分形-大自然的几何学

1、- 四川文理学院 计算机科学系 王安志,Fractal-大自然的几何学,在过去，一个人如果不懂得“熵”是怎么回事，就不能说是科学上有教养的人； 在将来，一个人如果不能同样熟悉分形，他就不能被 认为是科学上的文化人。 -著名理论物理学家约翰惠勒(J.Wheeler),分形几何产生的背景,在经典的欧氏几何中，我们可以用直线、圆锥、球等这一类规则的形状去描述如墙、车轮、道路、建筑物等人造物体。,分形几何产生的背景,但在自然界中，却存在很多“不规则”的、“不可名状的”、“病态的”复杂的几何对象，如山脉、云烟、波浪、树木、闪电，以及星团、短痕、浸润、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、

2、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层,这些对象如何描述和研究？ 如何用计算机来生成？ 用经典几何图形来描述？Never！人们发现，传统的数学模型苍白无力！因为它们不再具有我们所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。,分形几何的历史,萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出. 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，分形对象：形，机遇和维数. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它从拉丁语“fractus”意思是“不规则的或者断裂

3、的” 派生来的.,分形几何的历史,发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 自然界的分形几何. 3. Barnsley, 1988, Fractal everywhere. 4. Falconer, 1990, 分形几何数学基础 及其应用.,德国数学家维尔斯特拉斯这位分析学大师在1872年发现了处处连续但处处不可微分的函数：,这一结果的发表曾经使数学界为之震惊。现在维尔斯特拉斯函数已有许多变形。例如：,英国的海岸线有多长？,测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能

4、短的道路步行，并规定每步长度不超过 ，设这样测得的海岸线长度为L().然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。,英国的海岸线有多长？,动力系统（迭代）的问题,Julia集,Julia集,Mandelbrot集,牛顿行星 非线性系统中的分形吸引域,分形的定义和特征,F具有精细的结构。分形图不管被放大多少倍，都能看到细节具有与整体相似的结构，这一特征非常接近于自然界中大多数的对象。 F是不规则的，其整体与局部都不能用传统几何学来描述； F通常具有自相似形式(统计意义上的自相似

5、)； 自仿射性,即局部到整体在不同方向上存在不等比例变换； 分数维。描述自相似性的一个重要参数，为认识世界中的复杂形态提供了一个新的尺度，在复杂性科学的研究过程中，分维是测量这些形态复杂度的一种度量，是人们对复杂性做定量分析的工具。 在大多数情形下，F可通过简单的迭代过程产生。,分形几何的研究对象 自相似集,Cantor集 Sierpinski垫片 Koch曲线 海岸线 分形图像压缩 分形山 分形植物模拟 。,Cantor集C,1883年，康托尔(G.F.P.Cantor,1845-1918)构造了三分集，也叫康托尔非连续统(Cantor di scontinuum)。 1890年，皮亚诺(G

6、.Peano,1858-1932)提出充满空间的曲线皮亚诺曲线。 1891年，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)在数学年刊(Mathematische Annalin )上发表短文，提出了能充满平面区域的著名的希尔伯特曲线。 1904年，瑞典数学家柯赫(H.von Koch,1870-1924)构造出柯赫雪花曲线。,1915-1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski,1882-1969)构造了谢氏曲线、海绵、墓垛。谢氏地毯是平面万有曲线(plane universal curve),谢氏海绵是空间万有曲线。 1918-1920年左右，法国数学家朱丽亚(G.Ju

7、lia,1893-1978)、法图(P.J.L.Fatou, 1878-1929 )研究复迭代。朱丽亚于1918年(当时他25岁)在纯粹数学与应用数学杂志上发表了长达199页的杰作，一举成名。 1924年11月20日Mandelbrot生于波兰。,Koch曲线,雪花曲线 三段Koch曲线连在一起构成 随机Koch曲线 对海岸线的模拟,Sierpinsk垫片的生成过程,L系统,L系统是一个基于字符串的并行重写系统，其核心概念就是重写。 “重写”的基本思想：通过对植物形态结构进行经验总结、概括和抽象，可预先定义出一系列的生长规则和初始状态,根据生成规则最终得到模拟对象。,表1 字符串替换过程 Ta

8、b.1 string replacement process,三维Sierpinski金字塔 三维Sierpinski海绵 3-D Sierpinski 3-D Sierpinski,(a),(b),单规则L系统模拟的植物 plant simulation based on Single rules L-system,同一个随机L系统4次产生的不同植物形态 4 different plant morphology generated by a stochastic L-system,用微分L系统模拟的植物连续生长过程 Continuous simulation of plant growth

9、process using dL-system,通常在所模拟对象的植物学意义较为明确的情况下，上下文相关L系统用来表达植物体内部各部分之间的相互影响。 以Hogeweg和Hesper应用2L系统构造的植物图形为例：,DLA算法,迭代函数系统(IFS),一个迭代函数系统由一组满足一定条件的映射函数及一组变换发生的概率Pi组成。可表示为IFS= (i,Pi),i=1,2 ,3 n.对应于每一个n有一个伴随概率0Pn1，且Pn=1。 压缩映射集n和对应的伴随概率Pn确定了IFS码。由分形空间的压缩映射定理可知，如果获取了某个给定图形的IFS码，则用较少的代码就可以生成极为复杂的分形图。,随机IFS生

10、成图形的流程图,IFS分形树的拼贴示意图 IFS分形树,分形树的IFS码 IFS-code of fractal tree,Barnsley也指出，迭代函数系统并不仅仅用于描述分形图形。常用于图像的压缩和变换。 另外，用于IFS的仿射变换必须是压缩仿射变换，IFS的保形性取决于它的收缩性。,对某一个静态场景的分形压缩,分形山,分形山,分形图形艺术,根据非线性科学原理，通过计算机数值计算，生成某种同时具有审美情趣和科学内涵的图形、动画，并以某种方式向观众演示、播放、展览， 这样的一门艺术叫做分形图形艺术。 科学求“真”的同时，也求“善”，也求“美”。科学家有探索真理的自由，但真理并不只是某种“ 符合”，科学家对社会承担责任。科学家探索自然、社会和人生，追求简单性，追求规律之美。,分形图形艺术的特点,第一，有科学内涵，作品有内在的数学结构； 第二，一般采用