 BC=2， 4 ABC S， 那么b _。 答案：2 5 8. 抛物线 2 2(0)yxbx b 的顶点为 C，

3、与 x 轴交于 A、B，若ABC是等腰直角三角形，则 ABC S_。 答案：1 二、解答题： 1. 在圆形水池中央装一个自动喷水器，如下图所示已知喷水器高 1 米，喷出的水流成抛物线状， 喷头与水流最高点的连线与水平线成 45 度角，水流最高点比喷头高出 2 米问：水池的面积需 要多大时，才不会让喷出的水溅到水池之外？ 解：依题意，A（0， 1） ， B（2， 3）. 因为 B 是右侧抛物线的顶点，设右侧抛物线的解析式为 2 (2)3ya x，把（0，1）代入解得 1 2 a . 所以右侧抛物线的解析式为 2 1 (2)3 2 yx . 另 y=0， 解得 x=26， 由图象得，C（26,0）

4、 即圆形水池的半径为26米， 22 (26)(104 6)SR 平方米. B 45 y x OC A 第6题图 C BA y x O 3 / 5 2. 如图，开口向下的抛物线caxaxy4 2 与x轴交于 A、B，与 y 轴交于点 C， 点 A 在 x 轴 的正半轴，点 B 在 x 轴的负半轴，点 C 在 y 轴的正半轴，且OCBO . (1) 求证：14aca. (2) 若点 A 坐标是（2 ，0） ，求点 B 的坐标 (3) 在此抛物线对称轴上是否存在点 P， 使PAC的周长最小？若存在，求点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由 解： （1）C（0， c） 且OCBO ，结合图象得，B（-

5、c， 0） 把（-c， 0） 代入caxaxy4 2 ， 得 2 4acacc=0 依题意，c0， 上式两边同除以 c， 410aca ， 即14aca （2）设方程 2 40axaxc的两根为 12 ,x x 则 12 4 b xx a ， 由题意得， 2 2x ， 1 6x 故 B（-6， 0） （3）抛物线的对称轴是直线2 2 b x a 由对称性得 PA+PC=PB+PC， PAC CACPAPCACPBPC 所以当 B、C、P 三点共线时，PAC的周长最小由 B（-6， 0） ，且OCBO 得 C（0，6） 直线 BC 的方程是：6yx， 2 P x ， 代入6yx，y=4 故 P（

6、-2， 4） . 3. 已知抛物线mxmxy)3( 2 ，求证：无论 m 取何实数，抛物线与 x 轴的两个交点不可能 都落在 x 轴正半轴上 证： 222 (3)429(1)80mmmmm 抛物线与 x 必有两个交点设抛物线与 x 轴交于 12 ( ,0),(,0)xx （反证）假设抛物线与 x 轴的两个交点都落在 x 轴正半轴上 C BA y x O 4 / 5 则 12 0,0 xx 12 12 0, 0 xx x x 则 30, 0 m m 得 3, 0 m m 此不等式无解 假设错误，故抛物线与 x 轴的两个交点不可能都落在 x 轴正半轴上 4. 当b取何值时， 直线bxy 2 1 与

7、抛物线32 2 xxy的两个交点分别在第一、 第三象限内？ 解：图像法4) 1(32 22 xxxy； 当直线bxy 2 1 分别过点（1，0） （-3，0）时有 当3x时，0 2 3 by，即 2 3 b（图） ；当1x 时，0 2 1 by，即 2 1 b（图） 要使直线bxy 2 1 与抛物线32 2 xxy 的两个交点分别在第一、第三象限内，则直线bxy 2 1 位于图位置，即直线截距为： 2 3 2 1 b，所以由此可得b的取值范围为： 2 3 2 1 b 5. 已知二次函数 qpxxxf 2 ，并且方程 0xf与02xf有相同的非零实根 （1）求 2 p q 的值； （2）若 281 f，解方程 0xf x y y=1 2x+b y=(x+1)2- 4 1 2 3 4 5