第2课时　等差数列前n项和的应用课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时等差数列前n项和的应用目标素养1.运用等差数列的前n项和知识解决一些实际问题,提升数学建模核心素养.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.提升逻辑推理和数学运算的核心素养.3.能运用裂项相消法解决一些数列求和问题.提升逻辑推理和数学运算的核心素养.知识概览课前·基础认知1.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d>0时,{Sn}是递增数列,S1是{Sn}的最小值;当a1<0,d<0时,{Sn}是递减数列,S1是{Sn}的最大值.Sn有

最小

值;当d<0时,Sn有

最大

值.当n取最接近抛物线对称轴的自然数时,Sn取到最值.

2.求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点,从第一项起到分界点项的各项和为最大(小)值.(2)借助二次函数的图象及性质求最值.微思考

已知一个数列{an}的前n项和Sn=n2-5n,试作出Sn关于n的函数图象.请你说明数列{an}的单调性.该数列的前n项和有最值吗?提示:Sn=n2-5n=,它的图象是分布在函数y=x2-5x的图象上的离散的点.由函数y=x2-5x的图象的开口方向可知该数列是递增数列,图象开始下降说明数列{an}的前几项为负数.由Sn的图象可知,Sn有最小值,且当n=2或n=3时,Sn最小,最小值为-6,即数列{an}的前2项或前3项和最小.微训练

若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=

时,数列{an}的前n项和最大.

答案:8解析:∵a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,∴a8>0,a9<0,∴当n=8时,数列{an}的前n项和最大.课堂·重难突破一

求等差数列前n项和的最值问题典例剖析1.已知数列{an}的前n项和Sn=33n-n2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{an}的前多少项和最大?解:(1)(方法一)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=34-2n;当n=1时,a1=S1=33-1=32,满足an=34-2n.故数列{an}的通项公式为an=34-2n.(方法二)由Sn=-n2+33n,知Sn是关于n的缺常数项的二次函数,则{an}是等差数列,设等差数列{an}的公差为d,解得a1=32,d=-2,故数列{an}的通项公式为an=34-2n.(2)令an≥0,得34-2n≥0,解得n≤17,故数列{an}的前17项大于或等于零.由于a17=0,故数列{an}的前16项或前17项的和最大.互动探究1.(变条件)将例题中的条件“Sn=33n-n2”变为“在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9”,求其前n项和Sn的最大值.解:(方法一)设等差数列{an}的公差为d.(方法二)同方法一,求出公差d=-2.则an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.(方法三)设等差数列{an}的公差为d.∵S9=S17,∴a10+a11+…+a17=0.由等差数列的性质得a13+a14=0.∵a1>0,∴d<0.∴a13>0,a14<0.∴当n=13时,Sn有最大值.由a13+a14=0,得25×2+25d=0,解得d=-2.S13=13×25+×13×12×(-2)=169.2.(变结论)本例中条件不变,令bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Tn.解:由数列{an}的通项公式an=34-2n知,当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.则当n≤17时,Tn=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.当n≥18时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.

学以致用1.在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22.(1)求该数列从第几项开始为负数;(2)求数列{|an|}的前n项和.解:设等差数列{an}的公差为d,即从第18项开始为负数.

当n>17时,Sn'=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an),二裂项相消法求和典例剖析2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a5=25,S5=55.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,规律总结裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差,并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外,其余各项都能前后相消,进而求数列的前n项和.学以致用

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=7,a5与a7的等差中项为13.(1)求an以及Sn;三等差数列前n项和的实际应用典例剖析3.某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月的这一天都交付50元,并加付欠款利息,月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月,则分期付款的第10个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花费多少钱?解:设每次交款数额(单位:元)依次为a1,a2,…,a20,则a1=50+1

000×1%=60,a2=50+(1

000-50)×1%=59.5,……a10=50+(1

000-9×50)×1%=55.5,即第10个月应付款55.5元.因为{an}是以60为首项,以-0.5为公差的等差数列,即全部付清后实际付款1

105+150=1

255(元).规律总结遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解题要注意以下两点:(1)抓住实际问题的特征,明确数列模型的类型.(2)深入分析题意,确定是求通项公式还是求前n项和,还是求项数.学以致用3.7月份,有一新款服装投入某市场.7月1日该款服装仅售出3件,以后每天售出的该款服装都比前一天多3件,当日销售量达到最大(只有1天)后,每天售出的该款服装都比前一天少2件,且7月31日当天刚好售出3件.(1)问7月几日该款服装销售最多?最多售出几件?(2)按规律,当该市场销售此服装达到200件时,社会上就开始流行,而日销售量连续下降并低于20件时,则不再流行.问该款服装在社会上流行几天?解:(1)设7月n日售出的服装件数为an(n∈N*,1≤n≤31),最多售出ak件.所以7月13日该款服装销售最多,最多售出39件.(2)设Sn是数列{an}的前n项和,

因为S13=273>200,所以当1≤n≤13时,由Sn>200,得12≤n≤13,当14≤n≤31时,日销售量连续下降,由an<20,得23≤n≤31,所以该款服装在社会上流行11天(从7月12日到7月22日).随堂训练1.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=9,则n等于(

)A.9 B.99

C.10

D.100答案:B2.在等差数列{an}中,若a8>0,a4+a10<0,则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(

)A.S4

B.S5

C.S6

D.S7答案:D解析:因为{an}是等差数列,所以a4+a10=2a7,由a4+a10<0,知a7<0,由a8>0,可知等差数列{an}的公差d>0,即{an}是递增数列,且前7项均是负数,故数列{an}的前n项和Sn中最小的是S7.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9>a5,则Sn取得最小值时n的值为(

)A.5 B.6

C.7

D.8答案:B4.已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的前n项和Sn=

.

5.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,如果要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为

.

答案:10解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.即钢管总数为1+2+3+…+n=.当n=19时,S19=190;当n=20时,S20=210>200.故当n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.6.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,a1=12,d=-2.(1)求Sn,并画出S