浅谈定积分的应用

1、浅谈定积分的应用* * （天津商业大学经济学院，中国天津 300134)摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功The Application of Definite Integral* *(Tianjin University of Commerce，Tianjin，300134，China)Abstract:Definiteintegralinourdail

2、ylifeandlearninghavealotofuse,thispaperexpoundsthedefinitionofdefiniteintegralandgeometricmeaning,andthroughtheexampleanalysisofthedefiniteintegralinthehighermathematics,physics,economics,andotherfieldsofapplicationconditionanditsapplications,throughtheanalysiscanbeseenthattheuseofdefiniteintegralto

3、solvesomepracticalproblemsisveryconvenientandaccurate.Keywords:definiteintegral,theapplicationofdefiniteintegral,strivesforthebodyofrevolution,volumechangeforceswork0、前言众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研

4、究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展1-5。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。1定积分的基本定理和几何意义1.1、定积分的定义定积分就是求函数在区间中图线下包围的面积。即由，,所围成图形

5、的面积。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果是上的连续函数，并且有，那么用文字表述为：一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。1.2、定积分的几何意义当时，是曲边梯形的面积如图1a所示；当时，是曲边梯形的面积的负值1b所示；

6、 （a） (b) 图1定积分的几何意义图示2定积分的应用1，解决求曲边图形的面积问题例：求由抛物线与直线围成的平面图形D的面积S。2，求变速直线运动的路程做变速直线运动的物体经过的路程s，等于其速度函数，在时间区间上的定积分。3，变力做功某物体在变力的作用下，在位移区间上做的功等于在上的定积分。3定积分的应用举例3.1、平面图形的面积3.1.1、直角坐标系下平面图形的面积(1)X型与Y型平面图形的面积把由直线，及两条连续曲线，所围成的平面图形称为X型图形如图2a；把由直线，及两条连续曲线x=g1(y)，x=g2(y)(g1(y)g2(y)所围成的平面图形称为Y型图形。如图2b （a）X型图形

7、(b) Y型图形图2平面图形的面积注意：构成图形的两条直线，有时也可能蜕化为点。把X型图形称为X型双曲边梯形，把Y型图形称为Y型双曲边梯形。）用微元法分析X型平面图形的面积取横坐标x为积分变量，。在区间上任取一微段，该微段上的图形的面积dA可以用高为、底为dx的矩形的面积近似代替。因此从而）微元法分析Y型图形的面积对于非X型、非Y型平面图形，我们可以进行适当的分割，划分成若干个X型图形和Y型图形，然后利用前面介绍的方法去求面积。例1求由两条抛物线，所围成图形的面积A。如图4所示。图4解解方程组得交点(0，0)，(1，1)。将该平面图形视为X型图形，确定积分变量为x，积分区间为0，1。由公式(5

8、)，所求图形的面积为=。例2 求由曲线与直线所围成图形的面积A。如图5所示图5解解方程组得交点(，1)，(2，2)。积分变量选择y，积分区间为2，1。所求图形的面积为=。3.1.2、极坐标系中曲边扇形的面积在极坐标系中，称由连续曲线及两条射线，所围成的平面图形为曲边扇形。在上任取一微段，面积微元dA表示这个角内的小曲边扇形面积，所以。例3求心形线，所围成图形的积A。如图6所示。图6解因为心形线对称于极轴，所以所求图形的面积A是极轴上方图形A1的两倍。极轴上方部分所对应的极角变化范围为，由公式(7)，所求图形的面积为=。3.2、空间立体的体积3.2.1一般情形设有一立体，它夹在垂直于x轴的两个平

9、面，之间(包括只与平面交于一点的情况)，其中，如图所示。如果用任意垂直于x轴的平面去截它，所得的截交面面积A可得为，则用微元法可以得到立体的体积V的计算公式。过微段两端作垂直于x轴的平面，截得立体一微片，对应体积微元。因此立体体积，如图7所示。图7空间立体的体积例4经过一如图8所示的椭圆柱体的底面的短轴、与底面交成角a的一平面，可截得圆柱体一块楔形块，求此楔形块的体积V。如图8所示。图8解：据图8，椭圆方程为。过任意处作垂直于x轴的平面，与楔形块截交面为图示直角三角形，其面积为应用公式(8)V=16tana=tana。3.2.2、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内的一条直线l旋转一

10、周而成的空间立体，其中直线l称为该旋转体的旋转轴。把X型图形的单曲边梯形绕x旋转得到旋转体，则公式(4)中的截面面积是很容易得到的。如:9、10，设曲边方程为，旋转体体积记作。图9旋转体绕Y轴旋转的的体积图10旋转体绕X轴旋转的的体积过任意处作垂直于x轴的截面，所得截面是半径为的圆，因此截面面积。应用公式(8)，即得类似可得Y型图形的单曲边梯形绕y轴旋转得到的旋转体的体积计算公式其中的是曲边方程，c，d(cd)为曲边梯形的上下界。例5求曲线y=sinx(0xp)绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx。图11解Vx=p=p=。例6求由抛物线y=与直线y=0，y=1和y轴围成的平面图形，绕y轴旋转而成

11、的旋转体的体积Vy。图12解抛物线方程改写为x=y2，y0，1。由公式(10)可得所求旋转体的体积为Vy=p3.3、平面曲线的弧长表示为直角坐标方程的曲线的长度计算公式称切线连续变化的曲线为光滑曲线。若光滑曲线C由直角坐标方程，则导数在上连续。图13平面曲线的弧长如图13所示，在上任意取一微段，对应的曲线微段为AB，C在点A处的切线也有对应微段AP。以AP替代AB，注意切线改变量是微分，即得曲线长度微元ds的计算公式得到的公式称为弧微分公式。以C的方程y=f(x)代入，得。据微元法，即得直角坐标方程表示的曲线长度的一般计算公式若光滑曲线C由方程给出，则在上连续，根据弧微分公式11、12及微元法

12、，同样可得曲线C的弧长计算公式为例7求曲线的弧长s。解，ds=dx=dx，所求弧长为。3.4物理上的应用3.4.1、变力做功物体在一个常力F的作用下，沿力的方向作直线运动，则当物体移动距离s时，F所作的功。物体在变力作用下做功的问题，用微元法来求解。设力F的方向不变，但其大小随着位移而连续变化；物体在F的作用下，沿平行于力的作用方向作直线运动。取物体运动路径为x轴，位移量为x，则。现物体从点x=a移动到点x=b，求力F作功W。如图14所示。图14变力做功在区间上任取一微段，力F在此微段上做功微元为dW。由于F(x)的连续性，物体移动在这一微段时，力F(x)的变化很小，它可以近似的看成不变，那么

13、在微段dx上就可以使用常力做功的公式。于是，功的微元为。作功W是功微元dW在a，b上的累积，据微元法例8求长0.02m要用9.8N的力，求把弹簧拉长0.1m时，外力所做的功W。图15解据虎克定律，在弹性限度内，拉伸弹簧所需要的外力F和弹簧的伸长量x成正比，即，其中k为弹性系数。据题设，x=0.02m时，F=9.8N，所以9.8=0.02k，得k=4.9102(N/m)。所以外力需要克服的弹力为F(x)=4.9102x。由(12)可知，当弹簧被拉长0.1m时，外力克服弹力作功。例9 一个点电荷O会形成一个电场，其表现就是对周围的其他电荷A产生沿径向OA作用的引力或斥力；电场内单位正电荷所受的力称

14、为电场强度。据库仑定律，距点电荷r=OA处的电场强度为(k为比例常数，q为点电荷O的电量)。现若电场中单位正电荷A沿OA从r=OA=a移到r=OB=b(ab)，求电场对它所作的功W。图16解这是在变力F(r)对移动物体作用下作功问题。因为作用力和移动路径在同一直线上，故以r为积分变量，可应用公式(14)，得。3.5 定积分在经济学中的应用3.5.1利用定积分求原经济函数问题在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。设经济应用函数u( x ) 的边际函数为 ,则有 例10生产某产

15、品的边际成本函数为, 固定成本C (0) =10000, 求出生产x个产品的总成本函数。 3.5.2 利用定积分计算资本现值和投资若有一笔收益流的收入率为f(t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值。例11 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求:(1) 该投资的纯收入贴现值;(2) 收回该笔投资的时间为多少?解(1) 求投资纯收入的贴现值: 因收入率为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为Y= 从而投资所获得的纯收入的贴现值为 ( 2) 求收回投资的时间: 收回投资, 即为总收入的现值等于投资。由得T =即收回投资的时间为T=例如, 若对某企业投资A = 800( 万元) , 年利率为5% , 设在20 年中的均匀收入率为a= 200( 万元/ 年),则有投资回收期为 = (年)由此可知,该投资在20年内可得纯利润为1728.2万元, 投资回收期约为4.46年.4 总结定积分在数学中占主导地位，以上几个方面的应用也只是定积分在我们能够接触到的应用的一部分, 定积分还有很多在我们生活、学习等领域中的应用之处。只要勤于学习, 善于思考, 勇于探索,就一定能从中感受到定积分的无穷魅力, 同时也能提高应用数学知识解决实际问题的能力。参考文献1 罗藴