空间向量-陈肖宇

1、向量空间,向量是线性代数的重点内容之一，也是难点， 对逻辑推理有较高的要求.,本章从研究向量的线性关系(线性组合，线性相 关、无关)出发，然后讨论向量组含最多的线性无关 的向量的个数，即引出向量组的秩和极大无关组， 进而扩展到向量空间的基、维数、坐标等. 最后，应 用向量空间的理论研究线性方程组解的结构.,本章特点：概念多，定理多，结论多，证明多,目录,1,线性相关与线性无关,2,3,向量空间的基,4,5,向量组的秩,线性空间,线性方程组解的结构,1,n维向量的定义与运算,2,第一节线性相关线性无关,线性相关与线性无关,设三个坐标轴上的基本单位向量为,则任一三维向量可表示为,运算：, 加法：,

2、 数乘：,一、n维向量的定义与运算,（一）3维向量,向 量,（一）3维向量,一、n维向量的定义与运算,数域 上全体 n 维向量的集合称为n维向量空间（或数组空间），记为 或 .,任意数域上的 n个有顺序的数 所组成的数组 称为n维向量.,其中数 称为向量 的第j个分量(或坐标).,定义,例如：,向量的分量都是实数时称为实向量，分量中有复数时称为复向量.,（二）n维向量的定义,一、n维向量的定义与运算,分量都是0的向量称为零向量，记作 .,时， 维向量没有直观的几何形象,确定飞机的状态，需要 以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数 P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以

3、，确定飞机的状态，需用6维向量,（三）n维向量的实际意义,一、n维向量的定义与运算,例1,例2,n1次代数多项式,系数向量,线性方程组 Ax=b,其中,一、n维向量的定义与运算,例3,增广矩阵,其中,未知向量,右端向量,一、n维向量的定义与运算,1. 两向量相等,设 中任意2向量,则,一、n维向量的定义与运算,（四）n维向量的运算,2. 行向量、列向量、转置,行向量,列向量,转置,注意：行、列向量在代数上表示不同的向量， 在几何上表示同一个向量.,3. 向量的线性运算,1) 加法,同维,则,一、n维向量的定义与运算,（四）n维向量的运算,设 中任意2向量,2) 数乘,3) 负向量,4) 减法,

4、5) 向量线性运算的运算规律,设 都是n维向量，k,l为数域F中的数,一、n维向量的定义与运算,（四）n维向量的运算,5. 向量的内积,1) 定义：设有数域 中的n维向量 与 ，称,为向量 与 的内积.,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算,有的书上也记作 或 .,4. 向量的乘法,设任意2向量,则规定,2) 运算律, 对称性, 齐次性, 分配性,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算, 非负性, 不等式,证,对任意实数t，由性质有,则,6. 向量范数（模，长度）,1) 定义：任意n维向量 的范数定义为,注：此时之不等式可写为,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算,

5、2) 性质, 非负性,且, 正齐次性, 三角不等式,证,几何解释：三角形两边 之和大于第三边,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算,7. 夹角,设 与 是n维非零向量，则其夹角定义为,8. 正交,若 ，则称向量 与 正交，记作,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算,是单位向量,设 ，单位化向量,则有 且 与 同向.,（四）n维向量的运算,一、n维向量的定义与运算,9. 非零向量单位化, 设 则 可由 线性表示为 .,设 均为 中的n维向量，若 存在一组数 ，使得,1. 线性组合、线性表示,定义,则称 是 的线性组合.,又称 可由 线性表示.,例如,一、n维向量的定义与运算,

6、(五) n维向量的线性组合, 向量组 ，则有,因此， 是 和 的线性组合.,一、n维向量的定义与运算,(五) n维向量的线性组合,2. 线性表示的矩阵形式，与线性方程组的关系,例4,设向量组,(1) 试判断 是否可由 线性表示？ (2) 如果可以的话，求出一个线性表示式.,一、n维向量的定义与运算,(五) n维向量的线性组合,解,可由 线性表示,存在一组数,使得,有解,一、n维向量的定义与运算,(五) n维向量的线性组合,而,取特解,所以， 可由 线性表示为,一、n维向量的定义与运算,(五) n维向量的线性组合,一、n维向量的定义与运算,(五) n维向量的线性组合,判断数组向量 是否可由另一组

7、向量 线性表示的问题 可以转化为判定非齐次线性方程组 是否有解：若有解，则可以；若无解，则不可以.,定义, 若有一组不全为零的数 ，使得,则称向量组 线性相关;, 否则称向量组 线性无关.,设 均为 中的n维向量，,（一）线性相关与线性无关的定义,二、线性相关与线性无关,“否则”,没有一组不全为零的数 ，使得,对任意一组不全为零的数 ，都有,只有当 的时候，才有,使 成立，只有,（一）线性相关与线性无关的定义,二、线性相关与线性无关,特别地： 对单个向量 组成的向量组, 一组同维向量，若包含零向量，则必定线性相关.,（一）线性相关与线性无关的定义,二、线性相关与线性无关,注意：对任意一组向量，

8、不是线性相关就是线性无关.,例5,设 是两两正交的非零向量组， 证明：该向量组线性无关.,设有一组数 ，使得,证,把上式两端同时与 作内积，有,二、线性相关与线性无关,（一）线性相关与线性无关的定义,因为向量组 两两正交，所以,所以,又因为,所以一定有,所以向量组 线性无关.,（一）线性相关与线性无关的定义,二、线性相关与线性无关,证毕,例6,设有一组数 ，使得,解,二、线性相关与线性无关,（一）线性相关与线性无关的定义,即,所以只有当 时上式才成立， 所以此向量组线性无关.,一般地，称向量组 为单位坐标向量组.,二、线性相关与线性无关,（一）线性相关与线性无关的定义,例7,判断向量组 的线性

9、相关性.,解法一,由例4知,即有,而 不全为零， 所以 线性相关.,解法二,设有一组数 ，使得,（二）通过线性方程组的解判断线性相关性,二、线性相关与线性无关,即,比较上式两端向量的对应分量，得到齐次线性方程组,可得一组非零解 ， 所以 线性相关.,二、线性相关与线性无关,（二）通过线性方程组的解判断线性相关性,二、线性相关与线性无关,判断数字向量组 线性相关性的方法：齐次线性方程组 有非零解 线性相关； 只有零解 线性无关.,（二）通过线性方程组的解判断线性相关性,设向量组 线性无关，判断向量组 的线性相关性.,例8,设有一组数 ，使得,解,(因为 线性无关),二、线性相关与线性无关,（二）

10、通过线性方程组的解判断线性相关,此方程组只有零解，即,所以向量组 线性无关.,二、线性相关与线性无关,（二）通过线性方程组的解判断线性相关,若两个非零向量 和 共线， 则,存在不全为零的数 ，使,若 和 不共线，则,只有当 全为0时，才有,若三个非零向量 共面，则其中至少有一 个向量可由另外两个向量线性表示,不妨设,存在不全为零的数 ，使,（三）三维向量线性相关性的几何背景,二、线性相关与线性无关,线性相关,线性无关,线性相关,若 不共面，则任一个向量都不能由另外 两个向量线性表示,只有当 全为0时，才有,（三）三维向量线性相关性的几何背景,二、线性相关与线性无关,线性无关,定理1 （ ）线性

11、相关 中某个向量可由其余 个向量线性表示.,（四）线性相关性判定定理,二、线性相关与线性无关,证毕,设 线性相关, 则 可用 线性表示.,(2) 设 线性相关, 则其中任一个可用其余m-1个线性表示.,(3) 设 线性相关, 则其中有一个可用其余m-1个线性表示.,(4) 设 中,有一个不能用其余m-1个线性表示, 则 线性无关.,.(),(),(),.(),（四）线性相关性判定定理,二、线性相关与线性无关,(5) 设 中,任一个都不能用其余 m-1个线性表示, 则 线性无关.,(6) 若0可用 线性表示, 则 线性相关.,(7) 设 是A的列向量组, 齐次线性方程组 Ax=0, 则 Ax=0

12、 有非零解 线性相关. Ax=0 只有零解 线性无关. 说明: Ax=0 ,.(),(),.(),.(),说明: 此命题为定理1的逆否命题.,（四）线性相关性判定定理,二、线性相关与线性无关,证毕,二、线性相关与线性无关,（四）线性相关性判定定理,定理3 向量组的部分向量线性相关此向量组线性相关.,推论1 含零向量的向量组一定线性相关.,推论2 (定理3的逆否命题) 向量组线性无关 任一部分向量组线性无关.,（四）线性相关性判定定理,二、线性相关与线性无关,证毕,(8) 设 线性相关, 则其中至少有m-1个向量线性相关.,(9) 若 中任意m-1个向量都线性无关, 则此组向量线性无关.,(10) 若向量组线性相关， 则它必有一部分向量线性相关.,. (),.(), (),见(8)之例.此命题为命题(8)的逆否命题，故也错.,定理3的逆命题,不成立.,二、线性相关与线性无关,二、线性相关与线性无关,向量维数：短无关，则长无关； 长相关，则短相关。,向量个数：少相关，则多相关； 多无关，则少无关。,注：逆命题都不成立。,例9,设 线性相关，向量组 线性无关，试讨论：, 能否由 线