工程数学-5欧氏空间4-6平面和直线方程

1、主 讲 曾 金 平,高等数学,4,第五章,一、 平面及其方程,主题：1. 空间平面在直角坐标系的表示法。,2. 空间平面间的关系。,1、平面的点法式方程,几何上，任给空间中某一点，及某一方向，都可且只可做一个过该定点且垂直于给定方向的平面。下面用解析式描述此几何关系.,M0,M,x,z,y,任取平面 上一点 M(x, y, z).,O,故,(4.1), (A, B, C)(xx0, yy0, zz0),= A(x x0)+B(y y0)+C(z z0),= 0.,即平面 上任意点 M(x, y, z) 都满足方程 (4.2).,反之若 (x, y, z) 满足 (4.2)，则由 (4.2).,

2、(4.2),我们称垂直于平面 的任何非零向量为 的法方向或法向，,A(x x0)+B(y y0)+C(z z0)=0,法点式方程,解：由法点式，得所求平面方程为,2(x 1)+3(y 3) 4(z+2)=0,2x+3y 4z19=0.,即,例4.2. 求过点 M1(2, 1, 4), M2(1, 3, 2) 和 M3(0, 2, 3) 的平面方程.,O,x,y,z,M1,M2,M3,从图知，M1, M2, M3 不共线，,即三点不在同一直线,故可唯一确定一平面.,如何验证？,如何求？,解：由于,=(3, 4, 6)(2, 3, 1),=(14, 9, 1),0.,故 M1, M2, M3 不共

3、线.,为所求平面之法向.,故得平面方程为：,=14(x2)+9(y+1) (z4),=14x+9y z15,= 0,或,=14(x+1)+9(y 3) ( z+2),=14x+9yz15,= 0.,一般地，设平面 过 M1, M2, M3 三点, M1, M2, M3 不共线. 即,则得平面方程为：,即,平面的三点式方程. （4.3),副产品：,(1),()=0, , , 共面,称为, , 的混合积.,(2) 三点共线,或,或,2 平面的一般方程,对于二维空间.,Ax+By+D=0,A2+B20,平面直线.,对于三维空间. 同样,Ax+By+Cz+D=0,A2+B2+C20,空间平面.,故,A

4、x+By+Cz+D=0,A2+B2+C20,平面一般方程.,事实上. 任何平面都可用法点式表示,因而为x, y, z的三元一次方程;,反之，,任何关于x, y, z的三元一次方程,Ax+By+Cz+D=0,取某一点M0(x0, y0, z0)满足上述方程.,两式相减,A(xx0)+B(yy0) +C(zz0) =0,故上述方程表示过 M0 且垂直于 (A, B, C) 的平面的法点式方程.,即 Ax+By+Cz+D=0 表示一个平面，,且以 (A, B, C) 为法向., ： Ax+By+Cz+D=0 之特例.,(i) 平面过原点,D=0,(ii) / x轴,A=0,B=0,(iii) A=B

5、=0, / x轴, / y轴, / xy 平面,B=C=0, /yz 平面,C=A=0, /zx 平面,(iv) A=B=D=0,Cz=0 ,z=0 ,xy平面.,例4.3. 求过 y 轴和点 M(1, 1, 1) 的平面方程.,解：设平面方程为Ax+Cz+D=0.,由于过 y 轴,故过原点., D=0,且因平面过点 M(1, 1, 1)，得,A1+C 1=0 ,A= C.,平面方程为 AxAz=0., A 0, 平面方程为x z =0.,例4.4 设平面 与 x, y, z 轴分别交于 P (p, 0, 0), Q(0, q, 0), R (0, 0, r)，求 的方程, 其中p, q, r

6、 非零.,解：设平面 为方程 Ax+By+Cz+D=0.,则 Ap+D=Bq+D=Cr+D=0.,平面方程为, 在 x 轴上截距, 在 y 轴上截距, 在 z 轴上截距,截距式方程,由于D0, 上式化简得,3 两平面的夹角,我们目前已对平面本身的解析关系描述得较清楚了. 现在讨论两平面间的关系.,一般说来，两平面的关系有以下几种,两平面平行不重合.,两平面平行重合.,两平面不平行相交,两平面法向一致但无交点,两法向一致且有交点,两平面垂直,相交但不垂直,两法向垂直,两法向不共线也不垂直,桥梁,法向夹角, 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2: A2x+B2y+C2z+D2=0.,如何求

7、其间夹角？,分别为 1 ，, 2,的法向，,故,A1A2+B1B2+C1C2=0;,两平面平行,=,=,=,=,=,A1:A2=B1:B2=C1:C2.,两平面垂直,A1:A2=B1 : B2=C1 : C2 .,0,0,0,即,平行不重合,重合,A1:A2=B1:B2=C1:C2 D1:D2;,A1:A2=B1:B2=C1:C2= D1:D2 .,特殊情形：,例4.5 设平面 过点 M1(1, 0, 0), M2(1, 1, 1) 且与,平面1：x+y+z=0 垂直， 求平面 .,而 过点M1, M2. 故,解：,故得平面 方程为,即,5 平面外一点到平面的距离,解：如图,M1,N,M0,设

8、平面 : Ax+By+Cz+D=0. 则,平面上点M1(x1, y1, z1)满足,A1x+B1y+C1z+D1=0.,即,即,点到平面的距离公式,例4.6 求 M0(x0, y0, z0) 到 xy 平面的距离.,解：xy平面：z=0.,故,二、 空间直线及其关系,1 空间直线的一般方程,空间上任何两个不平行的平面的交点在一条直线上，同样，这条直线上任一点都在这两条平面的交线上，故，空间直线可用下面方程组表示,直线的一般方程,(交面式),上述直线也等价于,几何上，一条直线可看作任意两个过该直线且不平行的平面的交线，即直线方程的表达式不唯一.,2 直线的对称式方程和参数方程,若给一定点及一向量

9、，过此定点平行于已知向量可唯一确定一条直线.,M (x，y，z) 为直线 l 上任意一点.,则,M0,M,l,对称式方程 (4.4),反过来，任一点 M(x, y, z) 满足(4.4)，则,因 M0 在 l 上，故 M 也在 l上，故 (4.4) 即为直线 l 的方程.,在 (4.4) 式中，令,则,t为参数.,直线的参数方程,约定：,例4.7 求过点 A(1, 1, 1)，B(1, 2, 3) 的直线 l 的对称式方程、参数方程及一般方程.,解：l 的方向,则得 l 的对称式方程,参数方程,上面方程组中，x=1为一平面，后面两方程去掉参数 t 得,故得一般方程,例4.8 用对称方程及参数方

10、程表示直线,l：,解：由两种形式直线方程表达式知，只需求得 l 上一定点和 l 的方向即可.,现求一定点. 将联立方程组,相加:,令z = 1得 x = 3, y=1,得一定点(3, 1, 1). 故得对称式,即而得参数方程：,x = 3 + 4t,y = 1 t ,z = 1 3t .,t 为参数.,3 两直线的夹角,特例：,l1 / l2,l1 l2,4 直线与平面的夹角,我们称直线 l 与它所在平面 上的投影直线的夹角为该直线与平面的夹角(通常要求 ).,l,设直线 l ：,平面 ：,例4.8 求过点 M0(1, 2, 4) 且与平面 x 2y+z 4=0垂直的直线方程.,则 直线方程为

11、：,例4.10 求直线,与平面,的交点.,解：令,x=2+t, y=3+t, z=4+2t.,代入平面方程,2(2+t)+3+t+4+2t6=0.,5t+5=0,得x=1, y=2, z=2.,t= 1,例4.11 求过点 M0(3, 3, 0) 且与直线,l1:,垂直相交的直线 l 的方程.,解：,M0,M1,l1,设所求直线 l 与 l1 的交点为M1(x1, y1, z1).,则,令, t + t + 22t 6 = 0.,t =1,得 (x1, y1, z1)=(1, 1, 2).,故直线方程为,例4.12 求直线 l1:,x+y1=0,y+z+1=0,在平面 : 2x+y+2z =

12、0 上的投影直线的方程.,解：直线 l1 的方向,=(1, 1, 1).,再求 l1 与 的交点M0(x0, y0, z0). 即联立求解,x+y 1=0,y+z+1=0,2x+y+2z=0.,消元,x + y 1 = 0,y+z+1=0,y+2z+2=0.,x + y 1 = 0,y+z+1= 0,3z+3= 0.,得(x0, y0, z0)=(1, 0, 1).,M0,l1,n,M1,任取 l1 上 (不在 上)一点 M1(x, y, z)=(0, 1, 2) .,作过 M1 且垂直于 的直线 l2 :,设 l2 与 交点为 M2(x2, y2, z2)，则相应参数 t 满足,22t +1

13、+t+2(2+2t )=0,得交点 M2(x2, y2, z2),所求直线方程为,即,思想：, 求直线与 交点M0；, 求直线上平面 外一点M1 ；, 求过 M1 垂直于 的直线 l2 ;, 求 l2 与 的交点M2 ；, 求过M0，M2 的投影直线方程.,M0,l1,n,M1,事实上，我们利用了直线的另外一种表达式,两点式,设 l: 过点 M0(x0, y0, z0), M1(x1, y1, z1).,则 l :,下面我们用平面束来解题,设直线 l ：,A1x+B1y+C1z+D1=L1(x, y, z)=0, 1,A2x+B2y+C2z+D2=L2(x, y, z)=0, 2,令 (1,

14、2):,1L1(x, y, z)+ 2L2(x, y, z)=0,称 (1, 2) 为平面束.,命题4.1. 平面束 (1, 2) 为过直线 l 的平面, 且任何过 l 的平面都对应于平面束中某一平面.,证：显然, (1, 2) 对,都表示平面,且过 l. 现设平面 为过 l 及 l 外某一点 (x1, y1, z1) 的平面.,令 1: 2 满足：,1L1(x1, y1, z1)+ 2L2(x1, y1, z1)=0,则平面束中对应于方程,L2(x1, y1, z1)L1(x, y, z) L1(x1, y1, z1)L2(x, y, z)=0.,例4.12新解,例4.12 求直线 l :,

15、x+y1=0,y+z+1=0.,在平面 ：2x+y+2z=0上的投影直线方程.,解：由题意，只需求过 l 的平面束中的一个垂直于 的平面1，即由直线的一般形式(也称交面式)求得投影直线.,过 l 的平面束为,得 1：, 投影直线为,xz 2=0, 过 1,2x+y +2z=0, 过 .,令 1=1,即,5 空间曲面和空间曲线,在前面，我们已知，空间平面对应于一 个三元一次方程.,反之，任意一个三元一次方程也对应于空间中的一个平面.,如果平面 的方程是 (5.0)，其含义是平面 上任意动点 (x, y, z) 都是 (5.0) 的解. 而 (5.0) 的每一组解也对应于 上某一点.,(5.0),

16、定义5.1 设空间曲面 S. 及三元方程 F(x, y, z)=0. 如果 S 上任一点 M(x, y, z). 其坐标 x, y, z 都满足 F(x, y, z)=0. 反之，F(x, y, z)=0 的任一解 (x, y, z) 对应的空间点 (x, y, z) 也在 S 上. 则称 F(x, y, z)=0 为 S 的方程. 而 S 则称为 F(x, y, z)=0 的图形.,一、空间曲面及其方程,例5.1 建立球心在 M0(x0, y0, z0), 半径为 R 的球面的方程.,解：,根据图形知，球面上任一点M到球心的距离为R.,设M点坐标为(x, y, z)，则根据两点间距离计算公式

17、,或,(5.1),反之, 任取 (x, y, z) 满足 (5.1). 则 M(x, y, z) 到 M0的距离为 R. 故 (x, y, z) 在球面上. 因此 (5.1) 即为所求球面的方程.,特例: x0=y0=z0=0. 则 (5.1) 变为,x2+y2+z2=R2.,(5.2),(5.2) 表示中心在原点，半径为R的球面方程.,例5.2 设 yz 平面有一已知曲线 C，它的方程为 f (y, z)=0. 将曲线绕 z 轴旋转一周，得一曲面. 求此旋转面的方程。,M1,M,d,d1,设旋转面上任一点 M(x, y, z). 于 M 作垂直于 z 轴的平面在 yz 平面上与平面曲线 f

18、(y, z)=0 交于 M1(x1, y1, z1), 与 z 轴交于 M2(0, 0, z2). 则 x1=0, z1=z2=z, 从而 y1 满足 f (y1, z1) = f (y1, z)=0.,M2,由旋转性质,d = d1= |y1|,故,故得,反之，若空间点 (x, y, z) 满足 (5.3)，也可推知 (x, y, z) 在旋转面上，即 (5.3) 为所求.,(5.3),其它情形：平面曲线 f (y, z) 绕 y 轴所成旋转面之方程.,平面曲线 f (x, y) 绕 x 轴所成旋转面之方程,几种重要曲面,1. 圆锥面,设过原点直线 l 绕另一直线 (比如 z 轴) 旋转，旋

19、转而成曲面称为圆锥面.,称为圆锥面的半顶角.,其中 l 称为母线. z 轴为中心轴. l 与旋转轴夹角.,同前例，任取圆锥面上一点 M(x, y, z),由几何性质,故,即得曲面方程,M,M2,M1,过 M 作垂直于 z 轴的平面. 则交 z 轴于 M2(0, 0, z)，交 yz平面于 M1.,2. 圆柱面,两平行直线，其中一条绕另一条旋转，所形成的曲面称为圆柱面.,如图,设直线 l 绕 z 轴旋转.柱面上任意点M(x, y, z). 过 M 作垂直于 z 轴平面交 z 轴于M1(x1, y1, z1). 则 (x1, y1, z1)=(0, 0, z).,二、空间曲线及其方程,空间曲线：两

20、空间曲面的交线.,其方程可描述为,F1(x, y, z)=0，,F2(x, y, z)=0.,(5.6) 交面式方程或一般方程,例5.3,x2+y2=1,x+y+z=2.,表示圆柱面与平面的交线.,另外，和直线一样，我们也可用参数形式表示空间曲线.,x=x(t),y=y(t),z=z(t).,例5.4 若空间中点 M 在圆柱面 x2+y2=a2上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中, v 都是常数). 则点 M 构成的图形为螺旋线. 试建立其方程.,设时间 t 为参数. 初始时刻 (t=0)，动点在 A(a, 0, 0) 处，经时刻 t , 动点运

21、动到 M(x, y, z).,解:,A,M,作 M 在 xy 平面的投影.,投影点为M，其坐标为(x, y, 0).,= a sin t.,参数方程,x = acos t,y = asin t ,z = vt.,M ,在讲直线与平面之关系时，曾介绍过如何求空间直线在某平面上的投影. 下面介绍一般的空间曲线在坐标面上的投影.,设空间曲线,F1(x, y, z)=0,F2(x, y, z)=0,(5.7),消去 z，得 H(x, y)=0.,(5.8),曲面 (5.8) 可视为平行于 z 轴的柱面.,C :,若点 M(x, y, z)满足(5.7)，则 (x, y) 满足(5.8). 故 C 上的

22、点均在柱面(5.8)上.,即 C 是柱面 (5.8)上的一条曲线. 故 C 在 xy 平面的投影为,(5.9),(5.9) 即为曲线 C 在 xy 面的投影曲线方程.,投影方程,例5.5 求例5.4中螺旋线在 xy 平面上的投影.,解：由参数方程，即得 x2+y2=a2 (消去了z) .,故投影方程为,z=0.,x2+y2=a2,例5.6 求球面 x2+y2+z2=1. 和 x2+(y1)2+(z1)2=1 的交线在 xy 面上的投影方程.,解：交线方程为,x2+y2+z2=1,x2+(y1)2+(z1)2=1.,z,x,y,投影方程：,x2+2y22y=0，,z=0.,两式相减：2y+2z=

23、2. 即 z=1y. 代入第一个方程.,x2+y2+(1y)2=1,x2+2y22y=0.,三、二次曲面,下面接着介绍空间二次曲面的典型类型.,一般地，称,A11x2+A22y2+A33z2,+2A12xy+2A23yz+2A31zx+A+A1x+A2y+A3z=0,为三维空间R3中的二次曲面方程. 我们仅讨论几类典型情况.,1. 椭球面,( a, b, c均大于0).,易知，|x|a, |y|b, |z|c. 为了了解曲面形状，先以平行于 xy 面的平面z=z0(|z0|c)截曲面，得到截线方程为,z=0.,因,从而当,截线是平面,z=z0上一椭圆，,同理，以平面x=x0(|x0|a)和平面

24、y=y0(|y0|b)截椭球面所得截线与上述情况类似， 因此，椭球面的形状如图,而当 | z0|=c时，截线退缩成一点(0, 0, z0).,若a=b，,由旋转曲面的知识知，这个方程表示 xz 面上椭圆,绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为,旋转椭球面.,若a=b=c，,方程变为,它表示一个球心在原点，半径为 a 的球面.,方程变为 x2+y2+z2=a2,2. 椭圆抛物面,不妨设 p, q 均大于0， 以平行于 xy 面的平面z=z0(z00)截椭圆抛物面，所得截线方程为,椭圆,以平行于 xz 面的平面 y=y0 截曲面，截线方程为,抛物线,同理，以平行于 yz 面的平面 x=x0 截曲面所得

25、截线是平面 x=x0 上的一条抛物线.,特例：,若p, q均小于0，则椭圆抛物面的开口朝下.,若p= q, 方程变为,它是由 xz 面上曲线,绕 z 轴旋转而成的旋转曲面，称为旋转抛物面.,若p, q均大于0，则椭圆抛物面的开口朝上.,3. 双曲抛物面,4. 单叶双曲面,(a, b, c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为, 椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,5. 双叶双曲面,(a, b, c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方

26、程为, 双曲线,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,椭圆,小结,空间平面,空间直线,一般形式,法点式,截距式,(三元一次方程),Ax+By+Cz+D=0.,交面式,对称式:,参数形式:,两点式:,(一般形式)：,三元一次方程组.,x=x0+mt,y=y0+nt ,z=z0+pt ;,关系,直线间夹角：,平面间夹角：,直线与平面间夹角：,直线在平面上的投影：,过直线的平面束中的,一条垂直于已知平面的平面,与已知平面的交线(交面式),点到直线的距离,点到平面的距离,Ax+By+Cz+D=0,数量积 向量积,平行

27、,相交,垂直,6 实内积空间欧氏空间,一、内积的公理化定义，实内积空间、欧氏空间,定义6.1 设V是实数域R上的线性空间，对V中任两个向量 u, v 确定了一个实数 (u, v). 如果 (u, v) 满足：,(1) 对称性,( u, v ) = ( v, u );,(2) 线性性,( ku, v ) = k( v, u );,( u+ v, w ) = ( u, w ) + ( v, w );,(3) 正定性：( u, v ) 0，等号当且仅当 u = 0 (其中u, v, w V, k R). 则称 (u, v) 是 u 与 v 的内积.,定义了内积的线性空间 V 称为实内积空间， 有限维

28、实内积空间称为欧氏空间 (Euclid space).,例6.1 定义在 a, b 上的实连续函数的全体，对通常函数加法和数乘运算构成实数域上线性空间 C a, b.,验证 (f, g) 是内积。,f(x), g(x) C (a, b)，定义,解：,设 f, g, h C a, b ,(3),当且仅当 f(x) = 0时等号成立，,与 n 维欧氏空间Rn中向量长度定义相同，实内积空间中定义向量 u 长度为,长度为1的向量称为单位向量。,定理6.1 设 V 是一个实内积空间，则对任意的 u, v, V 和 R，有,(1) | u | = | | u | ;,(2) ( u v ) | u | v

29、 | ;,(3) | u+ v | | u | + | v |.,证明与1完全相同。,定义6.3 实内积空间 V 中两个向量之内积( u, v )=0, 则称 u 与 v 正交，记作 u v。,同一元素在不同欧氏空间其长度往往是不一样的。,容易验证，(*)式是内积，,当 = (1, 1)时，,则有,由于,二、标准正交基 度量矩阵,对于欧氏空间 V 的一组基 1, 2, , n , 如果1, 2, , n 是正交向量组，且每个向量 i ( i = 1, 2, , n )都是单位向量，则称 1, 2, , n 是 V 的一组标准正交基。,容易验证 1, sinx, cosx 是两两正交的，,由于,

30、故1, sinx, cosx 不是单位向量，,将其单位化得L(1, sinx, cosx) 的一个标准正交基为,对于 n 维欧氏空间 V 中 n 个线性无关的向量仍可以用施密特(Schmidt)正交化方法将其化成 V 的一组标准正交基。,设 1, 2, , n 是欧氏空间 V 的一组基，向量, 在这组基下的坐标分别为 x = ( x1, x2, , xn )T 和 y = ( y1, y2, , yn )T.,则有,设,则,(5.3),(5.3)式说明要计算内积 (, )，只要算出基向量间的内积，即求出 A = (aij)nn = (i, j)nn , 然后通过 (5.3)式计算矩阵乘法即可。,定义6.4 设欧氏空间的一组基为1, 2, , n .,为欧氏空间V在基 1, 2, , n 下的度量矩阵。,称对称矩阵,显然，当1, 2, , n为 V 的一组标准正交基时，AE，是一个 n 阶单位阵，此时