高等数学基础

1、高等数学基础第一节 函数极限的定义及分析方法一函数极限的定义 定义1：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数A，就说当趋向时，函数的极限是A，记作。特别地，；。 例题1：判断下列函数的极限： （1）（2） （3） 定义2：当自变量取正值且无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。 当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是A，记作：。也可以记作，当时，。 当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，

2、记作：。也可以记作，当时， 特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极限就是，即。例题2：判断下列函数的极限：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）二无穷小与无穷大 定义1：如果函数f(x)当xx0(或x)时的极限为零，那么称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷小。 当时，等都是无穷小。当时， 等都是无穷小。 定义2：如果当xx0(或x)时，对应的函数值的绝对值f(x)无限增大，就称函数f(x)为当xx0(或x)时的无穷大。 当时， 等都是正无穷大；当时， 是正无穷大等. 定理1：在自变量的同一变化过程中，如果f(

3、x)为无穷大，则1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0，则1f(x)为无穷大。三极限运算法则 定理1：有限个无穷小的和也是无穷小。 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 定理3：对于函数极限有如下的运算法则：如果，那么 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）。当C是常数，n是正整数时： 这些法则对于的情况仍然适用. 例题3：分析下列函数的极限： 例1求 例2求 例3求 分析：当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则，注意函数在定义域内，可以将分子

4、、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限。 例4 求 分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则。如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 例5求 分析：同例4一样，不能直接用法则求极限. 如果分子、分母都除以，就可以运用法则计算了。例6； 例7例8； 例9例10 例11例12 第二节 函数的导数一引论两个典型背景示例 例一：运动物体的瞬时速度 设质点沿轴作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数关系)为，求在时刻的瞬时速度。 解：(1) 求时段到的平均速度： (2) 平均速度的极限是瞬时速度. 即：因此，如果极限：

5、 存在，这个极限值就是质点在时刻的瞬时速度。 例二：曲线的切线斜率： 设曲线由方程确定. 。要求在点的切线斜率。 （1）求区间到的弦的斜率: =;（2）弦斜率的极限是切线的斜率: =； （3）曲线：在点的切线： 斜率等于，切线的方程称为： 二导数的定义 定义1：假设函数在点某邻域有定义，如果极限=存在，则称其值为函数在点的导数, 并说在可导。在点的导数记作或或或函数在点的导数，就是在点函数关于自变量的变化率。运动质点在时刻的瞬时速度是距离对时间的导数。曲线在点切线斜率是函数f对x的导数。三课堂练习： 例1常数函数的导数。 解：由导数定义(注意到)得到所以 .例2和的导数：解：= 同样的方法可以

6、得到 . (注意几何意义)三函数的求导法则: 定理1：若函数、在点都可导，则： 1对于任意常数，函数在点可导，并且. 2函数在点可导，并且 3函数在点可导，并且.4 如果，则在点可导，并且.示例1：f(x)=2x3-5x2+3x-7，求f(x)及f(3)解：f(x)= 6x2-10x+3 f(3)=47 示例2：求、的导数 解：同样可以得到：.定理2：复合函数的导数：如果在点x可导，而在点可导，则复合函数在点x可导，则其导数为：dydx=f ugx 或 dydx=dydududx示例4：y=sin2x1+x2，求dydx。解：dydx=2（1-x2）（1+x2）2cos2x1+x2四基本导数公

7、式1(为常数)23；456789101112131415(sint)= cost16cost=- sint五课堂练习： 例1 设，计算 解： 例2 设,计算 解：=若, 怎么办？五高阶导数 对变速直线运动而言，其速度v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即：v=dsdt 或 v=s 同时，加速度a又是速度v对时间t的变化率，即速度v对时间t的导数：a=dvdt=ddtdsdt 或 a=s 这种导数的导数ddtdsdt或s叫做s对t的二阶导数，记作：d2sdt2 或 s(t)一般的，函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数，我们把y=f(x)的导数叫做y=f(x)的二阶导数，记作y或

8、d2ydx2。相应的，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，n-1阶导数的导数叫做n阶导数。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。示例：例4y=ax+b，求y解：y=a，y=0。例5s=sint，求s解：s=cost，s=-2sint例6y=2x-x2，求y解：y=122-2x2x-x2=1-x2x-x2y=-2x-x212-1-x2x-x2-322x-x2y=-2x-x212-1-x2-2x22x-x212（2x-x2）y=-2x+x2-1-x2（2x-x2）2x-x212=1（2x-x2）32第三节 函数的微分一引论 设质点作直线运动，若己知其运动规律(即路程与时间的函数

9、关系)为，求在到()时间内质点的位移。 s=s(x)tt0sst=limt0st0-s(t0+t)t=s=t 上述情况下，称函数在点t0可微，并称dt为函数在点t0处的微分。导数是从函数对自变量变化的快慢来研究； 而微分则是直接研究函数的增量。二函数微分的定义 定义1：设在点的增量可表示成：=则称函数在点可微。线性函数称为函数在点的微分。记作：dy。通常把自变量x的增量x称为自变量的微分，记作dx。即：=，或者=dy=fxdx三 基本初等函数微分公式 1基本初等函数微分公式1.(为常数)2.3.;4.5.6. 7. 8. 9.10.11. 12. 13. 14. 2函数和、差、积、商的微分法则

10、四微分在近似计算中的应用1分析：如果y=f（x）在点x0处的导数f(x)0，且x很小时，我们有：ydy=f(x0)x上式可改为：y=fx0+x-fx0f(x0)x或：fx0+xfx0+f(x0)x上式中，令x=x0+x，即：x=x-x0，则上式可改写为：fxfx0+fx0x-x0 取x0=0，则得：fxf0+f0x2常用的近似公式（x取极小值时）：(1)n1+x1+1nx(2)sinxx(x用弧度作单位表达)(3)tanxx(x用弧度作单位表达)(4)cosxx(x用弧度作单位表达)(5)ex1+x(6)ln(1+x)x示例：例1计算sin3030解：sin3030=sin(6+360)0.5

11、076例2计算1.05解：1.051+120.05=1.025第四节 不定积分一不定积分的概念和性质 1原函数 （一） 原函数概念 定义1:如果在某区间上恒有，则称是在区间上的一个原函数。 例如： 在区间，是的一个原函数； 在区间，是的一个原函数； 在区间，是的一个原函数；也是的一个原函数等等； （二） 原函数的性质都是在区间上的原函数，则存在常数，使得。或者说，同一函数的两个原函之间只差一个常数。 重要结论： 若在区间上存在原函数，则在区间上的所有原函数都可以写成的形式。2 不定积分：（一）不定积分的定义：定义2：在区间I上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分。记作：其

12、中，记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量。由定义可知，如果F(x) 是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即：示例: 例1求解：由于x33=x2，所以x33是x2的一个原函数，因此： 求不定积分是求微分的逆运算，因此任何一个微分公式，反过来就是一个求不定积分的公式。（二）基本积分表： 以下是基本初等函数微分公式变来的，称为基本积分表.(1) (2) (3) ()(4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ()(13) (14) (15) （16）（17）（18）（19） ( );（20） ( );（2

13、1） ( );（22） （23）（24）（三）不定积分的性质：性质一: 求不定积分是求导数微分的逆运算：即（1） 若有原函数则：，. （2）若 ，可导，且导函数连续，则：, 性质二：(不定积分运算的线性性) 若有原函数，则： （1）（2）若，则 示例： 例2： 求不定积分 解：= 例3：求不定积分 解：利用三角恒等式得到. 例4： 求不定积分 解：=（x0,sgnx=1，x=0,sgnx= 0，xb时，2（k为常数）3 4若，则对于任意常数，有： ; 性质二：区间的可加性 若,，则,，则：; 性质三：积分的不等式性质 设,若，则：. 推论1：设, 若, 则 推论2：设但不恒为零,则, 则. (

14、) 推论3：设,则,并且. 五牛顿莱布尼茨公式 定理1：( 牛顿莱布尼茨公式) 设，是在上的一个原函数，则有：.这就是Newton-Leibniz公式，又称微积分基本公式。 该公式又可写为： 示例： 例3：计算定积分 解：因为在区间是被积函数一个原函数，根据牛顿莱布尼茨公式得到：. 最好与不定积分求原函数结合起来：=例5： 计算 解： .七定积分在物理上的应用1变力作功问题 质量为的物体, 在外力的作用 (外力的方向与轴的夹角为)下，沿轴在从位移到，求外力所作的功。F(x) x . 例11在质量为的质点引力作用下，质量为质点从a点运动到b点所作的功？ 解： , 例13动能定理的推导： ,= 例14动量定理的推导： y h F(x) 0 x x+dx x dx l 2物体间引力问题 例14求线密度为的杆(杆长为) 对单位质量质点的引力。 , = =第六节 偏导一偏导数的定义及其计算法 1偏导数的定义：定义1：设函数z=f(x,y)在点（x0，y0）的某一领域内有定义，当y固定在y0，而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量：fx0，+x，y0-f(x0，y0)如果limx0fx0，+x，y0-f(x0，y0)x存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点（x0，y0）处对x的偏导数，记作：，或fx(x0，y0)类似的，可以定义函数