2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

1、2013年，全国高校自主招生数学模拟试卷6份一、选择题(36分)1.删除正整数系列1，2，3，以获得一个新系列。这个系列的第2003项是(一)2046(二)2047(三)2048(四)20492.如果a，bR，ab0，则直线ax-yb=0和曲线bx2 ay2=ab的图形为3.穿过抛物线y2=8(x 2)的焦点F被视为倾角为60的直线。如果这条直线在点A和点B处与抛物线相交，弦AB的垂直平分线在点P处与X轴相交，线段PF的长度等于(一)(二)(三)(四)84.如果x -，-，y=tan (x)-tan (x) cos (x)的最大值为(甲)(乙)(丙)(丁)5.假设x和y都在区间(-2，2)内，

2、xy=-1，函数u=的最小值为(甲)(乙)(丙)(丁)6.在四面体ABCD中，假设AB=1，CD=，直线AB和CD之间的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于(甲)(乙)(丙)(丁)二。填空(每项9分，共54分)7.不等式| x | 3-2x2-4 | x | 30的解集是。8.如果F1和F2是椭圆=1的两个焦点，p是椭圆上的点，并且| pf1 |: | pf2 |=2: 1，则PF1F2的面积等于。9.已知a=x | x2-4x30，xR，B=x|21-x a0，x2-2(a 7)x 50，xR如果是AB，实数a的取值范围是。10.众所周知，a、b、c、d是正整数，如果a-c=9，则b

3、-d=0。11.如果八个半径为1的球被放置在一个两层的圆柱体中，并且每个球与它的四个相邻球相切，并且与圆柱体的一个底面和一个侧面相切，那么圆柱体高于。12.设Mn=(十进制)n位纯十进制0。|ai只接受0或1 (I=1，2，n-1)，an=1，Tn是以Mn表示的元素数量，Sn是以Mn表示的所有元素的总和，然后=。三，(20分)13.集合x5证明不等式2 2.四、(20分)14.设A、B和C是与复数Z0=ai、Z1=bi、Z2=1 ci(其中A、B和C都是实数)不共线的三个点。证明：曲线z=z0c o4t 2z 1 cos 2t z2sin 4t(tR)在ABC中与交流电平行的中线只有一个公共点

4、，这个点被找到了。五、(学科满分20分)15.用半径为R的圆O和圆中的固定点A画一张纸，OA=A。折叠纸，使圆周上的某个点A与点A重合。每种折叠方法都会留下折痕。当A取圆周上的所有点时，找到所有折痕所在的直线上的一组点。2013年，全国高校自主招生数学模拟试卷6份参考答案一、选择题(每题6分，共36分)1.删除正整数系列1，2，3，以获得一个新系列。这个系列的第2003项是(一)2046(二)2047(三)2048(四)2049解决方案：452=2025，462=2116。在1和2025之间有45个完整的正方形，而在2026和2115之间没有完整的正方形。因此，在从1到2025的新系列中，有2

5、025-45=1980个项目。从2003年到1980年，仍有23件物品丢失。从2025年23=2048年开始，选择C是已知的。2.如果a，bR，ab0，则直线ax-yb=0和曲线bx2 ay2=ab的图形为解：曲线方程为=1，直线方程为y=axb。从直线图中可以看出，A和C中的a0，A中的b0和C中的b0与A和C中的椭圆曲线相矛盾。从直线图可以看出，b和d中的a0和b0是双曲线，焦点在x轴上，所以选择b。3.穿过抛物线y2=8(x 2)的焦点F被视为倾角为60的直线。如果这条直线在点A和点B处与抛物线相交，弦AB的垂直平分线在点P处与X轴相交，线段PF的长度等于(一)(二)(三)(四)8解：抛

6、物线的焦点是原点(0，0)，弦AB所在的线性方程是y=x，弦的中点是y=即，弦的中点是(，)，垂直平分线方程是Y=-(x-)，使y=0，得到点P的坐标是。 pf=。选择a。4.如果x -，-，y=tan (x)-tan (x) cos (x)的最大值为(甲)(乙)(丙)(丁)解：设x=u，然后x=u，当x -，-，u -，-，Y=-(科图努)科苏=-科苏。当u-，-时，sin2u和cosu单调增加，因此y单调增加。然后当u=-y得到最大值时，选择c。5.假设x和y都在区间(-2，2)内，xy=-1，函数u=的最小值为(甲)(乙)(丙)(丁)解：已知x，y y(-2，2，xy=-1，x 2，-)

7、(，2)，u=1。当x (-2，-)(，2)，x2(，4)，此时，9x2 12.(当且仅当x2=等号成立)。此时，函数的最小值为，因此选择d。6.在四面体ABCD中，假设AB=1，CD=，直线AB和CD之间的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于(甲)(乙)(丙)(丁)解决方案：如图所示，如果四面体是由平行六面体组成的，那么平行六面体的体积=1平方英寸=3。四面体的体积ABCD=平行六面体的体积=。因此，选择了B。二。填空(每项9分，共54分)7.不等式| x | 3-2x2-4 | x | 30的解集是。解：即| x | 3-2 | x | 2-4 | x | 30，(| x |-3)

8、 (| x |-(| x |) 0。| x |-，或| x | 3。解是(-3，-)(，3)。8.如果F1和F2是椭圆=1的两个焦点，p是椭圆上的点，并且| pf1 |: | pf2 |=2: 1，则PF1F2的面积等于。解决方案：F1 (-，0)，F2(，0)；|F1F2|=2。|PF1| |PF2|=6，|PF1|=4，| pf2 |=2。DPF1F2是一个直角三角形，因为4222=(2) 2。 S=4。9.已知a=x | x2-4x30，xR，B=x|21-x a0，x2-2(a 7)x 50，xR如果是AB，实数a的取值范围是。解决方案：A=(1，3)；此外，当x (1，3)时，a -

9、21-x (-1，-)，a 7 (-7，-4)。 -4a-1。10.众所周知，a、b、c、d是正整数，如果a-c=9，则b-d=解决方案：a3=b2，c5=d4，设置a=x2，B=X3；c=y4，d=y5，x2-y4=9。(x y2)(x-y2)=9。 x y2=9，x-y2=1，x=5，y2=4，b-d=53-25=125-32=93。11.如果八个半径为1的球被放置在一个两层的圆柱体中，并且每个球与它的四个相邻球相切，并且与圆柱体的一个底面和一个侧面相切，那么圆柱体高于。解决方案：如图所示，ABCD是下层四个球的中心，EFGH是上层四个球的中心。球的中心彼此相切的距离=2。EFGH在平面A

10、BCD上的投影是一个正方形。它是通过围绕其中心旋转正方形ABCD 45获得的。如果E的投影是N，那么Mn=-1。em=，所以en2=3-(-1) 2=2。气缸高度=2。12.设Mn=(十进制)n位纯十进制0。|ai只接受0或1 (I=1，2，n-1)，an=1，Tn是以Mn表示的元素数量，Sn是以Mn表示的所有元素的总和，然后=。解决方案：由于a1、a2，一个-1可以取两个数字0和1，TN=2n-1。在每一位的小数部分(从第一位到第n-1位)，数字0和1分别出现2n-2次，而第n位1出现2n-1次。 Sn=2n-20.111 2n-210-n=。三、(题目满分20分)13.集合x5证明不等式2

11、 2.解决方案：x 10，2x-3 0，15-3x 0。 x 5。从平均不等式来看。 2=2。但当x5时，2单调增加，即2 2=2。原因是。四、(学科满分20分)14.设A、B和C是与复数Z0=ai、Z1=bi、Z2=1 ci(其中A、B和C都是实数)不共线的三个点。证明：曲线z=z0c o4t 2z 1 cos 2t z2sin 4t(tR)在ABC中与交流电平行的中线只有一个公共点，这个点被找到了。解决方案：曲线方程为：z=ai cos4t(12bi)cos2tsin 12t(1ci)sin 4t=(cos2tsin 12t sin 4t)I(acos4t 2 bcos2tsin 12t

12、csin 4t)x=cos2tsin2t sin 4t=sin2t(cos2t sin2t)=sin2t。(0x1)y=acos 4t 2 bcos 2 tsin 2t csin 4t=a(1-x)2 2b(1-x)x cx2也就是说，y=(a-2bc) x22 (b-a) x a (0 x 1)。如果a-2bc=0，三个点Z0，Z1和Z2共线，这与已知的相矛盾，所以a-2bc0。因此，这条曲线是一条抛物线，其轴垂直于x轴。AB中点m: (a b) i，BC中点n: (b c) i平行于交流的中间位线通过m(、(甲乙)和n(、(乙丙)两个点，其等式为4(a-c)x 4y-3a-2b c=0。(

13、x)。设4(a-2bc)x28(b-a)x4a=4(c-a)x3a 2 b-c。也就是说，4 (a-2bc) x24 (2b-a-c) x a-2bc=0。从a-2bc0获得4x2 4x 1=0，这个方程在，: x=中有唯一的解。将x=代入，y=(a2bc)。公共点的坐标是(，(a2bc)。五、(学科满分20分)15.用半径为R的圆O和圆中的固定点A画一张纸，OA=A。折叠纸，使圆周上的某个点A与点A重合。每种折叠方法都会留下折痕。当A取圆周上的所有点时，找到所有折痕所在的直线上的一组点。解：对于0上的任何一点A，偶数为AA，垂直平分线MN为AA，偶数为OA。交点MN在点p。显然Oppa=OA=R。由于点A在0以内，OA=aa)是长轴椭圆C。另一方面，任何不同于p的MN的q点都有oqqa=oqqaoa。因此，点q位于椭圆c之外，也就是说，折痕上的所有点都位于椭圆c和椭圆c之外.相反，对于椭圆C上或外的点S，以S为圆心，SA为圆的半径