第二章-工程力学--第二章

1、1,第2章 平面力系的简化与平衡,工程力学,2,第2章 平面力系的简化与平衡,2.1 平面汇交力系 2.2 平面力偶系 2.3 平面一般力系,本 章 目 录,3,2-1 力线平移定理,力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 平行移到任一 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 的矩等于原来的力 对新作用点B的矩。,4,说明：,5,第2章 平面力系的简化与平衡,平面力系作用在物体上各力的作用线都在同一平面内。,工程实例：屋架、吊车：平面结构承受平面力系。,空间对称结构承受对称的外力，可简化为平面问题。如汽车受力。,6,2.1 平面汇交力系,2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法,平面汇交力

2、系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。,包括自重与 液体重力,7,力多边形法则：,汇交力系中各力首尾相连，构成一个不封闭的折线Oabcd，称为不封闭的力多边形（力链）。合力为力多边形的封闭边Od，方向从第一个力的起点指向最后一个力的终点。,合力大小与分力的次序无关。,a,c,d,b,2.1 平面汇交力系,2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法,1.合成的几何法,8,合力可以表示为：,若力系为n个力，合力可以表示为：,2.1 平面汇交力系,2.1.1 平面汇交力系合成和平衡的几何法,1.合成的几何法,9,平面汇交力系平衡的充要条件是合力为零。,力系中各力首尾相连，力多边形自行封

3、闭。,平衡条件的几何形式：,平衡的几何法,2.1 平面汇交力系,2.1.1平面汇交力系合成和平衡的几何法,10,（4）确定未知力的大小：可量取长度，用比例尺换算。也可 利用三角关系求得。,（3）画力多边形：,确定未知力方向：力多边形中各力的方向为实际方向，与受力图一致。,（5）答案：由作用反作用公理，AB受拉力 5 kN；BC受压力 8.66 kN。,（1）研究对象：销钉 B （2）画受力图；,选取比例尺；,解：,11,2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法,合成的解析法,合力,平面汇交力系,因为,每个力,合力投影定理：,2.1 平面汇交力系,12,已知合力在直角坐标轴的投影 Fx、Fy

4、时，可求力FR 大小和方向。,合力的大小,合力的作用点为力系的汇交点。,Fx 0 Fy 0,Fx 0,Fx 0 Fy 0,Fx 0 Fy 0，FRy0，所以合力指向第四象限，指向如图。,14,平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。,平面汇交力系的平衡方程,平衡的解析条件： 力系中各力在x、y轴上 投影 的代数和为零。,有2个平衡方程， 只能求解2个未知量。,2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法,平衡的解析法,2.1 平面汇交力系,15,利用平衡方程，求解平衡问题的步骤为：,1、选选取研究对象。 应既受已知力，又受要求的力或与要求力相关的力。,2、画画受力图。(标清几何关系),

5、3、建建立坐标系。 原点可任意，使坐标轴与较多的力平行（或垂直）。,4、列列平衡方程。 注意：不要列成左式等于右式的形式。,5、解解平衡方程。,6、答答案，必要时作出讨论或说明。,2.1.2 平面汇交力系合成和平衡的解析法,平衡的解析法,2.1 平面汇交力系,16,解：,（3）建立坐标系：Axy,（4）列平衡方程：,（5）解得：FA= 22.4kN,（1）研究对象：刚架,（2）受力如图：,FA cos,+ P,= 0,FA sin, FD,= 0,FA 为负，表明其方向与图示相反。,FD= 10kN FD为正，表明其方向与图示相同。,17,（3）建立坐标系：Bxy,（4）列平衡方程：,解： 分

6、析题意,滑轮大小不计，可为点B。,（1）研究对象：滑轮和销轴。,（2）受力如图：,F1cos30,FBC,F2sin30,=0,FBA= 0.366P,FBC为正，表明其方向与图相同， FBC与图相同，BC受压。,FBC= 1.366P,FBA为负，表明其方向与图相反，FBA与图相反，AB受压。,（5）解得：,F1=F2=P,F1sin30,F2cos30,FBA,=0,18,2.2 平面力偶系,2.2.1平面力偶系的合成,F2 d2F4 d,m = Fd =（F3F4）d,F1d1F3 d,= m1 + m2,= F1d1F2d2,设同一平面内有两个力偶（F1，F1）、（F2，F2），力偶臂

7、分别为d1、d2，力偶矩分别为 m1= F1d1 、m2=F2d2 。求它们的合成结果。,19,平面力偶系的合成结果为一合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。,2.2.2 平面力偶系的平衡,只有一个平衡方程，只能求解一个未知量。,平面力偶系平衡的必要与充分条件：所有各力偶矩的代数和等于零。,2.2 平面力偶系,2.2.1平面力偶系的合成,20,（2） 受力如图。,（1）研究对象：AB,（3）列平衡方程：,（5）由力偶的特点，A点反力RA=RB，方向如图。,（4）解方程,解,21,例2-6 用多轴钻床在水平工件上钻孔时，每个钻头对工件施加一压力和一力偶，如图所示。已知三个力偶矩分别为： m1m

8、210Nm，m320Nm。固定螺钉A、B的间距为l200mm。 求两个螺钉所受的水平力。,解：,研究对象：工件,由力偶系的平衡条件：,结果为正，说明图示方向为力的实际方向。,FA、FB必组成力偶与其它三个力偶平衡。,从而,解得：,22,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的简化,O简化中心,平面一般力系,平面汇交力系,为原力系的主矢。作用在O点，大小和方向与简化中心O无关。,为原力系的主矩。大小和方向一般与简化中心O有关。,平面力偶系,23,主矩的大小：,建立坐标系xy,主矢的大小：,利用力和投影的关系，可以确定主矢的大小和方向。,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的简化,2

9、4,固定端约束,约束反力的确定：,按平面一般力系的简化，得到一个力和一个力偶。,为便于计算，固定端的约束反力画成正交分力和一个力偶。,2.3 平面一般力系,2-3-1平面一般力系的简化,25,此时，简化结果与简化中心位置无关。,2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理,此时，简化结果与简化中心位置有关。,简化结果,（1）,其合力偶矩,2.3 平面一般力系,26,即：合力矢等于主矢；合力作用线在简化中心O那一侧取决于主矢、主矩方向；合力作用线到O点的距离由d 确定。,(3),2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理,2.3 平面一般力系,27,合力矩定理,平面一般力系的合力对

10、于作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,原力系为平衡力系。,（4）,2.3.2 平面一般力系简化结果的分析 合力矩定理,2.3 平面一般力系,28,求合力的大小：建立坐标系Axy。,解：合力的方向向下。,取微段dx，,其上合力dFR =qxdx，方向向下。,在任意截面 x 处,分布力合力,求合力的作用线(利用合力矩定理),即：,即,29,总结：分布力的合力,（2）大小：等于载荷集度 q 乘以分布长度，即 ql。,（1）方向：与分布力 q 相同。,（3）作用线：通过分布长度的中点。,（1）方向：与分布力相同。 （2）大小：等于由分布载荷组成的 几何图形的面积。 （3）作用线：通

11、过由分布载荷组成的几何图形的形心。,ql,均布载荷的合力。 载荷集度为 q。,30,2.3.3平面一般力系的平衡条件,平面一般力系平衡的充要条件：,即：,平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。上式称为平面一般力系的平衡方程。,有独立三个方程，只能求解三个未知数,为方便计算：,2、矩心应取在两未知力的交点上。,1、坐标轴应当与尽可能多的未知力作用线相垂直。,31,解：,B,8,解方程得：,研究对象：水平梁AB,注意应用合力投影定理与合力矩定理得出：（1）均布载荷的投影与对点之矩。（2）力偶的投影与力矩。,32,解得：FB

12、28.28kN,例：已知如图ABBDl，载荷 P10kN。设梁和杆的自重不计，求铰链A的约束反力和杆BC所受的力。,研究对象：ABD梁。,A,FAx,FBcos 45,0,FAy,FBsin 45,P,0,FBsin 45l,P2 l,0,FAx 20kN FAy10kN (负号表明反力方向与图示相反),B,由作用反作用公理，BC杆受压力 28.28kN,33,如果写出对A、 B两点的力矩方程和对x 轴的投影方程：,如果写出对A、 D、 C三点的力矩方程：,说明三个方程相互独立,说明三个方程相互独立,讨论,34,二、平衡方程的其它形式,二矩式：,三矩式：,x 轴不得垂直于A、B连线。,A、B、

13、C三点不共线。,这二组平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件（证明略，见P49）,对于受平面任意力系作用的单个研究对象的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。,35,0,(2)当空载时，受力如图。,FB0,0,解：(1)当满载时，受力如图。,例2-10： 塔式起重机如图。机架重力W，吊起的最大重物重力P，欲使起重机在满载和空载时都不致翻倒，求平衡配重的重量Q。,0,为使起重机不绕点A翻倒，必须FB0。,为使起重机不绕点B翻倒，必须FA0。,36,2.4 考虑摩擦时的平衡问题,摩擦,工程实际中，物体的接触面不会完全光滑，

14、摩擦总会存在。,本教材只讲工程中常用的简单近似的摩擦理论 。,摩擦,37,2.4.1 基本概念,大小根据主动力的情况，用不同的计算方法计算。,两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动或相对滑动趋势时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力，即滑动摩擦力。,摩擦力：,作用于相互接触处；,方向与相对滑动的相对滑动趋势的方向相反；,2.4 考虑摩擦时的平衡问题,38,1、静摩擦力,（1）P为零时，物体没有运动趋势，摩擦力Fs为零。,（2）P 较小时，物体有运动趋势，但仍静止(平衡)，摩擦力Fs 不为零。由平衡方程确定静摩擦力大小。,静滑动摩擦力：当两物体有相对滑动趋势时，在接触面上有阻碍物体相对滑动趋势

15、的力。静摩擦力,实验:,（3）当主动力P 增加到某个数值，物体处于将动未动的临界平衡状态。这时的摩擦力称为最大静滑动摩擦力Fmax。,39,FN：正压力。 fs：静摩擦因数，为常数，由材料和接触面状况决定。实验测定。,静摩擦定律,一般平衡状态,临界平衡状态,综上所述：,0FsFmax,FmaxfsFN,FmaxfsFN,静摩擦力大小和方向由平衡方程确定。,方向恒与物体相对滑动的趋势方向相反。,3. 动滑动摩擦力,F = f FN,FN：法向反力（正压力） f ：动摩擦因数，为常数，由材料决定。一般 f fs。,2.最大静摩擦力,最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力(即法向反力)成正比。,40,

16、2.4.2 摩擦角与自锁现象,由图可知:,摩擦角 与摩擦因数 fs 一样也是表示材料表面性质的一个常量。,1、摩擦角,全反力：,摩擦角的正切等于摩擦因数。,摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用 表示。,讨论物体间静摩擦性质的几何特点。,一般平衡,临界状态,41,接触点的全约束反力作用线只能在摩擦角以内。,所以有： ,摩擦角：临界状态时，全反力与法线的夹角。用 表示。,42,2、自锁现象,如果作用于物体的全部主动力的合力作用线 在摩擦角之内，无论该力多大，物体总能保持平衡，这种现象称为自锁。,设接触面的摩擦角为 ，主动力FR与法向夹角为 。,水平主动力：FRsin，,若平衡：FRsin F

17、max fsFN = fsFRcos,即：物体平衡 ,法向主动力：FR cos 法向反力,而：,若 物体平衡，接触面可提供与法线成 角的全反力。,证明：, 是物体平衡的充要条件。,与主动力无关而与摩擦角有关的平衡条件称为自锁条件。,43,当 时，由于接触面只能提供摩擦角范围内的全反力，不能保证与主动力共线。 物体滑动。,如果作用于物体的全部主动力的合力作用线在摩擦角之外，无论该力多小，物体一定会滑动。,44,例：在一个可以调整倾角的斜面上放一重为P的物体，物体与斜间的摩擦因数为fs，试求物体开始下滑时斜面的倾角。,解： （1）研究对象：物体。受力如图。,（2）列平衡方程：,解得：,讨论斜面上物

18、体的自锁条件（即不下滑的条件）： ,45,工程实际中常应用自锁原理设计一些机构或夹具，如千斤顶、压榨机、圆锥销等，使它们始终保持在平衡状态下工作。也可应用这个原理，可以设法避免发生自锁现象。,46,因为螺纹可以看成为绕在一圆柱体上的斜面，螺纹升角就是斜面的倾角。,斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。,对于千斤顶，螺母相当于斜面上的滑块，加于螺母的轴向载荷，相当物块的重力。,要使螺纹自锁，必须使螺纹的升角小于或等于摩擦角 。因此螺纹的自锁条件是： ,若螺旋千斤顶的螺杆与螺母之间的摩擦因数为fS0.1， 5 42。为保证螺旋千斤顶自锁，一般取螺纹升角 4430。,47,2.4.3 考虑摩擦时物体的平

19、衡问题,求解考虑摩擦时的平衡问题的几个特点：,（2）已知主动力，讨论物体状态。可设物体处于一般平衡，此时摩擦力的大小和方向可由平衡方程确定。但一定符合FSFmax 。 Fmax fSFN，否则物体运动。,（1）受力分析时，必须考虑摩擦力，其方向与假设无摩擦时物体在其他力的作用下的滑动方向相反。,（4）工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时可列补充方程FmaxfSFN 。有时为了计算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨论其解的平衡范围。,（3）已知有摩擦求主动力。由于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0FSFmaxfSFN)，所以主动力的值也有一定的范围。,48,例2-11 物

20、体重为P，放在倾角为（足够大）的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。,解：,(1)求力的最大值F1max 。,列平衡方程：,补充方程,49,(2)求力的最小值F1 min。,补充方程：,列平衡方程,例2-11 物体重为P，放在倾角为（足够大）的斜面上，它与斜面间的摩擦因数为fS。当物体处于平衡时，试求水平力F1的大小。,综上可知：,F1,解：,50,物体系: 由若干个物体所组成的物体系统。,2.5 静定与静不定的概念 物体系统的平衡,2.5.1 静定与静不定的概念,静定问题：所有未知量都能由平衡方程求出，这样的问题称为静定问题。,实例：,显然前面列举的各

21、例都是静定问题。,特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。,51,静定问题：,特点：结构中的未知量数目等于独立平衡方程的数目。,实例,静不定问题（超静定问题）：未知量不能全部由平衡方程求出，这样的问题称为静不定问题或超静定问题。,特点：结构中未知量数目多于独立平衡方程的数目。,2.5 静定与静不定的概念 物体系统的平衡,2.5.1 静定与静不定的概念,52,物体系平衡时,构成物体系的每部分都处于平衡。设一物体系由 n 个物体构成,则每个物体一般可列出3个独立的平衡方程,整个物体系则可列出3n个平衡方程。若物体系的未知量个数为3n个，问题可解，物体系为静定系统。,讨论物体系统平衡时，不仅

22、要考虑系统的外力，还要考虑系统内部各物体之间的相互作用力（内力）。,若物体系的未知量多于3n个,问题不可解，则为静不定系统。本部分不讨论静不定系统。,2.5 静定与静不定的概念 物体系统的平衡,2.5.2 物体系统的平衡,53,解：,（方案2）冲头B和整体,（方案1）冲头B和轮,全面进行受力分析， 确定解题方案。,二力杆 相连的物体受力等值、反向，性质与杆的受力一致。为简便起见，二力杆的受力图可以不画。,54,例2-12 曲轴冲床由轮I、连杆AB和冲头B组成。OAR，ABl。当OA水平、冲压力为F时系统处于平衡。求：(1) m；(2) O点约束力；(3) AB受的力；(4)冲头给导轨的侧压力。,解：,（1）研究对象：冲头,方案1:冲头B和轮,（2）研究对象：轮,FOy,FOx,m,55,解：,解题方案： CD和整体,整体上4个要求的力，在相关的受力图上若能求出其中1个力，即可求其它力。,相关物体CD上有3个要求的力，可解。,受力分析：,先分析整体受力,56,例2-13 已知F20kN，q10kN/m，m2