九年级数学竞赛专题讲（寒假用）

1、九年级数学竞赛专题讲座 -二次函数的图像与性质 一、内容概述 二次函数有丰富的内容，下面从四个方面加以总结 1定义： 形如函数称为二次函数，对实际问题二次函数也有定义域. 2 (0)yaxbxc a 2图像 二次函数的图像为抛物线，一般作二次函数图像，取五个点，先确定顶点的横坐标，再以它为中心向 左、向右对称取点. 3性质 对的图像来讲， 2 (0)yaxbxc a （1）开口方向：当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下。0a 0a （2）对称轴方程： 2 b x a （3）顶点坐标： 2 4 , 24 bacb aa （4）抛物线与坐标轴的交点情况： 若，则抛物线与轴没有交点；若，则抛物

2、线与轴有一个交点； 2 40bacx 2 40bacx 若，则抛物线与轴有两个交点，分别为，； 2 40bacx 2 4 (,0) 2 bbac a 2 4 (,0) 2 bbac a 另外，抛物线与轴的交点为.y0,c （5）抛物线在轴上截出的距离为：x 22 bb aaa （6）与的增减关系：yx 当，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小；0a 2 b x a yx 2 b x a yx 当，时，随的增大而减小，时，随的增大而增大.0a 2 b x a yx 2 b x a yx （7）最值： 当时，有最小值，当时，；0a y 2 b x a 2 4 4 acb y a 最小值 当时，有

3、最大值，当时，0a y 2 b x a 2 4 4 acb y a 最大值 （8）若抛物线与轴两交点的横坐标为、（） ，则：x 1 x 2 x 12 xx 当时，时，；时，；0a 12 xxx0y 12 xxxx或0y 当时，时，；时，.0a 12 xxx0y 12 xxxx或0y 4求解析式 抛物线的解析式常用的有三种形式： （1）一般式： 2 (0)yaxbxc a （2）顶点式：，其中是抛物线的顶点坐标。 2 ()(0)ya xhk a( , )h k （3）交点式：，交点式只在抛物线与轴有交点时才用到，式中、 12 ()()(0)ya xxxxax 1 x 是抛物线与轴交点的横坐标。

4、2 xx 解题时，视情况和需要，一般选用这三种形式中的一种或两种就可以了。 二、例题解析 例例 1 1 设抛物线为，根据下列各条件，求的值。 2 1yxkxkk （1）抛物线的顶点在轴上；x （2）抛物线的顶点在轴上；y （3）抛物线的顶点；1, 2 （4）抛物线经过原点； （5）当时，有最小值；1x y （6）的最小值为.y1 解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）或2k 0k 1k 1k 2k 0k 4k 例例 2 2 设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，且直线与轴交点的ykxb 2 yax 1 x 2 xx 横坐标为，求证：. 3 x 123 111 xxx 解：由题意

5、得和为方程的两个根，即， 1 x 2 x 2 kxbax 2 0axkxb ， 12 k xx a 12 b x x a 12 1212 11xxk xxx xb 直线与轴交点的横坐标为： x 3 k x b 3 1b xk 123 111 xxx 例例 3 二次函数，当时，有最大值 25，而方程的两根、 2 yaxbxc 1 2 x 2 0axbxc ，满足，求、。 33 19abc 解：设二次函数， 2 ()(0)ya xhk a 当时，有最大值 25，即：顶点为 1 2 x 1 ,25 2 22 11 ()2525 24 ya xaxaxa 由已知得：的两根为、，满足 2 1 250 4

6、 axaxa 33 19 2 () ()319 根据两根之和与两根之积的关系解得4a ，即，. 2 4424yxx 4a 4b 24c 例例 4 证明：无论取任何实数值时，抛物线是通过一个定点，而且这些a 2 11 (1) 24 yxaxa 抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上。 证明： 222 111111 (1)()()() 244222 yxaxaxxa xxa x 当时， 1 2 x 1 ()0,0 2 a xy 即无论取任何实数时，已知抛物线总通过点 Ma 1 ,0 2 又 2 22 1111 (1) 2424 a yxaxaxa 故抛物线的顶点坐标为 2 11 , 24 a a 即，

7、消去得， 2 1 2 1 4 a x ya a 2 1 () 2 yx 这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上. 例例 5 已知抛物线过两点，若抛物线在轴上截得的线段最短 2 (0)yaxbxc a 0,4 , 2, 2x 时，求这时的抛物线解析式。 解：抛物线过两点，代入解析式得 0,4 , 2, 223,4bac 所以 22 (23)4yaxbxcaxax 此抛物线在轴上截得的线段长可表示为x 2 2 2316 49 4(0) aa a aaa 当，即时，抛物线在轴上截得的线段最短，将代入，得 142 2 99a 9 2 a x 9 2 a 23ba 抛物线的解析式是

8、12b 2 9 124 2 yxx 例例 6 如果二次函数的图像的顶点坐标是，且直线依次与轴和抛物 2 yaxbxc2,44yxy 线相交于 P、Q、R 三点，PQ:QR=1:3，求这个二次函数解析式。 解：图像的顶点坐标是，所以可设 （1）2,4 2 (2)4ya x P 点的坐标是，设 Q、R 点的坐标为和，则，0,4 11 ,x y 22 ,xy 11 4yx 22 4yx ， 2222 11111 (0)(4)2PQxyxxx 22 222 (0)(4)2PRxyx PQ:QR=1:3 且 P 在 QR 之处，PQ:PR=PQ :（PQ+QR）1:4 即:=1:4, =4 （2） 1

9、2 x 2 2 x 2 x 1 x 又是抛物线与直线交点的横坐标 12 ,x x 22 (2)44,4(41)40a xxaxaxa 2 41 (4)0 a a xx a 由韦达定理，得 由（3）得，同号，再由（2） ，得 12 12 4 41 xx a xx a 12 ,x x 21 4xx ，从（4）得或或 12 1,4xx 1a 1 9 a 2 48yxx 2 1432 999 yxx 例例 7 已知：抛物线交轴于点 A、B，交轴于点 C，又ACB=90, 2 yxpxq xy tanCAOtanCBO2. （1）求抛物线的解析式。 （2）设平行于轴的直线交抛物线于点 M、N，是否存在以

10、 MN 为直径且与轴相切的圆？如果不存xx 在，说明理由；如果存在，求出圆的半径。 分析：（1）欲求抛物线的解析式，即求 p、q 的值，一方面，p、q 与方程的两根有联 2 0 xpxq 系，另一方面 q 等于线段 OC 的长，而,且、又是方程的两根 2 OCOA OBOAOB 2 0 xpxq 的绝对值，这就使 p 与 q 能建立联系，从中求出 p、q； （3 ） （4 ） （2）本例是存在型问题，如果存在满足题设条件的圆，从图形直观看出；圆心必定在抛物线的对称 轴上，且半径是圆心的纵坐标的绝对值。 解 （1）设 A、B 两点的横坐标分别为，则是方程的两个根，且 12 ,x x 12 ,x

11、x 2 0 xpxq ， 12 0 xx 12 xxp 12 0 x xq 在 RtABC 中，OC 为斜边 AB 上的高， 2 12 OCOA OBx xq 又 22 OCq 2 qq 因为抛物线不经过原点，0,1qq故 由三角函数的定义和，易得： 12 0 xx tanCAO tanCBO 1 1OC AOx 2 1OC BOx 由题设，得，则 12 1212 11 2 xx xxx x 1212 2xxx x p2 1212 ,1xxp x xq 故抛物线得解析式为 2 21yxx （2）设点 M、N 的坐标为，则是方程，即 34 ,x rx r 34 ,x x 2 21rxx 的两个根

12、。 2 210 xxr 3434 2,1xxx xr 2 343434 ()444(1)2 2MNxxxxx xrr 圆与轴相切（假设圆存在） ，即 x 1 2 MNr2rr 解方程得： 所求圆的半径为 1 或 2. 12 12rr 或 说明：本例是代数、三角、几何的综合题，涉及二次函数、方程、三角函数和 Rt等多方面的知识. 训练题 1二次函数图像抛物线的顶点坐标是_，对称轴方程_，与轴(2)(21)yxxx 交点坐标_，与轴交点坐标_；当_时，的最_值等于yxy _，当_时，随增大而减小；当_时，；当_时，。xyx0y 0y 2函数是的二次函数，且抛物线开口向下，则_。 2 233 (2)

13、 mm ymx xm 3若的图像与轴两个交点间的距离为 4，图像经过点，则此二次函数的解析 2 yxbxcx2, 3 式为_。 4把抛物线向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，就得 2 1 (2)1 2 yx 到抛物线_。 5已知二次函数的图像如右图，则下列 6 个代数式： 2 yaxbxc ，中，其值为正的式子的个数为_个。,ab ac abc abc2ab2ab 6如下图，函数的图像（实线部分）大致形状是 （ ） 2 1yxx C ABOx y 1O y x x y B x y C x y D x y A 7如下图，已知函数和，那么它们的图像可以是（ ）yaxb 2 (0)yaxb

14、xc a 8已知：二次函数 2 (21)(53)35ymxmxm （1）为何值时，此抛物线必与轴相交于两个不同的点；mx （2）为何值时，这两个交点再原点的左右两边；m （3）为何值时，此抛物线的对称轴是轴；my （4）为何值时，这个二次函数有最大值.m 5 4 9已知：二次函数的图像与轴有两个交点 A、B，顶点为 C，若ABC 的面积为 22 24yxmxmx ，求的值。4 2m 10已知抛物线经过点 A，对称轴方程是，顶点为 B，直线 2 (0)yaxbxc a1,03x 经过 A、B 两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为 2，求一次函数和二次函数ykxmykxm 的解析式。 2 yaxb

15、xc 11抛物线的图像如图所示： 2 (0)yaxbxc a （1）判断的符号； 2 , , ,4a b c bac （2）当时，求满足的关系。OAOB, ,a b c 12如图，顶点坐标为的抛物线交轴于点 A1,9x 、B 两点，交轴于点，过 A、B、C 三点的2,0yC 交轴于另一点 D，交抛物线于另一点 P，过原点 O 且Oy 垂直于 AD 的直线交 AD 于点 H，交 BC 于点 G。 （1）求抛物线的解析式和点 G 的坐标； （2）设直线交抛物线于点 E，交直线 OG 于点 F，xm 是否存在实数 m，使 G、P、E、F 为一个平行四边形的四个 顶点？如果存在，求出 m 的所有值；如

16、果不存在，请说明理 由。 x A O y D O y x C O y x B O y x B A CO y x -2 14.54x y A B C D H P O G -二次函数的最值问题 一、内容概述 对二次函数，若自变量为任意实数，则取最值情况为： 2 (0)yaxbxc a （1）当时，0, 2 b ax a 2 4 4 acb y a 最小值 （2）当时， 0, 2 b ax a 2 4 4 acb y a 最大值 若自变量的取值范围为，则取最值分和两种情况，由、与xx 0a 0a 的大小关系确定。 2 b a 1对于：0a （1）当，因为对称轴左侧随的增大而减小，所以的最大值为，最小

17、值为 2 b a yxy( )y 。这里、分别是在与时的函数值。( )y( )y( )yyxx （2）当，因为对称轴右侧随的增大而增大，所以的最大值为，最小值为 2 b a yxy( )y 。( )y （3）当，的最大值为、 中较大者，的最小值为. 2 b a y( )y( )yy() 2 b y a 2对于0a （1）当，的最大值为，最小值为。 2 b a y( )y( )y （2）当，的最大值为，最小值为。 2 b a y( )y( )y （3）当，的最小值为、 中较大者，的最大值为. 2 b a y( )y( )yy() 2 b y a 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：

18、、( )y( )y() 2 b y a 二、例题解析二、例题解析 例例 1 已知是方程的两个实数根，求的最大值和最小 12 ,x x 22 (2)(35)0 xkxkk 22 12 xx 值。 解：由于题给出的二次方程有实根，所以，解得0 4 4 3 k y 22 12 xx 2 1212 ()2xxx x 2 106kk 函数在随着的增大而减小y 4 4 3 k k 当时，；当时，4k 8y 最大值 4 3 k 50 9 y 最小值 例例 2 （1）求函数在区间中的最大值和最小值。 2 43yxx25x （2）已知：，且，求的最小值。1y 21xy 22 2163xxy 解 （1）若则 2

19、40,2,xx即 2 34yxx 2 325 () 24 yx 若则 2 40,2,xx即 2 34yxx 2 325 () 24 yx 由此在画出草图25x （） ，当时，；当时， 2 325 () 24 yx25x5x 6y 最大值 2x 6y 最小值 对（） ，当时，；时， 2 325 () 24 yx 22x 3 2 x 25 4 y 最大值 2x 6y 最小值 综上所述，时，；当时，.2x 6y 最小值 3 2 x 25 4 y 最大值 （2）由得，21xy 1 2 y x 1 2yx 由 得 故1y 11x 01x 2222 119 2163144314() 77 zxxyxxx

20、为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在的范围内，z 1 7 x 19 7 1 7 x 01x 因此不是所求的最值。 又时，；时，0 x 3z 1x 21z 所求的最小值为 3 例例 3 有两条抛物线，通过点且平行于轴的直线，分别交这两条抛 22 3 ,9yxx yx ( ,0)P ty 物线于点 A 和 B，当 在 0 到 3 的范围内变化时，求线段 AB 的最大值。t 解：A 和 B 的纵坐标分别为， 22 3 ,9ttt AB 2222 381 (9)(3 )2392() 48 tttttt 当时，线段取得最大值 3 4 t AB 81 8 例例 4 4 已知二次函数有最大值3

21、，求实数的值。 22 962yxaxaa 11 () 33 xa 分析：本题是关于二次函数最值的“逆向问题” ，由题设知，二次函数的 22 962yxaxaa 对称轴是，而的取值范围是，所以要对是否在的取值范围内讨论求解。 3 a x x 11 33 x 3 a x 解：（1）若，即，抛物线开口向下，当时， 11 333 a 11a 3 a x 2ya 最大值 二次函数最大值，即与矛盾，舍去。3 3 2 a 11a （2）若 1 ,1 33 a a 即 当时，随增大而减小，当时， 11 33 xyx 1 3 x 2 41yaa 最大值 由 又， 2 413,26aaa 解得1a 26a （3）

22、若 当时，随增大而增大，当时， 1 ,1 33 a a 即 11 33 xyx 1 3 x ， 2 1ya 最大值 由 2 13,2aa 解得 又，1a 2a 综上所述，或26a 2a 例例 5 在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数的图像 2 9 10105 xx y 上找出满足的所有整点，并说明理由。yx, x y 解：，即yx 2 18 10 xx x 2 1810 xxx 当时，式即为，解得0 x 2 1810 xxx29x 此时，满足条件的点有 2,2 , 4,3 , 7,6 , 9,9 当时，解得0 x 2 1810 xxx 63x 此时满足条件的点有 6,

23、6 ,3,3 综上所述，满足条件的整点，共有 6 个。 例例 6 求分式的最小值 2 2 365 1 1 2 xx xx 解：令，问题转化为考虑函数的最小值。 2 2 2 3652 6 1 22 1 2 xx y xx xx 2 22zxx 当时， 22 22(1)1zxxx1x min 1z min 4y 例例 7 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1.试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积。 解：设矩形 PNDM 的边 DN=,NP=，于是矩形 PNDM 的面积，xySxy24x 易知 CN, EM，且有,即4x4y

24、 NPBCBF CNAF 31 42 y x 所以，, 1 5 2 yx 2 1 5 2 Sxyxx 24x 所有根据二次函数的性质可得当时4x max 12S 二次函数的最值问题训练题 1填空 （1）已知函数，当_时，取最大值是_；当 2 11 (03) 22 yxxx x y _时，取最小值是_.x y （2）已知抛物线的开口向上，对称轴是直线，当 2 (0)yaxbxc a2x ，对应的值分别是、，则、的大小关系是_. 123 0,3,3xxxy 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y （3）函数的最大值与最小值分别是_. 2 24(04)yxxx （4）已知二次函数（）的最大值

25、是 3，那么的值为_. 2 2yxxa01xa 2设为正整数，则函数的最小值是多少？x 2 1 yxx x 3已知：，函数的最小值为，试求的最大值。01x 2 2 a yxaxmm 例 7 4对于任意实数，不等式恒成立，求的取值范围。x 2 10kxkx k 5如图，半径为 1 的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求： （1）它的周长与腰长之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围。yxx （2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？ 6已知实数、满足等式，求：的最大值和最小值。ab 2 2 23ab b a 7已知：方程，两根为、，求的最大值与最小值，并 22 2(1)2121

26、70 xkxkk 1 x 2 x 22 12 xx 求此时方程的根。 8根据某服装店统计，服装价格每提高 3，出售服装的件数就要降低 2，设某种服装提价 x%，结果 每天的经营收入（价格出售价数）为原来的 y 倍， （1）写出 y 与 x 的函数关系； （2）要使经营收入不降低，x 应控制在什么范围内？ （3）当 x 是什么值时，能使经营收入最多？ 9求函数的最值。 2 2 21 21 xax y xbx 圆的基本性质圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进 程中打下深深的烙印 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦

27、、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是 圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形用圆的基本性质解题应注意： 1熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2了解弧的特性及中介作用； 3善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解例题求解】 【例 1】在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 的长分别为和，则BAC 度数为 32 思路点拨思路点拨作出辅助线，解直角三角形，注意 AB 与 AC 有不同的位置关系 注注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与 AB O DC x 圆弧的关系，应用的一般方法是构造直

28、角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性 【例 2】 如图，用 3 个边长为 1 的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A B C D2 2 5 4 5 16 175 思路点拨思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点， 通过设未知数求解 【例 3】 如图，已知点 A、B、C、D 顺次在O 上，BMAC 于 M，求 AA ABBD AM=DC+CM 思路点拨思路点拨 用截长(截 AM)或补短(延长 DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使 不同量的相互

29、转换并突破它 【例 4】 如图甲，O 的直径为 AB，过半径 OA 的中点 G 作弦 C EAB，在 CB 上取一点 D， 分别作直线 CD、ED，交直线 AB 于点 F，M (1)求COA 和FDM 的度数； (2)求证：FDMCOM； (3)如图乙，若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一点，点 D 改取在 EB 上，仍作直线 CD、ED，分别交直 线 AB 于点 F、M，试判断：此时是否有FDM COM? 证明你的结论 思路点拨思路点拨 (1)在 RtCOG 中，利用 OG=OA=OC； 2 1 2 1 (2)证明COM=FDM，CMO=FMD； (3)利用图甲的启示思考 注注：善于促成

30、同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与 直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线 形的知识与方法(主要是指全等与相似) 【例 5】 已知：在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，以 C 为圆心，CD 为半径的半圆交 BC 的延长线 于点 E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且 B=CAE，EF：FD4：3 (1)求证：AFDF； (2)求AED 的余弦值； (3)如果 BD10，求ABC 的面积 思路点拨思路点拨 (1)证明ADEDAE；(2)作 ANBE 于 N，cosAED，设 FE=4x，FD3

31、x，利 AE EN 用有关知识把相关线段用 x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出 x 的值 注注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综 合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键 学历训练学历训练 A 组组 1D 是半径为 5cm 的O 内一点，且 OD3cm，则过点 D 的所有弦中，最小弦 AB= 2阅读下面材料： 对于平面图形 A，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径， 则称图形 A 被这个圆所覆盖 对于平面图形 A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆

32、的圆心的距 离都不大于这个圆的半径，则称图形 A 被这些圆所覆盖 例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖 回答下列问题： (1)边长为 lcm 的正方形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm； (2)边长为 lcm 的等边三角形被一个半径为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm； (3)长为 2cm，宽为 lcm 的矩形被两个半径都为 r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm 3世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆：它们看上去多 么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性 (1)请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，

33、是中心对称图形的有 . (分别用下面三个图的代号 a，b，c 填空) (2)请你在下面的两个圆中，按要求分别画出与上面图案不重复的图案(草图) (用尺规画或徒手画均可， 但要尽可能准确些，美观些) a是轴对称图形但不是中心对称图形 b既是轴对称图形又是中心对称图形 4如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若 AB=10cm，CD8cm，那么 A、B 两点到直线 CD 的距离之 和为( ) A12cm B10cm C 8cm D6cm 5一种花边是由如图的弓形组成的，ACB 的半径为 5，弦 AB8，则弓形的高 CD 为( ) A2 B C3 D 2 5 3 16 6如图，在三个等圆上各自有一条

34、劣弧 AB、CD、EF，如果 AB+CD=EF，那么 AB+CD 与 E 的大小关 系是（ ） AAB+CDEF BAB+CD=F C AB+CDAC，D 为的中点，DEAB 于 E. A BAC 求证：BD2-AD2=ABAC 17将三块边长均为 l0cm 的正方形煎饼不重叠地平放在圆碟内，则圆碟的直径至少是多少?(不考虑其他 因素，精确到 01cm) 18如图，直径为 13 的O，经过原点 O，并且与轴、轴分别交于 A、B 两点，线段xy OA、OB(OAOB)的长分别是方程的两根060 2 kxx (1)求线段 OA、OB 的长； (2)已知点 C 在劣弧上，连结 BC 交 OA 于 D

35、，当 OC2=CDCB 时，求 C 点坐标； A OA (3)在O，上是否存在点 P，使 SPOD=SABD?若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由 转化灵活的圆中角转化灵活的圆中角 角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及 角，而圆的特征，赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化 根据圆心角与圆周角的倍半关系，可实现圆心角与圆周角的转化；由同弧或等弧所对的圆周角相等， 可将圆周角在大小不变的情况下，改变顶点在圆上的位置进行探索；由圆内接四边形的对角互补和外角 等于内对角，可将与圆有关的角互相联系起来 熟悉以下基本图形、基本结论 注注：根据

36、顶点、角的两边与圆的位置关系，我们定义了圆心角与圆周角，类似地，当角的顶点在圆 外或圆内，我们可以定义圆外角与圆内角，这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?读者可自行 作一番探讨 【例题求解例题求解】 【例 1】 如图，直线 AB 与O 相交于 A，B 再点，点 O 在 AB 上，点 C 在O 上， 且AOC40，点 E 是直线 AB 上一个动点(与点 O 不重合)，直线 EC 交O 于另 一点 D，则使 DE=DO 的点正共有 个 思路点拨思路点拨 在直线 AB 上使 DE=DO 的动点 E 与O 有怎样的位置关系? 分点 E 在 AB 上(E 在O 内)、在 BA 或 AB 的延长线

37、上(E 点在O 外)三种情况考虑，通过角度的计算， 确定 E 点位置、存在的个数 注注： 弧是联系与圆有关的角的中介， “由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本 方法 【例 2】 如图，已知ABC 为等腰直角三形，D 为斜边 BC 的中点，经过点 A、D 的O 与边 AB、AC、BC 分别相交于点 E、F、M，对于如下五个结论： FMC=45； AE+AFAB；2BM2=BFBA； BC BA EF ED 四边形 AEMF 为矩形其中正确结论的个数是( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 思路点拨思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一

38、验证 注注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件， 作深入的探究，方能作出小正确的选择 【例 3】 如图，已知四边形 ABCD 外接O 的半径为 5，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，且 AB2=AEAC，BD8，求ABD 的面积 思路点拨思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得 A 为弧 BD 中点，这是解本例的关键 （例 3 图） （例 4 图） 【例 4】 如图，已知 AB 是O 的直径，C 是O 上的一点，连结 AC，过点 C 作直线 CDAB 于 D(ADDB)，点 E 是 AB 上任意一点(点 D、B 除外)，直线 CE

39、交O 于点 F，连结 AF 与直线 CD 交于点 G (1)求证：AC2=AGAF； (2)若点 E 是 AD(点 A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立请画出图形并给予证明； 若不成立，请说明理由 思路点拨思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明ACGAFC； （2）判断上述结论在 E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键 注注：构造直径上 90的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似 三角形的判定创造了条件 【例 5】 如图，圆内接六边形 ABCDEF 满足 AB=CD=EF，且对角线 AD、BE、CF 相交于一点 Q，设 AD 与 CF

40、的交点为 P 求证：（1）；(2) EC AC ED QD 2 2 CE AC PE CP 思路点拨思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形 (1) 证明QDEACF；(2)易证，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化 DE QC PE CP 为常规问题的证明 注注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运 用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定； (2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定 学历训练学历训练 A 组组 1一条弦把圆分成 2：3 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数

41、为 2如图，AB 是O 的直径，C、D、E 都是O 上的一点，则1+2= 3如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB，F 是 CG 的中点，延长 AF 交O 于 E，CF=2，AF=3，则 EF 的长为 4如图，已知ABC 内接于O，AB+AC=12，ADBC 于 D，AD3，设O 的半径为，AB 的长y 为，用的代数式表示，= xxyy 5如图，ABCD 是O 的内接四边形，延长 BC 到 E，已知BCD：ECD3：2，那么BOD 等于( ) A120 B136 C144 D150 6如图，O 中，弦 ADBC，DA=DC，AOC=160，则BOC 等于( ) A20 B30 C40 D50

42、7如图，BC 为半圆 O 的直径，A、D 为半圆 O 上两点，AB=，BC=2，则D 的度数为( )3 A60 B 120 C 135 D150 8如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，点 P 是弧 AC 上一点(点 P 不与 A、C 两点重合)，连结 PC、PD、PA、AD，点 E 在 AP 的延长线上，PD 与 AB 交于点 F给出下列四个结论： CH2=AHBH；AD2=DFDP； EPC=APD，其中正确的个数是( ) AA ADAC A1 B2 C3 D4 9如图，已知 B 正是ABC 的外接圆 O 的直径，CD 是ABC 的高 (1)求证：ACBC=BECD； (2)已知 CD=

43、6，AD=3，BD=8，求O 的直径 BE 的长 10如图，已知 AD 是ABC 外角EAC 的平分线，交 BC 的延长线于点 D，延长 DA 交ABC 的外接圆于点 F，连结 FB，FC (1)求证：FB=FC； (2)求证：FB2=FAFD； (3)若 AB 是ABC 的外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求 AD 的长 B 组组 11如图，B、C 是线段 AD 的两个三等分点，P 是以 BC 为直径的圆周上的任意一点(B、C 点除外)，则 tanAPBtanCPD= 12如图，在圆内接四边形 ABCD 中，AB=AD，BAD=60，AC=，则四边形 ABCD 的面积为 a 13如

44、图，圆内接四边形 ABCD 中，A60，B90，AD=3，CD=2，则 BC= 14如图，AB 是半圆的直径，D 是 AC 的中点，B=40，则A 等于( ) A60 B50 C80 D70 15如图，已知 ABCD 是一个以 AD 为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长 AB 和 DC，它们 相交于 P，若APD=60，则O 的面积为( ) A25 B16 C15 D13 16如图，AD 是 RtABC 的斜边 BC 上的高，AB=AC，过 A、D 两点的圆与 AB、AC 分别相交于点 E、F，弦 EF 与 AD 相交于点 G，则图中与GDE 相似的三角形的个数为( ) A5 B

45、4 C3 D2 17如图，已知四边形 ABCD 外接圆O 的半径为 2，对角线 AC 与 BD 的交点为 E，AE=EC，AB=AE，且 BD=，求四边形 ABCD 的面积 232 18如图，已知 ABCD 为O 的内接四边形，E 是 BD 上的一点，且有BAE=DAC 求证：(1)ABEACD；(2)ABDC+ADB CACBD 19如图，已知 P 是O 直径 AB 延长线上的一点，直线 PCD 交O 于 C、D 两点，弦 DFAB 于点 H，CF 交 AB 于点 E (1)求证：PAPB=POPE；(2)若 DECF，P=15，O 的半径为 2，求弦 CF 的长 20如图，ABC 内接于O

46、，BC=4，SABC=，B 为锐角，且关于的方程36x 有两个相等的实数根，D 是劣弧上任一点(点 D 不与点 A、C 重合)，DE 平分 2 4 cos10 xxB A AC ADC，交O 于点 E，交 AC 于点 F (1)求B 的度数； (2)求 CE 的长； (3)求证：DA、DC 的长是方程的两个实数根0 2 DFDEyDEy 第二十讲第二十讲 直线与圆直线与圆 直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，既可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心 到直线的距离与圆的半径的大小比较来考察 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切，直线与圆相切涉及切线的性质和判定、切线长定 理、弦切

47、角的概念和性质、切割线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论： 图图 1 注注： 点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系的确定有共同的精确判定方法，即量化的方法(距离与 半径的比较)，我们称“由数定形” ，勾股定理的逆定理也具有这一特点 【例题求解例题求解】 【例 1】 如图 1，AB 是半圆 O 的直径，CB 切O 于 B，CD 切O 于 D，交 BA 的延长线于 E，若 EA=1，ED=2，则 BC 的长为 思路点拨思路点拨 从 C 点看，可用切线长定理，从 E 点看，可用切割线定理，而连 OD，则 ODEC，又 有相似三角形，先求出O 的半径 注：连结圆心与切点是一条

48、常用的辅助线，利用切线的性质可构造出直角三角形，在圆的证明与计 算中有广泛的应用 【例 2】 如图，AB、AC 与O 相切于 B、C，A=50，点 P 是圆上异于 B、C 的一个动点，则 BPC 的度数是( ) A65 B115 C60和 115 D130和 50 思路点拨思路点拨 略 【例 3】 如图 3，以等腰ABC 的一腰 AB 为直径的O 交 BC 于 D，过 D 作 DEAC 于 E，可得结论： DE 是O 的切线 问：(1)若点 O 在 AB 上向点 B 移动，以 O 为圆心，OB 为半径的圆的交 BC 于 D，DEAC 的条件 不变，那么上述结论是否还成立?请说明理由； (2)如

49、果 AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心 O 在 AB 的什么位置时，O 与 AC 相切? 5 3 思路点拨思路点拨 (1)是结论探索题，(2)是条件探索题，从切线的判定方法和性质入手，分别画图，方能求 解 图 3 图 4 【例 4】 如图 4，已知 RtABC 中，AC=5，BC=12，ACB=90，P 是 AB 边上的动点(与点 A、B 不 重合)，Q 是 BC 边上的动点(与点 B、C 不重合) (1)当 PQAC，且 Q 为 BC 的中点时，求线段 PC 的长； (2)当 PQ 与 AC 不平行时，CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能，求出线段 CQ 的长的取值范围； 若不可能，请

50、说明理由 思路点拨思路点拨 对于(2)，易发现只有点 P 能作为直角顶点，建立一个研究的模型以 CQ 为直径的圆 与线段 AB 的交点就是符合要求的点 P，从直线与圆相切特殊位置入手，以此确定 CQ 的取值范围 注：判定一直线为圆的切线是平面几何中一种常见问题，判定的基本方法有： (1)从直线与圆交点个数入手；(2)利用角证明，即证明半径和直线垂直； (3)运用线段证明，即证明圆心到直线的距离等于半径 一个圆的问题，从不同的条件出发，可有不同的添辅助线方式，进而可得不同的证法，对于分层次 设问的问题，需整体考虑； 【例 5】如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，是以点 B 为圆心，AB 长为

51、半径的圆的一段弧，点 E 是边 AC AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点 AC （1）当DEF=45时，求证点 G 为线段 EF 的中点； （2）设 AE=x，FC=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围； （3）将DEF 沿直线 EF 翻折后得D1EF，如图，当 EF=时，讨论AD1D 与ED1F 是否相似，如果 6 5 相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由 思路点拨思路点拨 图中有多条B 的切线，由切线长定理可得多对等长线段，这是解(1)、(2)问的基础，对 于(3)，由(2)求出的值，确定 E 点位置，这是解题的关键x 注注：本例将几何图形置于直角坐标系中，综合了圆的有关性质、相似三角形的判定与性质、切线的 判定与性质、等边三角形的判定与性质等丰富的知识，并结合了待定系数法、数形互助等思想方法，具 有较强的选拔功能 学历训练学历训练 A 组组 1如图，AB 为O 的直径，P 点在 AB 延长线上，PM 切 O 于 M 点，若 OA=， FM=，那么PMB 的周长aa3 为 2PA、PB 切O 于 A、B，APB=78，点 C 是O 上异于 A、B 的任意一点，则 ACB= 3如图，EB、